3.7 多项式的零点估计

3.7 多项式的零点估计
既然一般的5次以上方程没有准确的求根公式，人们仍然期望得到多项式的近似根，至少得到根的位置的估计，这就是本节的任务. 引理3.16(c) 若复系数多项式
011
1)(a x a x
a x a x f n n n n +++=-- 则当x 充分大时，有
||||011
1a x a x
a k x a n n n n +++≥-- 其中k 是任意正实数. 证明 令|}||,||,||,m ax {|
021a a a L n n --=,则有
≤++--||01
1x a x
a n n ≤+++----||||||||02
211a x a x
a n n n n =+++--)1|||||(|2
1
n n x
x
L
1
||1
|
|--x x L n
现假设|x |>1,则 1
|||
|1
||1
|
|-≤--x x L
x x L n
n
欲使
1
|||
|||->x x kL
x a n
n
n
只要取 ||
||
1||n a kL
x >-
即 1||
||
||+>n a kL x
就有 ||||011
1a x a x
a k x a n n n n +++>-- 定理3.17 复系数n 次多项式
011
1)(a x a x
a x a x f n n n n ++++=-- 的根的模小于1+
n
a L .其中
|}||,||,||,m ax {|
021a a a L n n --=
证明 在引理3.16(c)中令k =1,当x 充分大，即1|
|+>
n a L x 时，
||||011
1a x a x
a x a n n n n +++>-- 所以这时x 不可能是f (x )的根，即f (x )的根的模小于1+n
a L .
定理3.18 已知正实系数n 次多项式
011
1)(a x a x
a x a x f n n n n ++++=-- 如果f (x )的系数是递减的，即 011a a a a n n >>>>- 则f (x )的根α均有|α|<1.
证明 因为令,1->k k a a
01>-=-k k k a a β n k ,,2,1 = 00a =β
显然有 ∑
==
k
j k
k a 0
β
=+++=--==∑∑0
1
1
)()()(β
ββα n n j j n
n
j j x
x f
)(1
j
n n n
n
j j
n x
x
x
--=-++∑
β
对于任意复数α，有
=++=
--=-∑
)()(1
j
n n n
n
j j
n f α
α
α
β
α
)(111
+-=-+-∑
n j
n n
j j
n a
α
α
β
注意 α
α
α
α
α
α
--=
++++---11
1
n j
n j
n n n
如果)(x f 是α的根，则
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
==--==+=-=+--=+--=
===-n
j n
j j
n j j n
j n
j j
n j
j n
j j
n n
j n j
n j
n n
j n j
n j
n 0
1
001
01
01
)(β
α
ββ
α
α
ββ
α
α
β
α
α
β
但 ∑
∑
==----≤
n
j n
j n j j
n j j 0
1
1
||||||
α
β
α
β
当1||>α时
∑
∑
∑
===--=
≤
n
j n
j j
n
j j
n j j 0
1
||||β
β
α
β
这与
∑
∑
==--=
n
j n
j j
n j j 0
1
β
α
β矛盾.所以α的根)(x f 的模不能大于1.
推论3.18(a) 若正实数多项式
01
1)(a x
a x
a x f n n n
n +++=--
的系数均为正数，而且满足 M a a m k
k <-<|1|
n k ,,2,1 =
M m x f <<||)(αα有的根则.
证明 令
011
1
1)()(a Mx a x
M
a x M
a Mx f x g n n n n n
n ++++==---
因为
M a a k
k <-1，故
111<--k
k k k M
a M a
所以g (x )的系数是正的，且为递减的，因而由定理3.18知，g (x )的根的模小于等于1. 如果)(x g 是α的根，
0)()(==ααM f g
则)(x f M 是α的根.因.||)(,1||M M x f ≤≤αα的根所以 另一方面
0111a x a x a x a f n n n n ++++=--
的根是0)(a x a x f n
n ++= 的根的倒数.
由于k k a a m 10-<
<，所以
m
a a k
k 11<
-
同理可证)(x f 的根的模.)(,1m x f m
≥≤
的模即
例 求方程
65432)(2
3
4
5
+++++=x x
x
x
x
x f
的根的上下限.
解 由引理3.16(c),f (x )的根的模上限为,71
61=+
再由推论3.18(a)可得
k
k a a 1-数列为
1
2 2
3 3
4 4
5 56
所以 2,5
6==M m
所以f (x )的根2||5
6≤≤αα满足.
练习3.7
求下列多项式根的上下限：
1．123352
34++++x x x x 2．54322
3
+++x x x。