三次样条函数拟合公路平面线形适宜性分析

三次样条函数拟合公路平面线形适宜性分析
张汉龙
【摘要】公路实施改扩建工程，首要问题是获取既有道路线形参数。

文中分析了平面线形组成以及拟合函数的特点，阐述了三次样条函数拟合公路平面线形的适宜性及求解曲线参数的原理。

并以既有路线为例，论证了拟合结果的正确性和提高拟合精度的方法。

【期刊名称】《交通科技》
【年(卷),期】2016(000)004
【总页数】3页(P61-63)
【关键词】公路平面线形;三次样条函数;拟合;误差
【作者】张汉龙
【作者单位】武汉市公路勘察设计院武汉 430015
【正文语种】中文
随着我国经济的快速发展，原有高速公路的服务水平越来越不适应交通发展需求，主要表现为交通拥堵时有发生、通行能力及行车速度明显下降，不能满足快速和舒适的行车要求。

因此，对其实施改扩建势在必行。

但早期修建的高速公路受当时经济状况和道路勘测设计、施工技术及相关公路工程标准、规范等因素制约，经过长期使用，道路病害越来越多，实施改扩建时除需了解原道路设计资料外，还应对道路现状尤其路线指标有所掌握。

获取道路现状路线指标方法较多，大多是通过曲线拟合获取线形参数。

陈俊平、王
解先等[1]利用曲线离散点的平面坐标，通过坐标系之间的平移和旋转，依据不同
曲线标准方程的特征，对曲线进行拟合，从而求取参数。

祁鹤[2]利用测量或地面
数字模型得到的散点坐标数据, 用最小二乘法拟合得出公路设计所需的平面设计曲线半径R和缓和曲线参数A，以及纵断面设计数据变坡点高程H和竖曲线半径R。

臧晓冬[3]在公路设计纸上定线中,在采用直线形法和曲线形法对离散点拟合基础上，提出用样条函数拟合纸上定线中的离散点，并给出曲线参数的推导公式。

上述方法都是用直线、圆曲线和缓和曲线分段函数靠近尽量多的离散点，然后依次相连，构成连续的平面线形。

这不可避免地会出现为满足线形而不得不放弃关键的控制点，或者为满足控制点而不得不放弃多数理想点的问题。

为解决这一问题，本文探讨用三次样条函数拟合公路平面线形，使得线形具有整体性、光滑性、连续性，获取的参数更真实地反映道路现状。

1.1 平面线形缓和曲线特性
汽车从直线驶入圆曲线，中间需加入缓和曲线，其作用[4]如下。

(1) 汽车从一曲线过渡到另一曲线的行驶过程中，使离心加速度逐渐变化，旅客感到舒适。

(2) 缓和曲线作为加宽、超高变化的过渡段，使行车更加平稳。

(3) 缓和曲线通过其曲率的逐渐变化，可适应汽车转向操作的行驶轨迹及路线的顺畅，以构成美观及视觉协调的最佳线形。

公路线形缓和曲线选用回旋曲线形式，其回旋线直角坐标方程：
式中：C=R·ls ,R为圆曲线半径、ls为缓和曲线长度。

在道路中线测设中,为了提高道路中线精度,曲线上选取的细部点桩距(或步长)l不宜过大,l与曲线参数C和曲线半径R比较相对较小,故较小的情况下,式(1)、式(2)中,
值较小，可近似认为回旋线上点坐标y与x表现出三次函数关系。

1.2 拟合函数的特性
拟合公路线形，就是针对公路线形基本组成单元(平面为直线、缓和曲线、圆曲线；纵面为直线、圆曲线或二次抛物线)的特点，讨论适合拟合公路的曲线模型，解析
模型参数，得到分段表达式，即确定直线段、曲线段。

基于此，确定公路线形的拟合函数，应具有以下特性：①光顺性，要求曲线至少具有二阶连续、可导性；②凹凸性，根据采样点拟合的曲线，能明显地反映出路线顺应地形、地势特征的变化；③精确性，拟合出的曲线能完全通过或尽可能地逼近给定的点。

1.3 三次样条曲线特性
1.3.1 三次样条函数确定
三次样条曲线S(x)具有以下特点[5]：①S(x)在[a，b]上具有连续的一阶、二阶导数；
②在每个小区间[xi,xi+1]上，S(x)都是三次多项式；③S(xi)=yi (i=0，1，…，n)为这个函数代表曲线上所有的点。

则在分段[xi-1,xi]上有：
由lagrange插值，则有：
式中：hi=xi-xi-1,对上式积分得：
再对上式微分一次，得：
要使曲线在节点i处连续，即在左区间[xi-1,xi]和右区间[xi,xi+1]上的插值在i点处的一阶倒数相等，由式(5)得：
上式可写为：
其中：
由式(9)求解参数Mi，将Mi代入式(6)，即可确定分段三次样条函数。

由上述分析讨论可知，三次样条函数特性与公路平面线形比较吻合，运用拟合技术，能较好地求出路线参数。

1.3.2 曲线参数计算
式(6)为分段三次样条函数，对三次样条函数进行微分，再运用函数一阶、二阶微
分与曲线斜率、曲率对应关系，由式(11)求出曲率或半径、式(12)求出缓和曲线参数，路线偏角由斜率求得[6]。

式(12)中ls为缓和曲线长度。

以基本型平曲线为例：原设计参数为：R=140 m，Ls=40 m，a=34°32′06″，主
点桩号：直缓(ZH)K0+856，缓圆(HY)K0+896，圆缓(YH)K0+947，缓直(HZ)K0+987。

基于MATLAB工具软件拟合各离散点，得到分段三次样条多项式，见表1。

对分段多项式进行一阶、二阶求导，由式(11)，得出各段斜率、曲率，见表2。

由表2可见，K0+856～K0+896曲率变化较大，判断为缓和曲线段；K0+896～
K0+947曲率变化较小且保持恒定，判断为圆曲线段。

取圆曲线段曲率平均值计算半径R=135 m，曲线转角a=34°31′47″。

计算值与该平曲线原始设计参数相比，结果为ΔR=-5 m，ΔL=0 m，Δa=10.44″，可见其拟合结果较为理想[7]。

(1) 三次样条曲线能较好拟合公路平面线形，是获取既有公路平面线形参数的有效途径。

尤其在现有公路实施改扩建工程中，为公路路基加宽及平面线形优化与改善，提供了可靠的道路中线数据。

(2) 公路改扩建是可持续性交通发展的要求，也是科学发展观的体现。

三次样条曲线拟合公路平面线形，解决了公路改扩建线形设计的关键技术问题，是路线设计理论的有益补充。

(3) 基于三次样条函数拟合平面线形参数存在误差，误差与采样点间距即拟合区间大小有关。

步长长，则误差大；步长小，精度高。

针对曲线主点是线形特征点，拟合误差较直线部分明显，因此在实际测绘中线时，加密曲线转弯处采样点。

(4) 为避免拟合时出现突变点，拟合前，对采集数据点运用CAD技术进行预处理，
目的是排除数据中的错误点。

【相关文献】
[1] 陈俊平,王解先.工程测量中的曲线拟合[J].工程勘察，2003(5)：59-61.
[2] 祁鹤,马咸利，孙霞.公路设计中的线形拟合[J]. 辽宁交通科技,2002，25(3)：22-23.
[3] 臧晓冬.样条函数在公路设计纸上定线中的应用[J]. 公路,2002(2)：47-49.
[4] 杨少伟.道路勘测设计(第3版)[M].北京：人民交通出版社, 2009.
[5] 王能超.数值分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，2003.
[6] 陈峰，辜良瑶，杨岳，等.铁路既有线复测平面曲线优化方法[J].铁道科学与工程学报，2012，(5): 90-95．
[7] 张航,黄云,龚良甫，等.基于三次样条函数拟合公路平面线形方法研究[J].武汉理工大学学报(交通科学与工程版),2007,31(5):925-927.。