定积分的背景精品课件

b
f (t) dt
b f (x) dx F(b) F(a) 记作
a
a
F
(
x)
b a
F ( x)
b a
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例1. 计算
3 1
1
dx x
2
.
解:
3 dx
1 1 x2
arctan x
3 1
arctan
3 arctan(1)
( ) 7
3 4 12
1i n
n
y
A
lim
0
i1
Ai
n
lim
0
i1
f
( i
)xi
o a x1 xi1 xi b x
i
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间
2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用
y
直线段y=f(ξi)代替
4、作和：S∆= f (1)x1f(2)x2 f(i)xi f(n)xn
a, b上的平均值，这是有限个数的平均值概念的拓广.
5.3 定积分的计算
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 s(t) 与速度函数 v(t)
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
这里s(t) 是 v(t)的原函数 .
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质7 积分中值定理
定理：设函数 f (x)在闭区间[ a , b ]上连续，
则在[ a , b ]上至少存在一点 使
b
a f (x)dx f ( )(b a)
或可写作 1
b f ( x)dx f ( )
(b a) a
f ( ) 称为函数 f (x) 在 [ a , b ]上的平均值
例1. 计算 a a2 x2 dx (a 0). 0
解: 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
当 x 0 时, t 0;
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 =
a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2
2 (1 cos 2t) d t
20
S o ax
[a ,
b]上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
( i
)
xi
o
a x1
i
x xi1 xi b
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
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积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
n
a
f
( x) dx
lim
0 i1
t
d
t
1t
1 3 (t 2 3) d t
21
1 ( 1t3 3t ) 3 22
23
13
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例3. 设 f (x) C[a, a],
偶倍奇零
(1)
若
f (x)
f
(x),
则 a a
f
( x) dx
a
20 f
( x) dx
(2)
若
f
(x)
f
(x),
则 a a
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1) 6n n
1 0
x2
dx
lim
0
n
i 1
i
2xi
y
y x2
lim 1 (1 1)(2 1)
n 6 n n
o
1 3
i 1x
n
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5.2 定积分的简单性质
性质1 常数因子可提到积分号外
b
b
a kf (x)dx k a f (x)dx
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
a
证: 根据定理 1,
x
f
(t) d t 是
f
(x)的一个原函数,
故
a
x
F(x) a f (t) dt C
令 x a , 得C F (a), 因此
x
a f (t) dt F(x) F(a)
再令 x b, 得
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
(1
x
2
1
)2
1 2
12
0
3 1
12 2
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1. 设 f (x)在[0,1] 连续, 且 f (0) 1, f (2) 3, f (2) 5,
n
f(i)xi (xi xixi1) i1
y f (x)
f (i )
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
a x0 x 1 x 2
xi1 i x i
x n 1 xn b
x
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间
2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用
y
直线段y=f(ξi)代替
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
y f (x)
yf(x)(f(x)0)、
x轴 与 两 条 直 线 xa、
A?
xb所 围 成 .
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
f
(i ) xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u
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定积分的几何意义:
b
f (x) 0, a f (x)dx A
例1. 利用定义计算定积分 1 x2 dx .
0
解:
将
[0,1]
n
等分,
分点为
xi
i n
y
(i 0,1,, n)
y x2
取 i
i n
,
xi
1 n
(i 1, 2,, n)
则
f
(i
)xi
i2xi
i2 n3
o
i 1x
n
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n
i1
f
(i )xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
曲边梯形面积
f (x) 0,
b
a f (x)dx A
曲边梯形面积的负值
y
A1
a
A2
A3
A5
A4
bx
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5
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可积的充分条件:
定理1. 函数 f (x)在 [a,b]上连续
f (x) 在 [a,b]可积 .
y
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
小曲边梯形面积 Ai , 得
o a x1 xi1 xi b x
i
Ai f (i )xi (xi xi xi1 , i 1, 2,..., n )
3) 求和.
n
n
A Ai f (i )xi
i1
i1
4) 取极限. 令 max{xi}, 则曲边梯形面积
3) 求和.
n
s v(i ) ti
i1
4) 取极限 .
n
s
lim
0
i1
v(
i
)
ti
( max ti )
1 i n
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
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5.1.2 定积分概念
设函数 f (x)定义在[a,b]上, 若对[a, b]的任一种分法
a x0 x1 x2 xn b , 令 x i xi xi1 , 任取
n
i [xi1 , xi ] , 只要 max{xi} 0时 f (i ) xi
1i n
i1
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间
性质4 定积分的区间可加性
若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
a
cb
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 a b c ,
则有
ab
c
c
b
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
b
c
c
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
f (x)C[a, b]
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
h0
h
h0
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定理2. 设 F(x) 是连续函数 f (x) 在 [a,b] 上的一个原
例2. 计算正弦曲线 y sin x 在 [0, ] 上与x轴所围成
的面积 .
解:
A 0 sin x dx
y y sin x
cos x [11] 2 o
x
0
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第五章
5.3.2 定积分的换元法和
分部积分法
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
定理1.
若
f
(
x)
C
[a
x
,
b]
,
则积分上限函y数y
f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
是 f (x) 在[a , b]上的一个原函数 .
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
y 1
b
f ( x)dx
(b a) a
中值定理的几何意义：曲边y f (x) 在a,b 底上所围成
的曲边梯形面积，等于同一底边而高为 f ( ) 的一个矩形面
积，如下图所示.
y
y f (x)
f ()
O
a
bx
从几何角度容易看出，数值
y
b
1
a
b a
f
(
x)dx
表示连续曲
线 y f (x) 在a,b上的平均高度，也就是函数 f (x) 在
性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
b
b
b
a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则
b
b
b
a f (x)dx a kdx k a dx K (b a)
b
b
b
a f (x)dx a 1dx a dx b a
定积分的背景
背景来源——面积的计算
矩形的面积定义 为两直角边长度的乘积
一般图形的面积怎么 计算？
我们可以用大大小小的 矩形将图形不断填充，但 闪烁部分永远不可能恰好 为矩形，这些“边角余料” 无外乎是右图所示的“典 型图形”（必要时可旋转）
“典型图形”面积的计算问题就产生了定积 分
一、问题的提出
解决步骤 :
1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 ... xn1 xn b
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 近似. 在第i 个曲边梯形上任取一点 i [xi1 , xi ]
作以[xi1 , xi ] 为底 , f (i )
4、作和：S∆= f (1)x1f(2)x2 f(i)xi f(n)xn
n
f(i)xi (xi xixi1) i1
y f (x)
n
b
Slim | | | | 0i1
f(
i)xi a
f(x)d
x
a
b
x
n
5、取极限 S|l || |i0m i1f(i)xi (| || | maxxi}{)
f
( x) dx
0
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
令 x t
a
0[ f (x) f (x)]dx
a
20 f (x)dx ,
f (x) f (x)时
0,
f (x) f (x)时
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a2
(t 1 sin 2t )
2
a2
22
04
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例2. 计算 4 0
x 2 dx . 2x 1
解: 令 t 2x 1,则 x t 2 1, dx t d t , 且 2
当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
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定理2 （定积分的换元公式）
设函数 f (x)在区间 [ a , b ]上连续；函数 x (t)
在 [, ]上单值且有连续导数；当 t
时，有 (t) [a,b，] 且 () a,( ) b
则
b
a f (x)dx f [(t)](t)dt
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
c
b
a f (x)dx c f (x)dx
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性质5 如果在区间 [ a , b ]上 ，f g(x)dx (a b)
性质6 设在区间 [ a , b ]上 （a<b），函数 f (x) 的最大值 和最小值分别是 M 和 m，则