分析学中各种收敛关系的初探

k =1
又 ∀x ∈ [a,b]，有
3
{ } x ≤ max a , b
=
c, vn (x)
=
e x2
+
3
n2
n
=
e x2
3
n2
+
1 n
≥
e x2
3
(n + 1) 2
+
n
1 +
1
=
vn+1
(
x).
所以，{vn (x)}单调减少，且
vn (x)
≤
ec2
+
3
n → 0, (n → ∞). 即{vn (x)}在 [a,b]上一
<
N2
+
2
时，显然有 0
<
nx0
n=1
n=1
4
∑ 由于 0 ≤ an ≤ ϕn (a) + ϕn (b) ，故知 ∞ an 收敛，由于ϕn (x) 在 [a,b]上是单调的，故 n=1
ϕn (x) ≤ an , (a ≤ x ≤ b, n = 1,2, )
由魏尔斯特拉斯判别法知，级数
∞
∑
ϕ
n
(
x)
在
[a,
b]
上绝对收敛且一致收敛.
n2
致收敛于 0，根据狄利克雷判别法知，原级数在 [a,b]上一致收敛.
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
（2）对于 x0 ∈ R,
n=1
e x02 +
3
n2
n=∞源自e x02 (+ 1 ) ，由于级数
∞
3
n n=1
2
n
n=1
e x02 收敛， ∞ 1
3
n2
n=1 n
∑∞
发散。所以
e x02 +
3
n 发散，故原级数在 x0 不是绝对收敛.
we give out the definitions of various converge and proofs of the relations of converge partly.
KEY WORDS convergence; sequence of function; series of functions; Egroff theorem
x
=
1 n2
，就有
f
n
(
n
1 2
)
−
f
(1) n2
=
1 4
> ε 0 ，因此
fn (x) 在 [0,1]上收敛而不一致收敛.
（3）
fn (x)
=
xn 1+ xn
,
x
∈ [0,2]
⎧0,1 − ε ≤ x < 1;
解:
f
(x)
=
lim
n →∞
fn (x)
=
⎪1
⎨ ⎪⎩1,1
2 <
, x = 1; x ≤1+
=
1 2
>
ε0，
因此 fn (x) 在 [0,1]上收敛而不一致收敛.
（2） fn (x) = x n − x 2n , (0 ≤ x ≤ 1)
解：当
0
≤
x
≤
1 时，
lim
n→∞
fn
(x)
=
f (x),
并有
fn (x) − f (x) = xn − x2n ，
取ε0使0
<
ε0
<
1 4
，不论 n 多么大，只要取
前言
数学分析是数学专业最重要的基础课，它对后续课程（实变函数，泛函分析，拓扑， 微分几何）与近代数学的学习和研究具有非常深远的影响和至关重要的作用．极限思想 是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础，极限理论（包括级数） 为主要工具来研究函数的一门学科．
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有概念都 离不开极限．在几乎所有的数学分析著作中，都是利用极限的思想方法给出连续函数、 导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分和曲线 积分的概念等．
x ∈ E, fn (x) − f (x) ≤ ε , (*)成立，则称函数{ fn (x)} 在 E 上一致收敛于 f (x). 显然，一致收敛的函数一定逐点收敛.下面从概念的逻辑加以分析：如果{ fn (x)} 在 E
上逐点收敛，那便存在着这样的函数 f (x) ，它对每个ε > 0, 以及每个 x ∈ E, 有一个整数
文章给出了各种收敛的定义，再对部分收敛之间的关系,给出了证明. 关键词 收敛；函数列；函数项级数；叶果洛夫定理
THE RELATIONS OF VARIOUS CONVERGE IN ANALYSIS
ABSTRACT
In this paper, we mainly study the relations of various converge in analysis. In mathematical analysis we refer to point-wise convergence, uniformly convergence, absolutely convergent, absolute uniform convergence. In theory of functions of real variable we study convergence almost everywhere, almost uniformly convergence, convergence in measure. We discuss their relations in detail on the basis of books.
数集 E 上一致收敛于 S(x) .即 ∀ε > 0, ∃N ∈ N + ,∀n > N,∀x ∈ E, 有 Sn (x) − S (x) < ε.
∞
∞
定义 5 函数项级数 ∑ un (x) 在数集 E 上绝对收敛的定义：∀x ∈ E, 级数 ∑| un (x) | 收
n=1
n=1
敛.
∞
定义 6 函数项级数 ∑ un (x) 在数集 E 上绝对收敛且一致收敛的定义：函数项级数 n=1
n=1
n2
注：本例说明一致收敛不意味着绝对收敛.
∑∞
例 2．证明级数
x2 ,∀x ∈ R 绝对收敛，但在 R 非一致收敛.
n=1 (1 + x 2 ) n
∑ 证：（1）仅需证该级数 ∀x
∈
R
收敛.设
Sn (x)
=
∞ k =1
x2 (1 + x 2 )k
,
则
Sn
(
x)
=
1
x +
2
x
2
1− ( 1 )n ⋅ 1+ x2
下面是关于一致收敛的柯西准则：
定理 2 [1] :定义在 E 上的函数序列{ f n (x)} 在 E 上一致收敛，当且仅当:
∀ε > 0, ∃N, ∋ m ≥ N, n ≥ N, x ∈ E 时, fn (x) − fm (x) ≤ ε , 成立.
∑ 例 1．证明级数 ∞ (−1)n e x2 + n 在任何有限区间 [a,b]上一致收敛，但在任 3
本文主要对分析学中各种收敛关系进行了探讨对在数学分析中涉及到的函数列与函数项级数的点收敛一致收敛绝对收敛与绝对一致收敛以及实变函数中的几乎处处收敛近一致收敛依测度收敛在书本的基础上对它们之间的关系进行进一步地探究与讨论
分析学中各种收敛关系的初探
摘要
本文主要研究了分析学中各种收敛之间的关系.对在数学分析中涉及到的函数列与 函数项级数的点收敛、一致收敛、绝对收敛与绝对一致收敛以及实变函数中的几乎处处 收敛、近一致收敛、依测度收敛，在书本的基础上对它们之间的关系进行进一步地探究 与讨论．
ε.
取ε0使0
<
ε0
<
1 3
，不论 n
多么大，只要取
x
=
1 n2
，就有
1
fn (n
) 2
−
f
1 () n2
=
1 3
>
ε 0 ，因此
fn (x) 在 [1 − ε ,1 + ε ]上收敛而不一致收敛.
5
研究函数项级数在指定区间上的一致收敛性（收敛不一定一致收敛）：
∞
（1） ∑
sin nx
，在闭区间 0
在R
上
∑ 不连续，所以
∞ n=1
x2 (1 + x 2 )n
在 R 上不一致收敛.
例
3.证明：若各项是单调函数的级数
∞
∑
ϕ
n
(
x)
在闭区间
[a,
b]
的端点绝对收
n=1
敛，则此级数在闭区间 [a,b]上绝对收敛且一致收敛.
∞
∞
∑ ∑ 证：按题设 | ϕn (a) | 与 | ϕn (b) | 均收敛，令 an = max(ϕn (a) , ϕn (b) )
定理 1：如果 ∑ an 绝对收敛，则 ∑ an 就收敛.
m
m
证：定理的断语是不等式 ∑ ak ≤ ∑ ak 和柯西准则的直接结果
k=n
k=n
评注：就正项级数而言，绝对收敛与收敛是一回事.
n
∑ ∑ 级数 fn (x) 的部分和，规定为 fi (x) = Sn (x). i =1
如果部分和序列{Sn (x)}在 E 上一致收敛,我们就说级数 ∑ fn (x) 在 E 上一致收敛.
n=1
n2
何点 x0 不绝对收敛.
证：（1）设 un (x)
=
(−1)n , vn (x)
=
e x2
+
3
n , x ∈[a,b], n ∈ N + .
n2
则
∞
∑un
(x) 的部分和函数列
n
∑ (−1)k
在 [a,b]一致有界，即
n=1
k =1
n
∑ uk (x) ≤ 1, x ∈[a,b], n ∈ N + .
≤
x
≤
2π
上.
n=1 n
∞
解：级数 ∑
sin
nx
在0
≤
x
≤
2π
上条件收敛，但它不一致收敛，这可用反证法获证.
n=1 n
∑ 设
∞ n=1
un (x) 在 0
≤
x
≤
2π
上一致收敛，其中 un (x)
=
sin nx n
(n
= 1,2,
).则应有：任给 ε > 0 ，
例如，取 ε
=
1 4
，必存在
N1
=
N1 (ε ) （它与
N , 如果 n ≥ N ,（*）就成立，这里的 N 既依赖于 ε , 又依赖于 x. 如果{ fn (x)} 在 E 上一致
收敛，便对于每个ε > 0, 找出一个整数 N ，当 n ≥ N 时，能够对于一切 x ∈ E, （*）式成 立.
∞
∑ 定义 4‘ 函数项级数 un (x) 在数集 E 上一致收敛于 S(x) 的定义：函数列{Sn (x)}在 n=1
本文主要对分析学中各种收敛关系进行了探讨，对在数学分析中涉及到的函数列与 函数项级数的点收敛、一致收敛、绝对收敛与绝对一致收敛以及实变函数中的几乎处处 收敛、近一致收敛、依测度收敛，在书本的基础上对它们之间的关系进行进一步地探究 与讨论．
1．数学分析中各种收敛关系
1
为讨论数学分析中各种收敛的关系,先介绍有关概念 [1] :
n=1
研究函数列在所示区间上的一致收敛性（收敛不一定一致收敛）：
（1） fn (x) = xn , x ∈[0,1]
解:
f
(x)
=
lim
n →∞
fn (x)
=
⎧ 1, x ⎩⎨0,0 ≤
=1 x <1
取ε0使0
<
ε0
<
1 2
，不论 n 多么大，只要取 x
=
1 n2
，就有
f
n
(
n
1 2
)
−
f
(1) n2
∞
∑ un (x) 在数集 E 上是绝对收敛又是一致收敛的.
n=1
2
∞
∞
定义 7 函数项级数 ∑ un (x) 在数集 E 上绝对一致收敛的定义：函数项级数 ∑| un (x) |
n=1
n=1
在数集 E 上一致收敛. 以上各种收敛的关系如下: 1．绝对一致收敛一定一致收敛，绝对一致收敛一定绝对收敛； 2．一致收敛必定收敛.反过来，收敛却不一定一致收敛； 3．绝对收敛一定收敛.反过来，收敛却不一定绝对收敛； 4．绝对收敛不一定一致收敛； 5．绝对收敛且一致收敛也不能推出绝对一致收敛； 注：一致收敛与绝对收敛无必然联系（见例 1、例 2）
∞
∑ 定义 3’函数项级数 un (x) 在数集 E 上收敛于 S(x) 的定义：∀x ∈ E, 函数列{Sn (x)}, n=1 n
∑ 其中 Sn (x) = uk (x), (n ∈ N + ), 收敛于 S(x) . k =1 定义 4（函数列一致收敛性）如果 ∀ε > 0, ∃N, ∋ n ≥ N 时,对于一切
x 无关），使当 n
≥
N1 ，对于 0
≤
x
≤
2π
上的
一切 x 值，均有 un+1 (x) +u n+2 (x) + un+ p (x) < ε , 其中 p 为任意自然数.取 N 2 ≥ 2N1, 记
n0
=
max(⎢⎣⎡
N2 2
⎥⎦⎤,
⎡ ⎢⎣
N
2+ 2
1⎥⎦⎤),
则
n0
≥
N1, 又取
p
使 n0
+
p
1− 1
=1− ( 1 )n 1+ x2
1+ x2
S
(
x)
=
lim
n→∞
Sn
(
x)
=
⎧0, ⎨⎩ 1,
x x
= ≠
0 0
∑∞
所以
x2 绝对收敛.
n=1 (1 + x 2 ) n
∑ （2）由于 ∀n ∈ N + , x2 (1 + x 2 )n
在R
连续，而
∞ n=1
x2 (1 + x 2 )n
在R
上的和函数 S(x)
定义 1（绝对收敛）如果级数 ∑ an 收敛,就说级数 ∑ an 绝对收敛. 定义 2（条件收敛）如果级数 ∑ an 发散,但 ∑ an 收敛,就说级数 ∑ an 条件收敛.
定义 3(函数列的逐点收敛)函数列{ fn (x)} 在数集 E 上点点收敛于 f (x) 的定义： ∀x ∈ E, 数列{ fn (x)} 收敛于 f (x). 即 ∀ε > 0, ∃N ∈ N + ,∀n > N, 有 fn (x) − f (x) < ε.
=
N2
+ 1, 则应有
un0 +1 (x) +u n0 +2 (x) + un0 + p (x) < ε , 也即有