曹显兵概率论讲义打印版

第一讲 随机事件与概率
考试要求
1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.
2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.
3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型
1．试验，样本空间与事件.
2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数
中有利事件数A A P =
)(
3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则
、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积=
)(A P
【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个；
（2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回.
【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于
16
3. 一、 事件的关系与概率的性质
1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ⇔ Φ
=AB
（2） A 与B 互逆（对立事件） ⇔ Φ=AB
,Ω
=B A
（3） A 与B 相互独立⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）.
⇔ P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ⇔(|)(|)1P B A P B A += （0<P （A ）<1）.
⇔P （B|A ） =P （B|A ） （ 0 < P （A ） < 1 ）
注: 若（0<P （B ）<1）,则,A B 独立⇔ P （A|B ）=P （A ） （P （B ）>0）
⇔ 1)|()|(=+B A P B A P （0<P （B ）<1）. ⇔ P （A |B ）=P （A |B ） （0<P （B ）<1） ⇔ P （A |B ）=P （A |B ） （0<P （B ）<1）
（4） A, B, C 两两独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;
P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）.
（5） A, B, C 相互独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;
P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）; P （ABC ）=P （A ）P （B ）P （C ）.
2. 重要公式 （1） )(1)(A P A P -=
（2） )
()()(AB P A P B A P -=-
（3） )()()()(AB P B P A P B A P -+=
)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=
（4） 若A 1, A 2,…,A n 两两互斥, 则∑===n
i i n
i i
A P A
P 1
1
)()(
.
（5） 若A 21,A , …, A n 相互独立, 则 )(1)(
11i
n i n i i
A P A P ∏==-= )](1[11
i
n
i A P ∏=--=.
∏===n
i i n i i A P A P 1
1
)()( .
（6） 条件概率公式: )
()
()|(A P AB P A B P =
（P （A ）>0）
【例3】 已知（A ＋B ）（B A +）＋B A B A +++＝C, 且P （ C ）＝
3
1
, 试求P （B ）. 【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C 满足条件: ABC ＝Φ, P （A ）＝P （B ）＝P （C ）<
2
1,且已知9
()16
P A
B C =
, 则P （A ）＝ .
【例5】 设三个事件A 、B 、C 满足P （AB ）＝P （ABC ）, 且0<P （C ）<1, 则 【 】
（A ）P （A B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （B ）P （A B|C ）＝P （A
B ）.
（C ）P （A
B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （D ）P （A
B|C ）＝P （A
B ）.
【例6】 设事件A, B, C 满足条件: P （AB ）＝P （AC ）＝P （BC ）18=
, P （ABC ）＝1
16
, 则事件A, B, C 中至多一个发生的概率为 .
【例7】 设事件A, B 满足 P （B| A ）＝1则
【 】
（A ） A 为必然事件. （B ） P （B|
A ）=0.
（C ） A B ⊃. （D ） A B ⊂.
【例8】 设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且0<P （C ）<1, 则不独立的事件为 【 】 （A ） B A +与C . （B ） AC 与C
（C ） B A -与C （D ）
AB 与C
【例9】 设A ，B 为任意两个事件，试证
P （A ）P （B ）－P （AB ） ≤ P （A －B ） P （B －A ） ≤
4
1.
三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式 1． 乘法公式：
).
|()|()|()()().
|()()|()()(1212131212121212121-===n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A P A P A A P
2． 全概率公式：
1
1
()(|)(),,,.i i i j i i i P B P B A P A A A i j A ∞
∞====Φ≠=Ω∑
3．Bayes 公式：
1
1
(|)()
(|),,,.(|)()
j j j i j i i i
i
i P B A P A P A B A i j A P B A P A ∞
∞
===
=Φ≠=Ω∑　A
4．二项概率公式:
()(1)
,0,1,2,,.k k n k
n n P k C P P k n -=-=　,
【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品,
试求另一件也为次品的概率.
【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.
试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品; （2） 第三次才取得次品;
（3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4） 不超过三次取到次品;
【例12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射
中”的概率.
（1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次.
【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的
报名表,从中先后任意抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;
(2)
已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q .
第二讲 随机变量及其分布
考试要求
1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（()()F x P X x =≤） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的
概率.
2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用.
3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.
4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布2
(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)
λλ>的指数分布的概率密度为
,0,
()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩
5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数
1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2．分布函数：
∞+-∞=＜＜),≤ ()(x x X P x F
F （x ）为分布函数 ⇔（1） 0≤F （x ） ≤1
（2） F （x ）单调不减
（3） 右连续F （x+0）=F （x ） （4）
1)(,0)(=+∞=-∞F F
3．离散型随机变量与连续型随机变量
（1） 离散型随机变量
∑∞
=====1
i 1
0,
≥,,,2,1,)(i i i i p p n i p x X P
分布函数为阶梯跳跃函数.
（2） 连续型随机变量
⎰
∞
-=x
t
t f x F d )( )(
f （x ）为概率密度 ⇔ （1） f （x ）≥0, （2） ⎰
+∞
∞- f （x ）1d =x
⎰=≤≤=<<b
a
x f b X a P b X a P )()()(
4．几点注意
【 例1 】 设随机变量X 的分布函数为
0,1,57(),11,16161, 1.x F x x x x <-⎧
⎪⎪
=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩
则2
(1)P X
== .
【 例2 】 设随机变量X 的密度函数为 f （x ）, 且 f （－x ） = f （x ）, 记()X F x 和()X F x -分别是X 和X -的分布函数, 则对任意实数x 有 【 】 （A ）()()X X F x F x -=
. （B ）()()X X F x F x -=-.
（C ）()1()X X F x F x -=-. （D ）()2()1X X F x F x -=-.
【 例3 】 设 随机变量X 服从参数为0λ
>的指数分布, 试求随机变量 Y= min { X, 2 } 的分布函数
【 例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立 每个元件正常工作时间服从参数为 0λ
>的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.
【 例5】设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<-=.,
0,
1|||,|1)(其他x x x f 试求（1） X 的分布函数)(x F ; （2）概率)4
1
2(<<-X P .
二、 常见的一维分布
（1） 0-1分布：1,0,)1()(1 =-==-k p p k X
P k k .
（2） 二项分布n k p p C k X P p n B k n k
k n ,,1,0,)1()(:),( =-==- .
（3） Poisson 分布
)(λP ： ,2,1,0,0＞,e !
)(==
=-k k k X
P k
λλλ.
（4） 均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧-=.,
＜＜1)(:),(其他０，
，　b x a a b x f b a U
（5） 正态分布N （μ，σ2
）：
0,,e
π21)(2
22)(+∞<<∞->=
--
μσσ
σμ x x f
（6） 指数分布⎩⎨⎧=-.
,0 ＞0,
,e )(:)(其他x x f E x λλλ ＞0λ.
（7） 几何分布.2110,)1()(:)(1 ,,k ,＜p＜p p k X
P p G k =-==-
（8） 超几何分布H （N,M,n ）: },min{,,1,0,)(M n k C C C k X P n
N
k
n M N k M ===--　. 【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p （0<p<1）, 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【 】 （A ） 2)1(3p p -.
（B ） 2)1(6p p -
.
（C ） 22
)1(3p p
-.
（D ） 22
)1(6p p
-.
【例7】 设X ～Ｎ （μ, σ2
）, 则 P （ X ≤1＋μ） 【 】
（A ） 随μ的增大而增大 . （B ） 随μ的增大而减小. （C ） 随σ的增大而不变 . （D ） 随σ的增大而减小. 【例8】 设X ～Ｎ （μ, σ
2
）, ()F x 为其分布函数，0μ<，则对于任意实数a ，有 【 】
（A ） ()() 1.F a F a -+> （B ） ()() 1.F a F a -+= （C ） ()() 1.F a F a -+< （D ） 1
()().2
F a F a μ
μ-++=
【例9】 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换n 次后，
黑球仍在甲袋中的概率.
三、 随机变量函数的分布： 1. 离散的情形
2. 连续的情形
3. 一般的情形
【例10】 设随机变量X 的概率密度为
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=.,
0,
20,4
1,01,21
)(其他x x x f X
令),(,2y x F X Y
=为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.
（Ⅰ） 求Y 的概率密度)(y f Y ;
（Ⅱ）
)4,2
1(-F . 第三讲 多维随机变量及其分布
考试要求
1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.
2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.
3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布
（1）一般二维随机变量 F （x, y ）=P{ X ≤ x, Y ≤ y }, x ∈ （−∞, +∞）, y ∈ （−∞, +∞）的性质
F （x, y ）为联合分布函数 ⇔ 1） 0 ≤F （x, y ）≤1 , ∀x ∈ （−∞, +∞）,, y ∈ （−∞, +∞）;
2） F （−∞, y ）= F （x, −∞）=0, F （+∞,+∞）=1;
3） F （x, y ）关于x, y 均为单调不减函数； 4） F （x, y ）关于x, y 均分别右连续.
（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布
联合概率分布律 P{X = x i , Y = y j } = p i j , i, j =1, 2 ,⋅⋅⋅ , p i j 0,
1=∑∑i
j
j
i p
.
边缘分布律 p i = P{X = x i }=
∑j
j
i p
, i =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,
p
j
= P{ Y = y j }=
∑i
j
i p
, j =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,
条件分布律 P{X = x i |Y = y j } =
j
j i p p ∙, P{ Y = y j | X = x i } =
∙
i j i p p .
二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度
f （x, y ）为联合概率密度 ⇔ 1︒ f （x, y ）≥0,
2︒
1=⎰⎰
∞+∞-∞
+∞
- ),(dxdy y x f .
设（ X, Y ）~ f （x, y ）则
分布函数: ⎰
⎰
∞-∞
-=x
y
dxdy y x f y x F ),()
,(;
边缘概率密度:
⎰
∞
+∞
-= ),()(dy y x f x f X , ⎰
∞
+∞
-= ),()(dx y x f x f Y .
条件概率密度:
)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =
, )
()
,()|(|x f y x f x y f X X Y =.
⎰⎰=∈D
dxdy y x f D Y X P ),(}),{(
.)
,(),(y
x y x F y x f ∂∂∂=2
2. 随机变量的独立性和相关性
X 和Y 相互独立 ⇔ F （x, y ）= F X （x ）F Y （y ）;
⇔ p i j = p i
p
j
（离散型）
⇔ f （x, y ）= f X （x ）f Y （y ） （连续型）
【注】
1 X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数
f （X ）与
g （Y ）也独立.
2
若X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m , Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数 f （X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m ）与g （Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n ）也独立.
3 常数与任何随机变量独立.
3. 常见的二维分布
（1）二维均匀分布 （X, Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,
.),(,)(),(其他01
D y x D S y x f （2）二维正态分布 （X, Y ）~ N （μ 1 , μ2, σ12
,σ22
, ）, −∞ <μ1, μ2 < +∞, σ1>0, σ2 > 0, | | <1. 联合概率密度为
2
21121
ρσπσϕ-=
),(y x ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-+------222
22121212122121
σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e
性质:
（ a ） X ~ N （μ1, σ12 ）, Y ~ N （μ2, σ22
） （ b ） X 与Y 相互独立
ρX Y =0 , 即 X 与Y 不相关.
（ c ） C 1X+C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 12
σ12
+ C 22
σ22
+2C 1C 2 σ1
σ2 ）. （ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122
1
1
1ρσμσσρ
μ--+y N 【 例1 】 设A ，B 为事件，且P （A ）＝
4
1, P （B|A ）＝
2
1, P （A|B ）＝
12
令 X ＝⎩
⎨⎧否则发生
若,0,1A , Y ＝⎩⎨⎧否则发生若,0B ,1
（1） 试求（X, Y ）的联合分布律； （2）计算Cov （ X, Y ）； （3） 计算 2
2(2,43)Cov X
Y +.
【 例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.
【 例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为
3
13221P
X
记{}{}Y X V Y X U
,min ,,max ==.
（I ）求（U, V ）的概率分布;
（II ）求（U, V ）的协方差Cov （U, V ）.
【详解】（I ）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且
{}{}})1,min ,1,(max )1,1(=====Y X Y X P V U P
)1,1(===Y X P 9
4
)1()1(=
===Y P X P , {}{}0})2,min ,1,(max )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,min ,2,(max )1,2(=====Y X Y X P V U P
)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P )2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 9
4=
,
{}{}})2,min ,2,(max )2,2(=====Y X Y X P V U P
)2()2()2,2(
======Y P X P Y X P 9
1=
, 故（U, V ）的概率分布为:
（II ） 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯
⨯=UV E 916=, 而 9
14952941)(=⨯+⨯=U E , 9
10
912981)
(=⨯+⨯
=V E . 故 81
4910914916)()()(),(=⨯-=
-=V E U E UV E V U Cov . 【 例4】 设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分
布, 求
（Ⅰ）随机变量
X 和Y 的联合概率密度;
（Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y X
P .
二、 二维（或两个）随机变量函数的分布 1．分布的可加性
（1）若X~B （m, p ）, Y~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ B （m+n, p ）. （2）若X~P （λ1）, Y~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.
（3）若X~N （211,μσ）, Y~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （22
1212,μμσσ++）.
一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n, 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y=C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为
2
2
1
1
(
,
),
n
n
i i
i i i i N C C C
μ
σ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.
2. 两个随机变量函数的分布. 【例5】 设X 与Y 相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则{max(,)0}______;P X Y ≠=
{min(,)0}__________.P X Y ≠=
【 例6】 设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:
1,01,
()X x f x <<⎧=⎨
⎩0,其他. ,0,()y Y e y f x -⎧>=⎨⎩0,其他.
求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.
【 例7】设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为
2,01,01,
(,)0,
x y x y f x y --<<<<⎧=⎨
⎩其它. （I ）求{}Y X P 2>；
（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度
)(z f Z .
【详解】（I ）{}Y X P
2>⎰⎰>=y
x dxdy y x f 2),(⎰⎰
--=1
2210
)2(y
dx y x dy 24
7
=
.
（II ）方法一： 先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=
≤+=z
y x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()
(
当z<0时, 0)(=z F Z ; 当10
<≤z 时, ⎰⎰=
1
),()(D Z dxdy y x f z F ⎰
⎰---=y
z z
dx y x dy 0
0)2(
3
23
1z z -
=； 当21<≤
z 时, ⎰⎰-=2
),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰
⎰-----=111
)2(1y
z z dx y x dy
3)2(3
1
1z --=； 当2≥z
时, 1)(=z F Z .
故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度
)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z
方法二：
⎰
∞
+∞
--=dx x z x f z f Z ),()(，
⎩
⎨
⎧<-<<<---=-.,0,
10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ⎩⎨
⎧+<<<<-=.,
0,
1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ;
当01z <
<时, ⎰-=z Z dx z z f 0
)2()()2(z z -=； 当21<≤
z 时, ⎰
--=11
)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；
故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度
)(z f Z ⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,
10,222其他z z z z z
【例8】 设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f （x ）, Y 的分布律为 ()i i P Y a p ==,　i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率
分布.
第四讲 数字特征与极限定理
考试要求
1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.
2．会根据随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数学期望)(X Eg ；会根据随机变量X 和Y 的联合概率分布求其函数),(Y X g 的数学期望),(Y X Eg .
3．了解切比雪夫不等式.
4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）
5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 一、 数学期望与方差（标准差） 1. 定义（计算公式）
离散型
{}i i p x X P ==, ∑=
i
i
i p
x X E )(
连续型
)(~x f X , x
x xf X E d )()(⎰
+∞
∞
-=
方差：[]22
2
)
()())(()(X E X E X E X E X D -=-=
标准差：)(X D ,
2. 期望的性质：
1° )())((,)(X E X E E C C E =
=
2° )()()(2121Y E C X E C Y C X C E +=+ 3° )()()(Y E X E XY E ，Y X =则独立与若
4° [])()(≤)
(222Y E X E XY E
3. 方差的性质：
1° 0))((,0))((,0)(===X D D X E D C D 2°
)()()(Y D X D Y X D Y X +=±相互独立，则与
3° )()(2
121X D C C X C D =+
4° 一般有 ),Cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±
)()(2)()(Y D X D Y D X D ρ±+=
5°2()()C D X E X <
-, )(X E C ≠
【例1】设试验成功的概率为
43, 失败的概率为4
1
, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望. 【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回.
【例3】 设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,
0,
0,2
cos 21)(其他πx x x f 对X 独立地重复观察4次, 用Y 表示观察值大于3π的
次数, 求2
Y 的数学期望.
【例4】 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之
间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望. 二、随机变量函数的期望（或方差） 1、一维的情形 )(X g Y =
离散型：{}i i P X
x p == ， ∑=
i
i i
p
x g Y E )()(
连续型：
~()X f x x x f x g Y E d )()()(⎰
+∞
∞
-=
2、二维的情形 ),(Y X g Z =
离散型{}ij
i i p y Y x X P Y X ===,~
),(,
∑∑=
j
ij j
i
i
p
y x g Z E ),()(
连续型)
,(~),(y x f Y X ,
y x y x f y x g Z E d d ),(),()(⎰
⎰+∞
∞
-+∞∞-=
【例5】 设X 与Y 独立且均服从N （0，1），求Z ＝
22Y X + 的数学期望与方差.
【例6】设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从N （0，2
1
）, 试求Z ＝｜X －Y ｜的数学期望与方差.
三 、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：
协方差 []
))()((()Cov(Y E Y X E X E X,Y --= 相关系数 )
()()Cov(Y D X D X,Y XY =
ρ
)(k X E k 阶原点矩
[]
k
X E X E k ))((- 阶中心矩
2、性质：
1°
),(Cov ),(Cov X Y Y X =
2° ),(Cov ),(Cov Y X ab bY aX = 3° ),(Cov ),(Cov ),(Cov 2121Y X Y X Y X X +=+
4° |
(,)|1X Y ρ≤
5° 1)(1),(=+=⇔=b aX Y P Y X ρ )＞0(a 1)(1),(=+=⇔-=b aX Y P Y X ρ )＜0(a 3、下面5个条件互为充要条件：
（1）
0),(=Y X ρ
（2）0)
Cov(=X,Y
（3）)()()(Y E X E XY E = （4）)()()(Y D X D Y X D +=+ （5）)()()(Y D X D Y X D +=- 【例7】设
)
2(,,,21>n X X X n 为独立同分布的随机变量, 且均服从
)
1,0(N , 记
∑==n
i i
X n X 1
1,
.,,2,1,n i X X Y i i =-= 求:
（I ） i Y 的方差n i Y D i ,,2,1),( =； （II ） 1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ; （III ） }.0{1≤+n Y Y P
四、极限定理
1. 切比雪夫不等式
{}
{}
()()
|()|,|()|<1-22
D X D X P X
E X P X E X εεε
ε
-≥≤-≥或
2. 大数定律
3. Poisson 定理
4. 中心极限定理
列维—林德伯格定理: 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立同分布, 且2
(),(),i i E X D X μσ== 1,2,,,
i n =， 则
对任意正数x ，有
2
-
2
lim d
n
t
i
x
n
X n
P x t
μ
-∞
→∞
⎧⎫
-
⎪⎪⎪
≤=
⎬
⎪
⎪⎪
⎩⎭
∑
⎰
棣莫弗—拉普拉斯定理: 设~(,),
n
B n p
η（即X1，X2，…，X n，…相互独立, 同服从0一1分布）则有
2
2
lim d
t
x
n
P x t
-
-∞
→∞
⎧⎫⎪
≤=
⎬
⎪⎭
⎰.
【例8】银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.
【分析】若X为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P（1000X≤x）≥0.999.
【详解】设X为该日到银行领取本息的总人数，则X~B（500，0.4）所需支付现金为1000X，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元，则 P（1000 X≤x）≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知：
(1000)()
1000
x
P X x P X
≤=≤
5000.4
x
P
⎛⎫
-⨯
⎪
=≤
⎝⎭
=≤
0.999(3.1).
ΦΦ
≈≥=
即
3.1,
≥得 x≥ 233958.798.
因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.
第五讲数理统计
考试要求
1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为
.)
(
1
1
2
1
2X
X
n
S
i
n
i
-
-
=∑
=
2. 了解2
χ分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算.
3. 了解正态总体的常用抽样分布.
4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数.
5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.
6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.
7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.
8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.
9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的 两类错误.
10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 一、样本与抽样分布
1. 总体、个体与简单随机样本:
2. 常用统计量:
1° 样本均值 i n
i X n
X ∑
==
1
1
2° 样本方差 21
2
)(1
1
X X n S i n
i --=
∑
=
3° 样本标准差
: S =
4° 样本k 阶原点矩 1
1,1,2,
n k
k i i A X k n ===∑
5° 样本k 阶中心矩 1
1(),1,2,
n k
k i i B X X k n ==-=∑
3．分位数 4. 重要抽样分布
（1）分布2
χ （2） t 分布 （3） F 分布
5. 正态总体的常用抽样分布:
2
2,,,(,),
n X X X N μσ1设为来自正态总体的样本
1
1n
i
i X X n ==∑,
2
21
1()1n
i i S X X n ==--∑, 则 （1）
2~,~(0,1).X N N n σμ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ （2）
2
222
2
1
(1)1
()~(1).n
i i n S X X n χσσ=-=
--∑
（3）
222
1
1
()~().n
i i X n μχσ=-∑
（4）
~(1).t n - （5） X 与2
S 相互独立, 且 μ=)(X E , 2
2)(σ
=S E , n
X D 2
)(σ=
.
【例1】 设总体2~(,),X
N μσ设12,,
,n X X X 是来自总体X 的一个样本, 且
22
1
1
1,
()n
n
i
n
i
i i X X S X
X n
====
-∑∑，求
2
1()n E X S .
【例2】 设总体
2~(,
),
X N μσ 设12,,,n
X X X 是取自总体X 的一个样本, 且
2
2
1
1
1
1
,()1n
n
i i i i X X S X X n
n ===
=--∑
∑
，则 2
()_________D S
=.
【例3】设随机变量~()(1),X t n n >, 则 2
1
~________Y X =
【例4】 设总体X 服从正态分布)2
,0(2
N , 而1521,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本, 求随机变量
)
(22
152112
10
21X X X X Y ++++= 的分布. 【例
5】 设总体
2
~(,),
X N μσ 设121
,,,,n n X X X X +是来自总体X 的一个样本, 且
*2
2
1
1
1
1
,()()n
n
i i i i X X S X X n
n
===
=
-∑
∑
，试求统计量
的分布. 二、参数估计
1. 矩估计
2. 最大似然估计
3. 区间估计
4. 估计量的评选标准 【例6】设总体12~(,)X
U θθ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，试求12,θθ的矩估计和最大似然估计.
【例7】设总体X 的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<<=.,0,21,1,10,
),(其他x x x f θθθ
其中θ是未知参数)10(<<θ
, n X X X ,,2,1 为来自总体X
的简单随机样本, 记N 为样本值n x x x ,,2,1 中小于1的个数, 求：
（1）θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计.
【例8】设总体X 的概率密度为
3
6(),0,
()0,x
x x f x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩
其他. n X X X ,,,21 为来自X 的简单随机样本，
（1） 求θ的矩估计量ˆθ
； （2） 判断θ的无偏性; （3） 判断θ的一致性. 三、假设检验
1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受.
2. 单个正态总体均值和方差的假设检验.
3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设0H 为真，但拒绝了0H .
第二类错误；原假设0H 为假，但接受到了0H .。