2018-2019学年江苏省南京市宁海中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2018-2019学年江苏省南京市宁海中学高二数学文下学
期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数满足，则有
A. 最小值和最大值1
B. 最小值和最大值1
B. 最小值和最大值 D. 最小值1
参考答案：
B
2. 命题“若函数在上是减函数，则”的否命题是（）A．若函数在上不是减函数，则
B．若函数在上是减函数，则
C．若，则函数在上是减函数
D．若，则函数在上不是减函数
参考答案：
A
3. 已知集合，，则A∩B等于（）
A. (2,4)
B.(－3,4)
C. (－3,－2)∪(2,4)
D. (－∞,+∞)
参考答案：
C
【分析】
由不等式性质求出集合A、B，由交集的定义求出可得答案.
【详解】解：可得；
，
可得=
故选C.
【点睛】本题考查了交集及其运算，求出集合A、B并熟练掌握交集的定义是解题的关键.
4. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值点的个数为
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
参考答案：
A
5. 设命题，，则为（）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
参考答案：
A
【分析】
根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.
【详解】解：表示对命题的否定，
“，”的否定是“，” ．
故选．
【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.
6.
参考答案：
D
略
7. 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图表2所示，则△ABO的面积的最小值为（）．
A.6
B.12
C.24
D.18
参考答案：
B
8. 已知的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
参考答案：
D
9. 下图是某个圆锥的三视图，根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为
__________，圆锥母线长为_________________。

参考答案：
，
略
10. 已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，
两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），
又因为直线的斜率为2，所以有y1+y2=p，又线段AB的中点的纵坐标为1，
即y1+y2=2，所以p=2，
所以抛物线的准线方程为x=﹣1．
故选B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率是______________．
参考答案：
14．
略
12. 曲线在点处的切线斜率为__________。

参考答案：
略
13. 数列满足，，则_____________．
参考答案：
，，，，，
由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环，所以．
14. 设的展开式中的系数为a，二项式系数为b，则的值为_______.
参考答案：
4
【分析】
列出展开式的通项公式，可知当时，为的项，从而可确定二项式系数和系数，作比得到结果.
【详解】展开式通项公式为：
当，即时，
，
【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项的系数、二项式系数的问题，属于基础题. 15. 已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为。

参考答案：
略
16. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点A在双曲线第一象限
的图象上，若△AF1F2的面积为1，且tan∠AF1F2=，tan∠AF2F1=﹣2，则双曲线方程
为．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设A（m，n）．m＞0，n＞0．由tan∠AF1F2可得=，由tan∠AF2F1=﹣2可得=2，由△AF1F2的面积为1可得?2c?n=1，联立求出A的坐标，即可得出双曲线的方
程．
【解答】解：设A（m，n）．m＞0，n＞0．
由tan∠AF1F2可得=，
由tan∠AF2F1=﹣2可得=2，
由△AF1F2的面积为1可得?2c?n=1，
以上三式联立解得：c=，m=，n=．
所以A（，），F1（﹣，0），F2（，0）．
根据双曲线定义可得2a=|AF1|﹣|AF2|=．
所以a=，b=，
所以双曲线方程为．
故答案为．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活利用．
17. 函数在处的切线方程为．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如果函数在定义域内存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f(x)为“倍增函数”。

（I）判断f(x)=是否为“倍增函数”，并说明理由；
（II）证明：函数f(x)=是“倍增函数”；
（III）若函数f(x)=ln（）是“倍增函数”，写出实数m的取值范围。

（只需写出结论）
参考答案：
（I）见解析；（II）见证明；（III）<m<0
【分析】
（I）根据时，判断出为“倍增函数”.（II）首先利用导数判断出为单调递增函数，构造函数，利用导数求得函数有且只有两个零点，进而判断出函数是“倍增函数”.（III）为增函数，且为
“倍增函数”，所以，即；所以方程，化为有两个不相等的实数根，且两根都大于零.即，解得.
所以的取值范围是.
【详解】解：（I）=是“倍增函数”，理由如下：
=的定义域是R，且在[0，+）上单调递增；
所以，当[0，2]时，∈[0，4]，
所以，=是“倍增函数”。

（II）=的定义域是R。

当x>0时，=>0，所以在区间（0，+）上单调递增。

设=－2x=，=。

设h（x）==，=>0，
所以，h（x）在区间（－，+）上单调递增。

又h（0）=－2<0，h（1）=e－1>0，
所以，存在唯一的∈（0，1），使得h（）==0，
所以，当x变化时，与的变化情况如下表：
（－，）（，+）
因为g（1）=e－3<0，g（2）=>0，
所以，存在唯一的∈（1，2），使得=0，
又=0，所以函数只有两个零点，即0与。

所以=0，=2。

结合在区间（0，+）上单调递增可知，当x∈[0，]时的值域是[0，2]。

所以，令[a，b]=[0，]，=是“倍增函数”。

（III）<m<0。

【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查利用导数求函数的单调区间以及零点，考查根于系数关系以及二次函数的判别式，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.
19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分
布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．
（3）若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．
参考答案：
（1）a=0.03．（2）850（人）．（3）．
试题分析：（1）由频率分布直方图的性质能求出的值；（2）先求出数学成绩不低于分的概率，由此能求出数学成绩不低于分的人数；（3）数学成绩在的学生为分，数学成绩在的学生人数为人，由此利用列举法能求出这名学生的数学成绩之差的绝对值大于的概率．
试题解析：（1）由频率分布直方图，得：
0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，
解得a=0.03.
（2）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，
∴数学成绩不低于60分的人数为：
1000×0.85=850（人）．
（3）数学成绩在[40，50）的学生为40×0.05=2（人），
数学成绩在[90，100]的学生人数为40×0.1=4（人），
设数学成绩在[40，50）的学生为A，B，数学成绩在[90，100]的学生为a，b，c，d，
从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，
基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，
{bd}，{c，d}，
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：
{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，
∴这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率为．
考点：频率分布直方图；古典概型及其概率的求解．
20. （10分）设f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
参考答案：
(1)；(2) 、
试题分析：(1)根据为奇函数可得。

由导数的几何意义可得
，的最小值可求，从而可得的解析式。

(2)先求导，在令导数大于0得增区间，令导数小于零得减区间，从而求得在上的极值。

再求两端点处函数值，比较极值与端点处函数值最小的为最小值，最大的为最大值。

21. (本大题满分8分) 巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行.某人为了了解我校学生“通
过电视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查,
得到了如下列联表:
已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是. (I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关? (II)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为X,求X的分布列和均值.
(参考公式：，)
参考答案：
(Ⅰ)
由已知数据得:
所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关. …………4分
(Ⅱ)的可能取值为
，……6分所以的分布列为:
012
的均值为:…………………………8分
22. （本小题满分10分）已知在，处取得极值.（1）求的值；
（2）若对时，恒成立，求的取值范围.
参考答案：
（1）∵f（x）=2ax－+lnx, ∴f′（x）=2a++.
∵f（x）在x=－1与x=处取得极值，∴f′（－1）=0,f′（）=0,
即解得∴所求a、b的值分别为1、－1.
（2）由（1）得f′（x）=2－+=（2x2+x－1）=（2x－1）（x+1）.
∴当x∈［,］时，f′（x）＜0;当x∈［,4］时，f′（x）＞0.∴f（）是f （x）在［,4］上的极小值.又∵只有一个极小值，
∴f（x）min=f（）=3－ln2.
∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）min=3－ln2.
∴c的取值范围为c＜3－ln2.。