浙江省温州市乐清乐成寄宿中学高三数学3月月考试题 文

浙江省乐清市乐成寄宿学校高三年级2015-2016学年度下学期3
月月考数学（文科）试题
★ 祝考试顺利 ★
时间：150分钟 分值150分_
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．函数()sin(),()(0,||)2
f x x x R π
ωϕωϕ=+∈><
的部分图像如图所示，如果
12,(,)63
x x ππ
∈-
，且12()()f x f x =，则12
()2
x x f += （ ）
A.
1
2
B.22
C.32
D.1
2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 的值为 A ．
13 B ．23 C ．12 D ．3
4
3．函数13)(2
3
+--=x x x f 在[)+∞,a 上的最大值为1，则a 的取值范围是（ ） A. [)+∞-,3 B.()+∞-,3 C. ()0,3- D. []0,3- 4．已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
5．函数f(x)=错误!未找到引用源。

的图象和g(x)=log 2x 的图象的交点个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1
6．已知集合{}{}1,2,3,1,2,4A B ==，则A B I 等于（ ） A ．{}1,2,4 B ．{}2,3,4 C ．{}1,2 D ．{}1,2,3,4 7．设集合{1234}U =，，，，{13}A =，，{34}B =，，则CU ()A B =U A .{134}，， B. {14}，
C. }2{
D.}3{ 8．如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P(-1<ξ≤1)等于( ) A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2） C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2） 9．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ，下面结论错误．．的是（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x 是偶函数
C ．函数()f x 的图象关于直线4
x π
=对称
D ．函数)(x f 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数 10．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a|＝|b|
＝1，则向量a 与c 的夹角为( )．
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 11． 设x,y 满足()
2
22log log log x y xy x y +-=+则x+y 的取值范围为（ ）
A. [)2+∞，
B. [)+∞4，
C. 12-∞-⎛
⎤
⎥⎝
⎦， D. ()+∞0， 12．在区间[]1,1-上随机取一个数x ，使2
cos x
π的值介于
2
2
到1之间的概率为 ( ) A.31 B. 21 C. π
2
D. 32
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．函数3)4
cos(222sin )(+++=x x x f π
的最小值是 ；
14．已知等比数列{}n a 各项均为正数,前n 项和为n S ，若22a =，1516a a =．则公比q= ，5S = ．
15．在△ABC 中，a 2
=b 2
+c 2
+bc ，则角A= .
16．已知圆1)sin 2()cos 2(:221=-+-θθy x C 与圆1:222=+y x C ，在下列说法中： ①对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切； ②对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线； ③当6
π
θ=
时，圆1C 被直线013:=--y x l 截得的弦长为3；
④Q P ,分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则||PQ 的最大值为4． 其中正确命题的序号为______．
三、解答题（70分） 17．（本小题满分12分） 已知
(),f x m n =⋅r r
设0>ω， )cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，
)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离等于
2
π． （1）求ω的值；
（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，3
3,2
ABC a S ∆==
．当()1f A =时，求,b c 的值．
18．（本小题满分12分）已知3
3
sin cos y θθ=+, sin cos x θθ=+， （Ⅰ）把y 表示为x 的函数()y f x =并写出定义域; （Ⅱ）求()y f x =的最值.
19．(本题满分10分)甲乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v km/h 的平方成正比,比例系数为b ,固定部分为b 元.
(1)把全程运输成本y (元)表示为v 速度(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 20．（本题12分）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2、…、
n (2)n ≥
的n 个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽到标号为1号红球和n 号黑球的概率为
112
． （Ⅰ）求n 的值；
（Ⅱ）现从甲乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为1，若标号数为偶数，则得分为0，设被抽取的2个小球得分之和为ξ，求ξ的数学期望E ξ．
21．（本题12分）PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。

我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．
某市环保局从360天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l5天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．
(1)从这l5天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
(2)以这l5天的PM2．5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．
22．（本题12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1,a d N *
∈．若设1M 是从1a 开始的
前
1
t 项数列的和，即
1*1111(1,)
t M a a t t N =++≤∈L ，
112*2122(1)t t t M a a a t N ++=+++<∈L ，如此下去，其中数列{}i M 是从第
101(0)i t t -+=开始到第(1i i t t ≤)项为止的数列的和，即
1*1(1,)i i i t t i i M a a t t N -+=++≤∈L ．
(1)若数列*
(113,)n a n n n N =≤≤∈,试找出一组满足条件的123,,M M M ,使得： 2213M M M =；
(2)试证明对于数列()n a n n N *
=∈，一定可通过适当的划分，使所得的数列{}n M 中
的各数都为平方数；
(3)若等差数列{}n a 中11,2a d ==．试探索该数列中是否存在无穷整数数列
{}*123,(1),n n t t t t t n N ≤<<<<∈L ,使得{}n M 为等比数列,如存在,就求出数列
{}n M ；如不存在，则说明理由．
参考答案
1．D 【解析】
试题分析：由图可知，函数()f x 关于直线12
x π
=
对称，且(
)112
f π
=.如果12,(,)63
x x ππ∈-
，
且12()()f x f x =，则易知12x x 、关于直线12x π
=对称，所以12212
x x π
=+.所以12()()1212
x x f f π
==+.
考点：三角函数的图像与性质
2．D 【解析】
试题分析：因为，105:1:2S S =，
所以，10110555
1(1)
111,210,1(1)221a q q q q q a q q --=--==--（舍去）或-， 所以，155:S S =1511555
1(1)
131(1)141a q q q
a q q q
---==---，故选D 。

考点：等比数列的求和公式。

点评：简单题，由105:1:2S S =求得5
q ，进一步求155:S S 。

3．D
【解析】2
12()360,2,0f x x x x x '=--==-=,由于f(0)=1,f(-3)=1,并且当
(,2),(1,),()0;(2,1),()0x f x x f x ''∈-∞-+∞<∈->,所以30a -≤≤.
4．A
【解析】若α∥β,l⊥α,则l⊥β,
又m∥β,∴l⊥m,若l⊥m,l⊥α,m∥β,不一定有α∥β,故“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件. 故选A. 5．C
【解析】在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象如图所示,
由图象知有两个交点,故选C.
【误区警示】本题易由于作图时没有去掉(1,0)点,而误选B. 6．C 【解析】
试题分析：由已知，A B I ={}{}1,2,31,2,4{1,2}⋂=， 选C .
考点：集合的运算 7．C
【解析】略 8．D
【解析】略 9．C 【解析】
试题分析：3()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫
=+
=- ⎪⎝
⎭
,故．函数()f x 是最小正周期为π的偶函数,所以AB 正确, 函数()f x 的图象的对称轴为2x k π=,即()2
k x k Z π
=
∈,对称轴不可能为4
x π
=
,故C 错误,在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上函数)(x f 是增函数,故D 正确.,所以选C. 考点：诱导公式,三角函数的图像与性质.
10．D
【解析】因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b)．所以|c|2＝(a ＋b)2＝a 2＋b 2
＋2a·b＝2＋2cos 60°＝3.所以|c|3又c·a＝－(a ＋b)·a＝－a 2
－a·b＝－1－cos 60°＝－
3
2
，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝ac a c 3
213-
⨯3.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 11．A
【解析】
考点：对数运算及基本不等式 由()
2
22log log log x y xy x y +-=+，可得xy xy y x =-+且0>x ，0>y ，即xy y x 2=+，由
基本不等式2
)2
(y x xy +≤，
可知2)(22y x xy y x +≤=+，则2≥+y x ，当且仅当y x =时等号成立.
点评：此题考查基本不等式变形形式2
)2
(y x xy +≤，属中下档题型 12．B
【解析】分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出 cos x
2
π的值介于
2
2到1之间对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解．
解答：解：在区间[-1，1]上随机取一个数x ， 即x ∈[-1，1]时，要使 cos
x
2
π的值介于
2
2
到1之间， 需使 -
4π≤x 2π≤4
π，
∴-12≤x ≤ 12
，区间长度为 1，
由几何概型知 cos
x
2
π的值介于
22到1之间的概率为1
2
故选B ．
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N （A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，
最后根据P= ()
N A N
求解．
13．222- 【解析】 试题分析：
22()sin 222cos()3
42cos ()22cos()444
2224,[1,1]222,[1,1]
f x x x x x t t t t π
ππ
=+++=-++++=-++∈-=-∈-
考点：三角函数的性质，二倍角公式
点评：解决的关键是对于三角函数的性质的理解和运用，属于基础题。

14．2， 31. 【解析】
试题分析： 因为等比数列的各项都是正数，且2152,16,a a a ==设其公比为q,那么可知
423
111132
21642=∴=∴==∴=
=a a q a a q a q a q a ，故可知公比为2，首项为1，那么5
5123112
-==-S ，因此答案为2,31.
考点：本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的运用，以及通项公式的求解运算。

点评：解决该试题的关键是根据数列的前几项的关系式，联立方程组得到公比和首项的值，得到解决。

15．120°
【解析】︒=-=-+=
⇒++=120,2
1
2cos 2222
2
2
A bc a c b A bc c b a 16．①③④
【解析】对于①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和，有题意，有：圆1C 的半径为：1，圆心为：()2cos ,2sin θθ；圆2C 的半径为：1，圆心为：
()
0,0，
所以
两个圆的圆心距为：
()()
2
2
222cos 02sin 04cos 4sin 2θθθθ-+-=+=，又因为，两圆的半径之和为：
1+1=2=圆心距，所以对于任意θ，圆1C 和圆2C 始终相切。

对于②，从①有，两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误。

对于③，我们有圆1C 的方程为：()
()2
2
3
11x y -+-=，故有圆1C 的圆心为：
(
)
3,1，
设其被l 所截弦为CD ，过圆心1C 做1C P 垂直于CD ，则由圆的性质，有P 是弦CD 的中
点，所以圆心到直线l ()
2
2
3311
1
2
31⋅--=
+，又因为圆1C 的半径为1，所以有其所截弦CD 的长为：2
2
1213,2⎛⎫-= ⎪⎝⎭
所以③正确。

对于④，由①有，两圆相切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和，因为1C 的直径为2，2C 的直径也为2，也就是说PQ 的最大值为：2+2=4.
17．（1）1ω=；（2）21b c =⎧⎨=⎩ 或1
2
b c =⎧⎨=⎩。

【解析】
试题分析：（1）22
()cos sin 23sin cos f x x x x x ωωωω=-+ --------------2分
cos 23sin 2x x ωω=+2sin(2)6
x π
ω=+ ------------4分
又 22T π= ∴ 22ππω
= -------5分
解得 1ω= -------------6分 （2）因()1f A =， 2sin(2)16
A π
∴+=-----------7分
因 A π0<<得 3
A π
=
-----------8分
又2222cos 1
sin 2
ABC a b c bc A S bc A ∆⎧=+-⎪⎨=⎪⎩Q -------------------10分 2232cos 331sin
2
3b c bc bc ππ⎧=+-⎪⎪∴⎨⎪=⎪ 解得21b c =⎧⎨=⎩ 或12b c =⎧⎨=⎩ ------------12分
考点：本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数图象和性质，函数方程思想，余弦定理的应用。

点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要将函数“化一”。

借助于函数方程思想，由余弦定理、三角形面积公式构建b,c 的方程，达到解题目的。

18．（1）22⎡⎤-⎣⎦
（2）()y f x =的最大值为1，()y f x =的最小值1-
【解析】（Ⅰ）22
(sin cos )(sin cos sin cos )y θθθθθθ=++-
2(sin cos )1(sin cos )[1]2θθθθ+-=+-23131222x x x x ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭
所以33
()22
x f x x =-
+ …………………………………………4分 由sin cos 2)4
x π
θθθ=+=
+ 2 2.x ∴≤≤
所以函数的定义域为22⎡-⎣…………………………………………6分
（Ⅱ）/2333
()(1)(1)222
f x x x x =-
+=--+Q ……………………………8分
x 2-
(2,1)-- 1-
(1,1)-
1 (1,2)
2
()f x '
-
+
-
()f x
22
- 减函数
极小值
1-
增函数
极大值1
减函数
22
………………………10分
()f x ∴在)(
2,1--上单调递减，在)(1,1-上单调递增，在)
(
1,2上单调递减，
2(2)(1)12f f -=-
<=， 2(1)1(2)2
f f -=-<=， ∴()y f x =的最大值为1，()y f x =的最小值1-………………………………12分
19．（1）所求函数及其定义域为y=s(
v
a
+bv),v ∈(]c ,0. （2）为使全程运输成本y 最小,当b
a ≤c 时,行驶速度为v=b
a
;当b
a >c 时,行驶速度为v=c.
【解析】解:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v
s
,全程运输成本为y=a ·
v s +bv 2
·v s =s(v
a +bv). 故所求函数及其定义域为y=s(
v
a
+bv),v ∈(]c ,0. (2)依题意知s,a,b,v 都是正数,故有s(v a +bv)≥2s ab .当且仅当v
a
=bv,即v=b a 时上式
中等号成立.
①当b
a ≤c 时,则当v=b
a 时全程运输成本最小;
②当b
a
>c 时,则当v ∈
(]
c ,0时有
s(
v a +bv)-s(c a +bc)=s[(v a -c a )+(bv-bc)]=vc
s
(c-v)(a-bcv). ∵c-v ≥0且a>bc 2,故有a-bcv ≥a-bc 2
>0,∴s(v a +bv)≥s(c
a +bc),当且仅当v=c 时等号成立.
即当v=c 时全程运输成本最小.
综上知,为使全程运输成本y 最小,当b
a ≤c 时,行驶速度为v=b
a
;当b
a >c 时,行驶速度为
v=c.
20．解：（Ⅰ）由题意知：11312n =，4n ∴= ……………………………4分 （Ⅱ）12112411(1)6
C P C C ξ==⋅= 1111121211113434111(2)663
C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=+= 1111121211113434111(3)663
C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=+= 12112411(4)6
C P C C ξ==⋅= 11115123463362
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………12分
【解析】略
21ξ
0 1 2 3 p 45584 455216 455135 455
20 （【解析】
试题分析：（1）由 3,6,15===n M N ,ξ的可能值为0，1，2，3
利用315
396)(C C C k P k k -⋅==ξ )3 , 2 , 1 , 0(=k 即得分布列： ξ
0 1 2 3 p
45584 455216 455135 455
20 （2）一年中每天空气质量达到一级的概率为
52， 由η～⎪⎭⎫ ⎝⎛
52,360B , 得到1445
2360=⨯=ηE (天) ， 一年中空气质量达到一级的天数为144天.
试题解析：（1）∵ 3,6,15===n M N ,ξ的可能值为0，1，2，3
其分布列为315396)(C C C k P k k -⋅==ξ )3 , 2 , 1 , 0(=k 3分 ξ
0 1 2 3 p
45584 455216 455135 455
20 6分 （2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为52156==
p 一年中空气质量达到一级的天数为η
则η～⎪⎭⎫ ⎝⎛
52,360B , 所以1445
2360=⨯=ηE (天) 11分 一年中空气质量达到一级的天数为144天 12分
考点：超几何分布，二项分布.
22．(1)1231,9,81M M M ===;(2)证明见解析；（3）不存在，证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）仔细阅读题目，其实会发现第2小题已经给我们指明了方向，从第一个数开
始适当划分，使每段的和为平方数，同时想办法满足2213M M M =，这样既完成了第1小题，
又可完成第2小题，从最简单入手，11M =，2223493M =++==，因此思考是否可能
有3M 81=呢？36781381M =++++=L ，这样第1小题完成；（2）这类问题实质就是
要我们作出一个符合条件的划分，由（1）的分析，可知只要211333n n t -=++++L ，则
所得划分就是符合题意的，事实上，312
n n t -=，311232n n t S -=++++L 3131(1)222
n n --+=，1213n n n n t t M S S ++=-=是完全平方数；（3）这类问题总是假设存在，然后推导，能求出就说明存在，不能求出或推导出矛盾的结论就说明不存在，可以计算出
221n n n M t t -=-，数列{}n M 必定是公比q 大于1的整数的等比数列，但事实上，2222312311(1)(1)t M M M M q q t q q =++=++=++，从而要求21q q ++是完全平方数，这是不可能的，故假设错误，本题结论是不存在．
试题解析：（1）则121,2349,M M ==++=3561381M =+++=L ;（4分）
(2)记11,t =即11M =,又由223493++==，223M =,所以第二段可取3个数，
2134t =+=；再由45613813+++==L ，即433M =,因此第三段可取9个数，即2313313,t =++=L ，依次下去, 一般地:1311332n n n t --=+++=L ,11312
n n t ++-=（6分） 所以3131()(1)312212322
n n n n t S --+-=++++=L ，（8分） 11113131()(1)312212322
n n n n t S ++++--+-=++++=L （9分） 则1112131313131()(1)()(1)2222322
n n n n n n n n t t M S S ++++----++=-=-=． 由此得证．（11分）
（3）不存在．令21(1)2
n n n t n n t t S t a d t -=+=,则221n n n M t t -=- 假设存在符合题意的等比数列, 则{}n M 的公比必为大于1的整
数,(22(1)21n n n n n M t t t M ≥--=-∴→+∞Q ,因此1)q >，即1*1n n M M q N -=∈ 此时,注意到,2222332111(1)(1)t M M M M q q t q q =++=++=++
（14分） 要使22231(1)t t q q =++成立,则2
1q q ++必为完全平方数,（16分） 但222
1(1)q q q q <++<+,矛盾．因此不存在符合题意的等差数列{}n M ．（18分） 考点：（1）构造法解题；（2）存在性命题；（2）数列的综合性问题．。