江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题

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江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中数
学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．已知集合{}{}
0,1,2,3,02A B x x ==≤≤，则A B =I （ ） A ．[]0,2
B ．{}0,2
C ．{}0,1
D ．{}0,1,2
2．函数()f x = ） A ．(),2-∞
B ．(],2-∞
C ．()2,+∞
D ．[)2,+∞
3．终边在直线y x =上的角α的取值集合是（ ） A ．2,4
k k Z π
α
απ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩
⎭
B ．2,4
k k Z π
α
απ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩
⎭
C ．,4
k k Z π
α
απ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩
⎭
D ．,4k k
Z π
α
απ⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩
⎭
4．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48
B ．24
C ．12
D ．6
5．已知函数2log ,1,()(2),01,x x f x f x x ⎧=⎨<<⎩
…
则
2f ⎛ ⎝⎭
的值是( ) A ．0
B ．1
C ．
1
2
D ．－
12
6．设()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()101x
f x =-，则当0x <时，()f x =（ ）
7．给定函数：①12
y x =；②12
log (1)y x =+；③|1|y x =-；④12x y +=，其中在区间
(0,1)上单调递减的函数序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
8．函数26
()log f x x x
=-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()3,4
D ．()4,+∞
9．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ）
A ．()1,2
B ．()2,1--
C ．()()2,11,2--⋃
D ．()1,1-
10．若方程()()2
1210x k x k +--+=有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间（2，3）内，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（3，4）
B ．（2，3）
C ．（1，3）
D ．（1，2）
11．已知函数()ln f x x =，若()()()0f m f n m n =>>，则11
11
m n +=++（ ） A ．
12
B ．1
C ．2
D ．4
12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为2
21y x =-，值域为{}1,7的“孪生函数”共有（ ）
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．4个
第II 卷（非选择题)
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二、填空题
13．lg
lg 707
+的值为______. 14．幂函数()f x 的图象过点（4，2），则()2f =______. 15．当0a >且1a ≠时，函数
1()1x f x a +=-的图象一定过点______.
16．若函数()()12,2,{
log ,2
a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是
__________．
三、解答题
17．已知集合{}{}{}
37,210,5A x x B x x C x a x a =≤≤=≤≤=-≤≤. （1）求A R ð；
（2）若()C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围. 18．已知函数()3
1log 1x
f x x
+=-. （1）判断函数()y f x =的奇偶性并证明； （2）解方程(
)
210x
f -=.
19．已知二次函数()f x 的最大值为-2，且()()023f f ==-. （1）求()f x 的解析式；
（2）若()
f x 在区间[]
,1a a +上的最大值为-6，求实数a 的值.
20．某市今年出现百年不遇的旱情，市自来水厂观察某蓄水池供水情况以制定未来12小时的供水措施.现发现某蓄水池中有水450吨，水厂每小时可向蓄水池中注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水量为现在开始向水池注水并向居民小区供水.
（1）请将蓄水池中存水量S 表示为时间t 的函数；
（2）根据蓄水池使用要求，当蓄水池水量低于60吨时，蓄水池必须停止供水.请你判断该居民小区是否会停水，阐述你的理由. 21．已知函数()22x
x
f x -=+.
（1）试判断并证明函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性；
（2）若()()20f x t f x +⋅≥对任意[]1,2x ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 22．已知函数()y f x =，若对于给定的正整数k ，()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()00f x k f x f k +=+，则称此函数()f x 为“保k 值函数”.
（1）若函数()2x
f x =为“保1值函数”，求0x ；
（2）①试判断函数()1
f x x x
=+是否是“保k 值函数”，若是，请求出k ；若不是，请说明理由；
②试判断函数()ln 1
x
a
f x e =+是否是“保2值函数”，若是，求实数a 的取值范围；若不是，请说明理由.
参考答案
1．D 【解析】 【分析】
由交集的定义，结合集合A,B ，即可写出A B I . 【详解】
因为{}
02B x x =≤≤，所以B 中整数有0,1,2，又{}0,1,2,3A =， 所以{}0,1,2A B =I ， 故选：D. 【点睛】
本题考查集合的运算，掌握集合交集的定义是解题的关键，属于简单题. 2．D 【解析】 【分析】
开偶次方根，被开方数要非负，求函数()f x 的定义域，只需要解不等式20x -≥即可. 【详解】
要使函数()f x 有意义，只需20x -≥，2x ≥， 故选：D. 【点睛】
本题考查求已知函数的定义域，难度较易.常见函数求定义域需要注意：分式分母不为零、偶次根式被开方数大于等于零、对数的真数大于零、0y x =中{}|0x x ≠. 3．D 【解析】 【分析】
在π-到π内终边在直线y x =上的角是,4
4
π
π
-
，由终边相同的角的表示方法可得出终边
在直线y x =上的角的集合,可得解.
当的终边在直线y x =（0x >）时， 24
k π
απ=+
，k Z ∈，
当的终边在直线y x =（0x <）时，24
k π
αππ=++
，k Z ∈，所以角α的取值集合是
2,2,44k k Z k k Z ππααπααππ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=,4k k Z πααπ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
，
故选：D. 【点睛】
本题考查终边相同的角的表示方法，掌握终边相同的角的表示是解题的关键，属于基础题. 4．B 【解析】
因为扇形的弧长l ＝3×4＝12，则面积S ＝
1
2
×12×4＝24，选B. 5．C 【解析】 【分析】
先确定函数自变量的取值范围再代入分段函数解析式求解. 【详解】
∵2log ,1(),01(2),01x x f x f x x ⎧⎪=<<⎨
<<⎪⎩….
∴21
log 22f f ⎛=== ⎝⎭
， 故选C. 【点睛】
本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】
由()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，结合已知，即可求出0x <时函数的解析式.
因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，因为0x ≥时，()101x
f x =-，所以
0x <时，()()101x f x f x -=-=-，
故选：A. 【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式;(5)由函数的奇偶性，求分段函数的解析式. 7．B 【解析】 【分析】
①12
y x =，(0)x …
为幂函数，且x 的指数1
02
α=>，在[0,)+∞上为增函数；②12
log (1)y x =+，(1)x >-，
为对数型函数，且底数1(0,1)2
a =∈，在(1,)-+∞上为减函数；
③|1|y x =-，在(,1)-∞上为减函数，④1
2x y +=为指数型函数，底数21a =>在(,)
-∞+∞上为增函数，可得解. 【详解】
①1
2y x =，(0)x …
为幂函数，且x 的指数1
02
α=>，在[0,)+∞上为增函数，故①不可选； ②
12
log (1)y x =+，(1)x >-，为对数型函数，且底数1(0,1)2
a =∈，在(1,)-+∞上为减函
数，故②可选；
③|1|y x =-，在(,1)-∞上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，故③可选； ④1
2
x y +=为指数型函数，底数21a =>在(,)-∞+∞上为增函数，故④不可选；
综上所述，可选的序号为②③， 故选B. 【点睛】
本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】
根据连续函数()26
f x lo
g x x
=
-，可得f （3），f （4）的函数值的符号，由此得到函数()26
f x lo
g x x
=
-的零点所在的区间． 【详解】
∵连续减函数()26
f x lo
g x x
=
-， ∴f （3）=2﹣log 23＞0，f （4）=6
4
﹣log 24＜0， ∴函数()26
f x lo
g x x
=-的零点所在的区间是 （3，4）， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题． 9．C 【解析】 【分析】
通过()0xf x <，得出x 和()f x 异号，观察图像可得结果. 【详解】
()0xf x <Q ， x \和()f x 异号，
由()f x 为奇函数如图
当(2,1)(0,1)(2,)x ∈--⋃⋃+∞，()0f x >， 当(,2)(1,0)(1,2)x ∈-∞-⋃-⋃，()0f x <，
所以不等式()0xf x <的解集为：()()211,2--⋃，
. 故选：C. 【点睛】
由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围． 10．D 【解析】 【分析】
根据二次函数图像列不等式，通过解一元二次不等式可解得结果. 【详解】
因为方程()f x =()()2
1210x k x k +--+=有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间
（2，3）内，所以①当(2)(3)0<f f 时，
(44)(105)0k k --<，(1)(2)0k k --<，12k <<； ②令(2)0f =，1k =，方程240x -=另一解为2x =-，不适合； ③令(3)0f =，2k =，方程260x x --=另一解为3x =-，不适合. 综上k 的取值范围是(1,2)， 故选：D. 【点睛】
本题考查根据二次函数零点分布求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 11．B 【解析】 【分析】
通过讨论x 和1的关系，即可去绝对值，再结合等式即可得到1mn =，代入即可求值.
因为()ln f x x =，若()()()0f m f n m n =>>，所以ln ln n m -=，10m n >>>，即
1n m
=，所以1111
111111m n m m
+=+=++++，
故选：B. 【点睛】
本小题主要考查对数函数的图像，考查函数的图像和单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】
由值域可求得所有x 可能的取值；则定义域中元素分别为2个，3个和4个，列举出所有可能的结果即可求得个数. 【详解】
由2211x -=得：1x =±；由2217x -=得：2x =±
∴所求“孪生函数”的定义域分别为：{}1,2，{}1,2-，{}1,2-，{}1,2--，{}1,1,2-，
{}1,1,2--，{}1,2,2-，{}1,2,2--，{}1,1,2,2--
∴共有9个“孪生函数”
故选：B 【点睛】
本题考查新定义的问题，涉及到函数定义域的求解；易错点是将值域误认为是无限集，造成求解错误. 13．1 【解析】 【分析】
直接利用对数指数运算法则得到答案. 【详解】
11
lg lg 70lg(70)lg10177
+=⋅==， 故答案为：1. 【点睛】
本题考查了指数对数的计算，意在考查学生的计算能力.
14 【解析】 【分析】
首先设出幂函数的解析式，代入点(4,2),进而求出解析式，即可求得结果. 【详解】
设()f x x α
=，因为()f x 的图象过点（4，2），所以42α=，222α=，1
2
α=
1
2
()f x x =，所以(2)f =
. 【点睛】
本题考查函数的求值，形如y x α
=的函数是幂函数，注意幂函数的系数为1，考查了运算求解能力. 15．()1,0- 【解析】 【分析】
根据指数函数的性质可知(1)0f -=，从而求得结果. 【详解】 因为11
0(1)110f a
a -+-=-=-=，所以函数()f x 的图象一定过点()1,0-.
故答案为：()1,0-. 【点睛】
本题考查指数函数的概念和性质，注意到0
1(0)a a =≠是解本题的关键，属基础题.
16
．2⎫
⎪⎪⎣⎭
【解析】 【分析】
根据题意，由函数的单调性的性质可得10
01log 22(1)2a
a a a a -<⎧⎪
<<⎨⎪≤--⎩，解可得a 的取值范围，即
可得答案． 【详解】
由题意得，因为函数()
()12,2,{
log ,2
a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则
10
01
log 22(1)2a
a a a a -<⎧⎪
<<⎨⎪≤--⎩.
1a ≤< ∴实数a
的取值范围是2⎫
⎪⎪⎣⎭．
故答案为,12⎫
⎪⎪⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点两函数的单调性与整体保持一致.
17．（1）{
3R C A x x =<，或}7x >;（2）(,3]-∞. 【解析】 【分析】
(1)由补集的定义和集合A ，即可求出和R C A ；(2)由()C A B ⊆⋃，可知集合C 是A B
U
的子集，分两种情况：C =∅和C ≠∅，分别讨论即可. 【详解】
（1）因为{}37A x x =≤≤，所以{
3R C A x x =<，或}7x > ；
（2）因为{
}
37A x x =≤≤，{}=210B x x ≤≤，所以{}
210A B x x ⋃=≤≤，
因为()C A B ⊆⋃，所以C φ≠时，55210
a a a a -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩
，得5
32a ≤≤；
C φ=时5a a ->，52
a <
， 综上a 的取值范围是(,3]-∞. 故答案为：(,3]-∞. 【点睛】
本题考查了集合的并集和补集，考查了集合间的包含关系，考查了不等式的解法，属于基础题.
18．（1）()f x 为奇函数;（2）0x = 【解析】 【分析】
（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得函数的定义域关于原点对称，由函数的解析式和奇偶性的定义即可确定函数的奇偶性; （2） 根据题意结合对数函数的单调性,解方程进行求解，即可得出方程的解. 【详解】
（1）()f x 为奇函数.
使函数()f x 有意义，只需
101x
x +>-，101
x x +<-，11x -<<， 由()31log 1x f x x
+=-，得1
3311()log log ()()11x x f x f x x x --+-===-+-，所以()f x 为奇函数. （2）(21)0x
f -=，32lo
g 022x x =-，2122
x
x
=-，21x =，0x =，检验知适合1211x -<-<，
所以原方程的解为0x =. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性以及对数函数的相关知识，掌握对数函数真数大于零以及对数函数的单调性，考查了运算能力，属于中档题.
19．（1）2()23f x x x =-+-;（2）2a =-或3a =
【解析】 【分析】
（1）由等式可得出函数的对称轴，设出二次函数的解析式，由最大值为-2，即可求得解析式；
（2）由（1）的结论，讨论对称轴和a,a+1的关系，结合最大值为-6，即可求得实数a 的值． 【详解】
（1）由()()023f f ==-，可知函数的对称轴为1x =，设2()(1)2f x m x =--，0m <，
因为(0)3f =-，所以23m -=-，
1m =-，所以22()(1)223f x x x x =---=-+-；
（2）因为()f x 在区间[]
,1a a +上的最大值为-6，最大值没有在顶点处取到，
所以①1a ≥时，()f x 在区间[]
,1a a +上递减，2
max ()()23f x f a a a ==-+-，
所以2236a a -+-=-，3a =，1a =-（舍），得3a =；
②11a +≤时即0a ≤时，()f x 在区间[]
,1a a +上递增，2
max ()(1)2f x f a a =+=--，
所以226a --=-，2a =-，2a =（舍），得2a =-；
01a <<时max ()(1)2f x f ==-，不适合条件.
综上2a =-或3a =. 【点睛】
本题考查二次函数的解析式以及二次函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
20．(1)45080S t =+-[0,12]t ∈.
(2) 小区在t ∈要停水 【解析】 【分析】
（1）设t 小时候水池中存水量为S 吨，利用题设条件能将S 表示为时间t 的函数；
（2）令60S <，解不等式4508060t +-<，即可求出结果. 【详解】
（1）由开始时蓄水池中有水450吨，又水厂每小时可向蓄水池中注水80吨，同时蓄水池
又向居民小区供水，t 小时内供水量为，所以经过t 小时蓄水池中存水量
45080S t =+-[0,12]t ∈.
（2）由（1）令60S <，4508060t +-<，8390t -<，
<，又012t ≤≤t <<
，
所以小区在4141(,88
t -+∈要停水. 【点睛】
本题考查函数的应用，考查了建模能力和一元二次不等式的解法，属于中档题. 21．(1) 函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数 (2) [1,)-+∞ 【解析】 【分析】
（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；
（2）利用换元法，将函数()g x 转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得t 的取值范围. 【详解】
（1）函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.
设1x ，2x ∈[0,)+∞，120x x ≤<，由()22x x f x -=+，
得1
2
121211()()2(2)22x x x x f x f x -=+-+121212
(22)(221)22
x x x x x x --=， 因为120x x ≤<，所以12122x x ≤<，得12())0(f x f x -<，12()()f x f x <， 所以函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.
（2）由（1）知()f x 在区间[0,2]上是增函数,(0)()(2)f f x f ≤≤，17
2()4
f x ≤≤， 又()2
2()x
x f x f x --=+=，所以()f x 为偶函数，所以在[1,2]-的值域为17[2,
]4
. 因为()()20f x t f x +⋅≥对任意[]1,2x ∈-恒成立，2222(22)0x x x x
t --+++≥，
2(22)2(22)0x x x x t --+-++≥，令22x x s -=+，
所以不等式220s ts -+≥在17[2,]4s ∈恒成立，max 2
()t s s
≥-， 由2()g s s s =
-在17
[2,]4
s ∈递减，所以max ()(2)1g s g ==-，所以1t ≥-，故t 的取值范围为[1,)-+∞. 【点睛】
本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了二次函数的最值，解题的关键是确定函数的单调性，从而确定参数的范围，属于中档题． 22．（1）01x = （2）①函数()1
f x x x
=+
不是“保k 值函数” ②当22
21(,1)e a e e +∈+时函数()ln 1x a f x e =+是“保2值函数”；
当2221
(0,][ 1.)e a e e
+∈++∞U 时函数()ln 1x a f x e =+不是“保2值函数”.
【解析】 【分析】
（1函数()2x
f x =为“保1值函数”，列方程即可求解；（2）①由“保k 值函数”的定义，转
化为二次函数是否有解问题，即可进行判断；②由题意可得()0
22
111
x e a e a e -+=--，再由00x e >，解不等式即可进行判断. 【详解】
(1)因为函数()2x
f x =为“保1值函数”，所以存在0x 使00(1)()(1)f x f x f +=+，
001222x x +=+，022x =，01x =.
(2) ①若函数()1
f x x x
=+
是“保k 值函数”，则存在实数00x ≠，使得()()()00f x k f x f k +=+，0000111
x k x k x k x k
++
=++++，22000x kx k ++=，0k ≠时23k ∆=-0<，方程无解；0k =时00x =，与00x ≠不符.
综上，函数()1
f x x x
=+不是“保k 值函数”. ②若函数()ln
1
x
a
f x e =+是否是“保2值函数”，则()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0022f x f x f +=+，即00
2
2ln
ln
ln 11
1x x a a a e e
e +=++++，即00221
11x x a a a
e e e +=⋅+++，
可得
()
()0
022111
x x e
e a e +++=+，化简可得()0
22
111x e a e a e -+=--，由0
0x e >，解得22211e a e e
+<<+， 故当2221
1e a e e
+<<+时，函数是“保2值函数”，又0a >，所以当
2221
(0,][ 1.)e a e e
+∈++∞U 时函数()ln 1x
a f x e =+不是“保2值函数”. 【点睛】
本题考查了函数的新定义等综合知识，考查了二次函数有解问题，考查指数非负，求解一元二次不等式问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题.。