2020年11月浙江省学考选考浙东北联盟ZDB二上学期期中考试数学试题参考答案

浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年第一学期期中考试
高二数学答题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的题号12345678910答案
D
A
C
A
B
C
B
D
B
C
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．16π
．12．33．
13．0
1=-+y x ；
2
)1(
22=-+y x ．
1415．
；
[)
7,2-．
16．
14
．17．
5
54；
3
4．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（本题满分14分）已知正方体1111D C B A ABCD -，E 为棱AB 的中点．（Ⅰ）求证：C B E D 11⊥；（Ⅱ）求证：C EB AC 11//平面．
18．(Ⅰ)证明：连结D A A D 11,，则C B D A 11//，∵11A ADD 是正方形，∴D A A D 11⊥．
∵11A ADD AE 平面⊥，∴D A AE 1⊥．又A EA A D =⋂1，∴11AED D A 平面⊥．∵AE D E D 11平面⊂，∴D A E D 11⊥，∴C B E D 11⊥．
—————————————7分
（Ⅱ）证明：连结1BC ，与C B 1相交于点O ．∵O E ,分别是1,BC AB 的中点，∴EO AC //1，
1
D 1
C 1
B 1
A D
C
B
A E
O
又EC B AC 11平面⊄ ，EC B OE 1平面⊂，∴C
EB AC 11//平面————————————————14分
19．（本题满分15分）已知⊙16:22=+y x C ．
（Ⅰ）设点()y x Q ,为⊙C 上的一个动点，求y x 34+的范围；
（Ⅱ）直线l 过点()4,3P ，且与⊙C 交于A 、B 两点，若72=AB ，求直线l 的方程．解析（Ⅰ）设t y x =+34，则直线t y x =+34与⊙C 有公共点，所以圆心到直线的距离4≤d ，即
43
42
2
≤+t ，解得2020≤≤-t ．——————7分
（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为3=x ，l 与圆的两个交点坐标为
7,3(7,3(-，这两点的距离为72，满足题意；—————————————9分
当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为)3(4-=-x k y ，
即043=+--k y kx ，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则216272d -=，得3=d ，从而
31
432=++-k k ，得24
7
=
k ，此时直线方程为075247=+-y x ，综上所述，所求直线方程为075247=+-y x 或3=x ．———————————15分
20．（本题满分15分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，⊥C B 1平面ABC ，且
2==AC AB ，321=AA ．
（Ⅰ）求证：平面⊥C AB 1平面11A ABB ；
（Ⅱ）求直线1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明： ⊥C B 1平面ABC ，AB C B ⊥∴1又AC AB ⊥，所以⊥AB 平面C AB 1，所以平面⊥C AB 1平面11A ABB ；
——————7分
A
B
C
1A 1
B 1
C O E
（Ⅱ）设O C B BC =11 ，作1AB OE ⊥于E ，连结BE ， 平面⊥C AB 1平面11A ABB 于1AB ，⊥∴OE 平面11A ABB ，∴EBO ∠为1BC 与平面11A ABB 所成角；
—————————————11分
由已知32,21===BB AC AB ，得22211==A B C B ，
，322=+=∴OC BC BO ，
在等腰直角C AB 1∆中，2
2
=OE ，所以62sin =
=
∠OB OE EBO ，即1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值为6
2
．————15分21．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，点)0,3(-A ，直线4:+=x y l ，设⊙C 的半径为2，圆心在直线l 上．
（Ⅰ）若⊙C 与直线28y x =--相交于,E F 两点，且AE AF =，求⊙C 的方程；（Ⅱ）若⊙C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解:（Ⅰ）设EF 的中点为G ，连结,,,,AE AF CE CF AG CG ，，
由已知得AG EF ⊥，
又CE CF =，所以CG EF ⊥，则可得AC EF ⊥，则直线AC 的方程为()1
32
y x =
+，圆心C 满足()41
32
y x y x =+⎧⎪
⇒⎨=+⎪⎩()5,1C --，则圆C 的方程为()()22
514x y +++=.
—————————————7分
（Ⅱ）∵⊙C 的圆心在在直线4:+=x y l 上，所以，设圆心C 为)4,(+a a 则⊙C 的方程为[]4
)4()(2
2=+-+-a y a x 又∵MO MA 2=，设)
,(y x M 22222)3(y x y x +=++整理得:4
)1(22=+-y x
设此为⊙D
∴点M 应该既在⊙C 上又在⊙D 上即:⊙C 和⊙D 有交点，∴22)4()1(2222+≤++-≤-a a 由017622≥++a a 得R a ∈由01622≤++a a 得
2
7
3273+-≤≤--a 终上所述，a 的取值范围为:⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+---273,273．————————————15分
22．(本题满分15分）如图，在平行四边形ABCD 中， 60,4=∠=DAB AB ．点H G ,分别在边CB CD ,上，点G 与点D C ,不重合，GH AC GH ,⊥与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH ∆翻折到EGH ∆的位置，使二面角B GH E --为 90，F 是AE 的中点．（Ⅰ）请在下面两个条件：①AD AB =，②BD AB ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若，则EOA BD 平面⊥成立，并证明．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）命题:P 若AD AB =，则EOA BD 平面⊥． AC GH ⊥，∴,AO GH EO GH ⊥⊥，又二面角B GH E --的大小为 90，
∴90AOG ∠= ，即EO AO ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO BD ⊥，
又BC AB =，∴AO BD ⊥，AO EO O = ，∴BD ⊥平面EOA .
—————————————6分
（Ⅱ）设AC 与BD 交于点M ， 60,4=∠=DAB AB
，则AC =，
设,CO x OM x ==
，222216OB OM MB x =+=-+
，2222216EB EO OB x =+=-+，
A
B
C D
E
G H
O F M
当x =min EB ，
连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（Ⅰ）知BD ⊥平面EOA ，
∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，
∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，
在Rt EMB ∆中，2,EB BM EM AE ====
由()()2
222222
QB AE AB BE QB +=+⇒=
,
QF =
∴sin 11
QF QBF QB ∠=
=
，即QB 与平面EBD .—————15分。