2020年湖南省株洲市醴陵第五中学高三数学文月考试卷含解析

2020年湖南省株洲市醴陵第五中学高三数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆C:x2+y2=l，点A（-2，0）及点B（2，a），从A点观察B点，要使视线不被圆C 挡住，则a的取值范围是
A．（-,-1）（－1 ） B．（—,-2）（2,+ ）
C．（—，）（，+） D．（—，－4）（4,+ ）
参考答案：
C
2. 一个算法的程序框图如右，则其输出结果是
A．0 B．
C．D．
参考答案：
B
略
3. 已知函数f（x）=在区间[a，b]上的最大值是，最小值是﹣3，则a+b=（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
参考答案：C
【分析】先判断函数f（x）区间[a，b]上的单调性，再代值计算即可．
【解答】解：函数f（x）===2+，
∴f（x）在（﹣∞，2）或（2，+∞）上单调递减，
∵在区间[a，b]上的最大值是，最小值是﹣3，
∴函数f（x）在[a，b]上单调递减，
∴，
解得a=﹣1，b=1，
∴a+b=0，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性的应用，考查了转化能力和运算能力，属于中档题
4. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为90°,则甲、乙两地最短距离为(设地球的半径为R)（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(2m＋n)//(m－2n)，则λ＝
A.－1
B.0
C.1
D.2
参考答案：
B
6. 朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（）
A．350升B．339升 C.2024升D．2124升
参考答案：
D
7. 一算法的程序框图如图1，若输出的，则输入的的值可能为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
试题分析：由程序框图知：．当时，，解得：（舍
去）；当时，，解得：（）或（），当时，或（舍去），所以输入的的值可能是，故选C．
考点：1、框图；2、分段函数．
8. 设等差数列{a n}的公差是d，其前项和是S n，若a1=d=1，则的最小值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：a n=n，S n=，于是
=，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：a n=1+（n﹣1）=n，S n=，
∴===，当且仅当n=4时取等号．
∴的最小值是．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9. 如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
10. 已知tan()，tan，则tan()的值为（）
A． B．1 C． D．4
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的值域为
．
参考答案：
12. 数列是公比为的等比数列，是首项为12的等差数列．现已知a9＞b 9
且a 10＞b 10，则以下结论中一定成立的是▲．（请填写所有正确选项的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
参考答案：
【答案解析】①③解析：解：因为数列是公比为的等比数列，所以①
成立;而④，只有当为正数才成立，不一定成立；又因为是首项为12的等差数列
，所以是递减数列，③成立，当公差很小时②不成立，所以答案为①③
【思路点拨】根据数列的概念进行分析.
13. 已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ) （，ω＞0，|φ|＜），y＝f(x)的部分图象如图，则f＝
________.
参考答案：
略
14. 在等差数列中，，其前项和为，
若，则的值等于 .
参考答案：
-2013
略
15. 已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A成立的一个必要不充分的条件是
x∈B，则实数m的取值范围是．
参考答案：
（﹣2，2）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据集合的包含关系得到关于m的不等式，解出即可．
【解答】解：A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，
若x∈A成立的一个必要不充分的条件是x∈B，
即B?A，则﹣1＜m+1＜3，解得：﹣2＜m＜2，
故答案为：（﹣2，2）．
16. 已知函数，则函数在点处切线方程为
参考答案：
x+y-1=0
略
17. 设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是
________．
参考答案：
(－1，)
f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－
1，即
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数，.
（Ⅰ）设，函数在处切线方程为，求a，b的值；
（Ⅱ）若，为整数，当时，成立，求k的最大值.
参考答案：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）2.
【分析】
（Ⅰ）先求的导数，结合导数的几何意义，可求；
（Ⅱ）分离参数，构造新函数，利用导数求解新函数的最值，可得的最大值.
【详解】（Ⅰ），
，由题意可知.
（Ⅱ）当时，等价于
设，，
令,;
当时，恒成立.
∴在上单调递增，
又,
∴在上有唯一零点，且，，
∴单减区间为，单增区间为，
∴在的最小值为
.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求解函数的最值问题，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.
19. （12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
参考答案：
解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
20. 已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．
参考答案：
解：设矩阵A的逆矩阵为，
则=，即=，
故a=﹣1，b=0，c=0，d=，
从而A﹣1=，
∴A﹣1B==．
考点：几种特殊的矩阵变换．
专题：矩阵和变换．
分析：设矩阵A﹣1= ，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．
解答：解：设矩阵A的逆矩阵为，
则=，即=，
故a=﹣1，b=0，c=0，d=，
从而A﹣1=，
∴A﹣1B==．
点评：本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题．
21. 已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，，点Q在椭圆上，且
的周长为6.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为(2,1)，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为
M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线，求的最大值.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据焦距和焦点三角形周长可求得，利用求得，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，可判断出，，三点不共线，不符合题意；所以可假设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出和；由三点共线得到斜率相等关系，从而可求得；利用弦长公式和点到直线距离公式求得和，代入可整理出：
，可知当时取最大值. 【详解】（Ⅰ）由题意得：，
解得：，
椭圆的方程为
（Ⅱ）设，
当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合显然，，三点不共线，不符合题设条件
故可设直线的方程
由，消去整理得：……①则
，点的坐标为
，，三点共线
此时方程①为：，则
则，
又
当时，的最大值为
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆综合应用中的求解最值的问题，解决直线与椭圆综合问题时，常采用联立的方式整理出韦达定理的形式，利用韦达定理表示出所求的距离或弦长，从而将所求问题转变为函数最值的求解问题.
22. （12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB=2，
，PA=2，
求：（Ⅰ）三角形PCD 的面积； （II ）三棱锥P ﹣ABE 的体积．
参考答案：
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD ，∴PA⊥CD． 由矩形ABCD 可得CD⊥AD， 又∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD ，∴CD⊥PD． ∴△PCD 是一个直角三角形，PD==
．
∴S △PCD =
=2
．
（ II ）如图，设PB 的中点为H ，又E 为PC 的中点，由三角形的中位线定理，得EH∥BC，EH=
=
．
由PA⊥底面ABCD ，∴PA⊥BC． 由矩形ABCD 得BC⊥AB． 又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB ．
所以HE 为三棱锥P ﹣ABE 的高，因此可得V P ﹣ABE =V E ﹣PAB =
=
．。