人教新课标版数学高一B版必修4学案 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
明目标、知重点 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
函数y ＝tan x 的性质与图象
三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质， 因此， 进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.你能否根据研究正、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象及性质？ 探究点一 正切函数的图象
思考1 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π
2的图象，具体应如何操作？
答 类比正弦函数图象的作法，作正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2图象的步骤： (1)建立平面直角坐标系，在x 轴的负半轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆. (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线.
(3)在x 轴上，把⎝⎛⎭⎫－π2，π
2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x 轴上的位置. (4)把角x 的正切线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合.
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2的图象，如图所示.
思考2 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？
答 我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R ，且x ≠π
2＋k π(k ∈Z ))的图象，我们把它叫做“正切曲
线”(如下图所示)，它是被无数条直线x ＝k π＋π
2
(k ∈Z )所隔开的无数条曲线组成的.
思考3 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？ 答 一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期. 探究点二 正切函数的性质
思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的周期是多少？
答 由诱导公式tan(x ＋π )＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π. ∵y ＝A tan(ωx ＋φ)＝A tan(ωx ＋φ＋π)
＝A tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋πω＋φ，∴周期T ＝πω
. 思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正切函数图象有何对称性？ 答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x .故正切函数是奇函数.
正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐标为⎝⎛⎭⎫
k π2，0(k ∈Z ). 思考3 观察下图中的正切线，当角x 在⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2内增加时，正切函数值发生了什么变化？
由此反映出一个什么性质？当x 大于－π2且无限接近－π2时，正切值如何变化？当x 小于π
2且
无限接近π
2时，正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么？
答 正切函数值随着增加，反映了函数的单调性. 当x →－π2时，tan x →－∞；当x →π
2
时，tan x →＋∞.
所以y ＝tan x 可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为R . 思考4 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
答 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭
⎫－π2＋k π，π
2＋k π (k ∈Z ) 上都是增函数. 正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π
2＋k π(k ∈Z ) 上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数. 例1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.
解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
tan x ＋1≥0
1－tan x >0
，即－1≤tan x <1.
在⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2内，满足上述不等式的x 的取值范围是 ⎣⎡⎭
⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π， 所以所求x 的范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π
4 (k ∈Z ). 即函数的定义域为⎣
⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π
4 (k ∈Z ).
反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线. 跟踪训练1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).
解 (1)要使函数y ＝1
1＋tan x
有意义，
只需⎩⎪⎨⎪⎧
1＋tan x ≠0，x ≠π2
＋k π (k ∈Z ).
∴函数的定义域为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .
(2)由3－tan x >0，得tan x < 3.
根据正切函数图象，得－π2＋k π<x <π
3＋k π (k ∈Z )，
∴函数的定义域是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |－π2＋k π<x <π3＋k π，k ∈Z .
例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π
4的单调区间及最小正周期. 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π
4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π
2 (k ∈Z )，
得2k π－π2<x <2k π＋3
2
π，k ∈Z ，
∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭
⎫－12x ＋π
4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .周期T ＝π⎪⎪⎪
⎪
－12＝2π.
反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π
2＋
k π<ωx ＋φ<π
2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3的单调区间.
解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z . 即－π12＋k π2<x <5π12＋k π
2
，k ∈Z .
∴函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3的单调递增区间是 ⎝⎛⎭
⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2 (k ∈Z ).
探究点三 正切函数性质的应用
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小： (1)tan ⎝⎛⎭⎫－65π与tan ⎝⎛⎭⎫－13
7π； (2)tan 2与tan 9.
解 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫－65π＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－π
5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋π7＝tan π
7， 又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上是增函数， 而－π2<－π5<π7<π
2
.
∴tan ⎝⎛⎭⎫－π5<tan π
7，即tan ⎝⎛⎭⎫－65π<tan ⎝⎛⎭⎫－137π. (2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而π
2<2<9－2π<π.
由于函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫
π2，π上是增函数， ∴tan 2<tan(9－2π)，即tan 2<tan 9.
反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π
2
＋k π)，k ∈Z ，故在
⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭
⎫π2，3π2上都是增函数.
跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小. (1)tan(－1 280°)与tan 1 680°； (2)tan 1，tan 2，tan 3.
解 (1)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)
＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，
而函数y ＝tan x 在()
－90°，90°上是增函数， ∴tan(－20°)<tan 60°， 即tan(－1 280°)<tan 1 680°.
(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π
2<2－π<0，
∵π2<3<π，∴－π
2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，
且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.
1.函数y ＝3tan(2x ＋π
4)的定义域是( )
A.{x |x ≠k π＋π
2，k ∈Z }
B.{x |x ≠k 2π－3π
8，k ∈Z }
C.{x |x ≠k 2π＋π
8，k ∈Z }
D.{x |x ≠k
2π，k ∈Z }
答案 C
2.函数f (x )＝tan(x ＋π
4)的单调递增区间为( )
A.(k π－π2，k π＋π
2)，k ∈Z
B.(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z
C.(k π－3π4，k π＋π
4)，k ∈Z
D.(k π－π4，k π＋3π
4)，k ∈Z
答案 C
3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π
2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x
2
D.y ＝－tan x
答案 C
4.方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π
2.故选B.
1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π
2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一
支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质
(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .
(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π
|ω|.
(3)正切函数在⎝⎛⎭
⎫－π2＋k π，π
2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调减区间.
一、基础过关
1.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠3
10π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A.(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫4
5π，0 D.(π，0) 答案 C
2.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫
12x －π3在一个周期内的图象是( )
答案 A
3.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π
4)中，最小正周期为π
的所有函数为( ) A.②④ B.①③④ C.①②③ D.①③
答案 C
解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π
2
.
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 4.下列各式中正确的是( ) A.tan 735°>tan 800° B.tan 1>－tan 2 C.tan 5π7<tan 4π7
D.tan
9π8<tan π
7 答案 D
5.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A.0 B.1 C.－1 D.π4
答案 A
解析 由题意，得T ＝πω＝π
4，∴ω＝4.
∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫
π4＝tan π＝0.
6.下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3的说法正确的是( ) A.在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π
6上单调递增 B.最小正周期是π
C.图象关于点⎝⎛⎭⎫
π4，0成中心对称 D.图象关于直线x ＝π
6成轴对称
答案 B
解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π
6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π
3，k ∈Z ，
任取k 值不能得到x ＝π
4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.
7.求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π
4的值域. 解 ∵－π4≤x ≤π
4，
∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈.
∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π
4时，y min ＝－4，
当t ＝1，即x ＝π
4时，y max ＝4.
故所求函数的值域为. 二、能力提升
8.已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π
2)内是减函数，则( )
A.0<ω≤1
B.－1≤ω<0
C.ω≥1
D.ω≤－1
答案 B
解析 ∵y ＝tan ωx 在(－π2，π
2
)内是减函数，
∴ω<0且T ＝π
|ω|≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.
9.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫
π2，3π2内的图象是( )
答案 D
解析 当π
2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；
当x ＝π时，y ＝0；
当π<x <3π
2
时，tan x >sin x ，y ＝2sin x .故选D.
10.函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π
2，则ω＝____.
答案 ±2
解析 T ＝π|ω|＝π
2，
∴ω＝±2.
11.已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈，θ∈(－π2，π
2).
(1)当θ＝－π
6时，求函数f (x )的最大值和最小值.
(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间上是单调函数. 解 (1)当θ＝－π
6
时，
f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－4
3(x ∈)，
∴当x ＝
33时，f (x )min ＝－43
；
当x ＝－1时，f (x )max ＝23
3. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3.
∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 解得θ的取值范围是π4，π2)∪(－π2，－π3
0,2π0,2π0,2π上有3个交点. (2)当k π≤x <k π＋π2
，k ∈Z 时，tan x ≥0，则f (x )＝tan x ； 当k π－π2
<x <k π，k ∈Z 时，tan x <0，则f (x )＝－tan x ，则有f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，k π≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，k π－π2
<x <k π，k ∈Z ，
其图象如图所示.
由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.。