圆和相似的综合运用

圆与相似的综合运用
一、考标要求:
(1) 灵活掌握与圆有关的概念，定理，性质和判定。

(2) 充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、 ？动态型问题、探索型
问题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计。

(3)
综合运用圆、方程、函数、三角、 ？相似形等知识解
决一类与圆有关的中考压轴题.
(4 )考察了数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、 归纳、抽象、概括、类比等数学方法；同时， 能力，以及创新意识和实践的能力.
二、典例精析
考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的 例1 •如图，点A B, C, D 在 QO 上,
1
一 BD ，连结
2
FDA ;
(2)试判断直线 AF 与QO 的位置关系,
延长DB 到点F ，使FB
(1)证明△ BDE sA F D
例2.如图，已知直线y = - m(X—4) (m > 0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA 为直径作半圆，圆心为C.过A作X轴的垂线AT, M是线段OB上一动点(与0点不重合)，过M点作半圆的切线交直线AT于N,交AB于F,切点为P•连结CN、CM.
(1)证明：/ MCN=90 °
(2)设OM = X, AN = y，求y关于x的函数解析式；
(3)若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积.
【反馈练习】
1.如图，在Rt^ ABC中，/ ACB=90 °以AC为直径的O O与AB边交于点D,过点D 作O O的切线，交BC于点E.
(1 )求证：点E是边BC的中点；
(2)若EC=3 , BD= 2/6，求O O的直径AC的长度;
(3)若以点O, D，E, C为顶点的四边形是正方形，试判断△ ABC的形状，并说明理由.
2 .如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交切线 AC 于点C, OC 与半圆O 交于点E ，
连结
3.(本题满分12分)如图，AB 是O O 的直径，/ BAC = 60 , P 是OB 上一点，过P 作
AB 的垂线与AC 的延长线交于点 Q ,过点C 的切线CD 交PQ 于D ,连结OC .
(1)求证：△ CDQ 是等腰三角形;
(2)如果△ CDQ BA COB,求 BP ：PO 的值.
BE, DE
.
4、如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，G 与x轴的正半轴交于
A B两点，A在B的左侧，且OA OB的长是方程X2 12x 27 0的两根，ON是°刚
的切线，N为切点，N在第四象限.
(1)求Q M|的直径.
(2)求直线ON的解析式.
5•如图12 —1所示，在△ ABC中，AB AC 2 , / A 90 , O为BC的中点，动点E
在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动.
(1 )点E, F的移动过程中，△OEF是否能成为/ EOF 45：的等腰三角形？若能,
请指出△OEF为等腰三角形时动点E, F的位置•若不能，请说明理由.
(2)当/ EOF 45时，设BE x , CF y，求y与x之间的函数解析式，写出x
的取值范围.
(3)在满足(2)中的条件时，若以0为圆心的圆与AB相切(如图12—2),试探究直线EF与O0的位置关系，并证明你的结论.
图12-
1
6 •如图，A是以BC为直径的O O上一点，AD BC于点D，过点B作O O的切线，与CA的延长线相交于点E, G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF 与CB的延长线相交于点P•
(1)
(2) 求证:
求证:
BF EF ;
PA是O O的切线;
若FG BF，且O O的半径长为3/2，求BD和FG的长度.
C
1、解: ••• FB (1)在 A BDE 和 A FDA 中， 1 1 BD ED -BD , AE —ED , •———— 2 2 FD AD BDE FDA , 又••• (2)直线
AF 与yo 相切. 证明：连结OA, OB, OC . ••• AB AC, BO CO, OA OA , OAB OAC . • OAB OAC •所以AO 是等腰三角形 ABC 顶角 BAC 的平分线. • AO BC •由 A BDE sA FDA ，得 EBD AFD . • BE // FA . 由AO BE 知，AO FA . •直线FA 与QO 相切. 【点评】.这是一道利用圆内的有关性质，得出三角形相似的结论。

再次巩固了全等三角形 相似三角形，平行线的知识，得出直线与圆的位置关系.同时同学们在做题的过程中，要注意 思维的逻辑性和书写的规范性. 2、解(1)证明：•/ AT 丄AO , OM 丄AO , AO 是O C 的直径, ••• AT 、OM 是O C 的切线.又•/ MN 切O C 于点P •••/CMN =2/OMN ，/CNM =2
/
ANM
•/ OM // AN
•••/ ANM +/ OMN =180 °•/ CMN +/ CNM =-/ OMN ― ANM
=2(/ OMN + 2/ ANM )=90 °, •/ CMN =90 (2)由(1)可知：/ 1+ / 2 = 90。

，而 / 2 + / 3 = 90 OM OC AC = AN
•••直线y = — m (x -4)交x 轴于点A ,交y 轴于点B , ••• Rt A MOC s Rt A CAN
I y
T 、
B
N
G
M
f
、
2/2
O
C
A
x
X 2
2 = y (3) •/ OM = 1 , ••• AN =y = 4，此时S 四边形ANMO = 10 •.•直线AB 平分梯形 ANMO 的面积, 5 ••• FG= 2 ••• A (4, 0), ••• AC =CO = 2 •/ OM = x , AN =
y ,
••• △ ANF 的面积为 5过点 F 作 FG 丄 AN 于 G ,贝y 2FGAN =5, •••点F 的横坐标为 •/ M (0, 1), N (4, 4) 3x + 1 •/ F 点在直线 4 MN 上, • - F 点的纵坐标为
y = 17 8 •••直线MN 的解析式为y = ••• F (I,17) •••点 F 又在直 17 8 【点评】这是一道是几何与代数的相结合的中考压轴题. 性质等等；在变化中建立函数模型以及面积、 面广，综合性强的妙题.……………………-
线 y = — m (x —4)上 3 17
=—m (2 — 4) ••• m=
20 包含了相似的判定和性质， 切线的
坐标与线段之间的巧妙转化.
的确是一道覆盖。