广东省始兴县风中学高三数学 晚修培优4 文

1、在直角坐标平面内，已知三点A 、B 、C 共线，函数()f x 满足：
()()()[2'1]ln 10OA f x f OB x OC -+++⋅=
（1）求函数()f x 的表达式；（2）若0x >，求证：()22
x
f x x >+； （3）若不等式()2
221232
x f x m bm ≤+--对任意[]1,1x ∈-及任意[]1,1b ∈-都成立，求实数m 的 取值范围。

2、如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形， 已知点M 是A 1B 1的中点.
（1）求证：B 1C ∥平面AC 1M ；
（2）设AC 与平面AC 1M 的夹角为θ，求sin θ.
3、如图（甲），在直角梯形ABED 中，AB//DE ，AB ⊥BE ，AB ⊥CD,且BC=CD,AB=2,F 、H 、G 分 别为AC ,A D ,DE 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面CBED,如图（乙）．
（1）求证：平面FHG//平面ABE ；
（2）记,BC x =()V x 表示三棱锥B －ACE 的
体积，求()V x 的最大值；
4、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
2n n n a a S +=.
(1) 求证：2214n n n a a S ++<； (2) 求证：11222
n n n S S S +<++⋅⋅⋅+<
5、在数列{}n a 中，11a =，()11302n n n n a a a a n --+-=≥
H
F D
G
E
B
C
A
(乙)
（1）求证：数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项； （2）若1
1
n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围； （3）设数列n n b a =，{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()
2
3113
n T n >+-。

6、对n N *
∈，不等式组002x y y nx n >⎧⎪>⎨⎪≤-+⎩
所表示的平面区域为n D ，n D 内的整点（横坐标与纵坐标均为整
数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列112233(,),(,),(,),
,(,)n n x y x y x y x y 。

（1）求n x 、n y ；
（2）数列{}n a 满足11a x =，且2n ≥时，)111(
21
22212
-+++=n n n y y y y a 。

证明：当2≥n 时，1222
1
(1)n n a a n n n
+-=+； （3）在（2）的条件下，试比较)1
1()11()11()11(321n
a a a a ++⋅+
⋅+ 与4的大小关系。

高三（9）数学晚修培优4参考答案
1、解：（1）∵三点A B C 、、共线且[()2'()]ln(1)OA f x f x OB x OC =+-+⋅
∴()2'(1)ln(1)1()12'(1)ln(1)f x f x f x f x +-+=⇒=-++
由1'()1f x x =
+ 得1
'(1)2
f = 故()ln(1)f x x =+ （2）证明：记2()()2x
g x f x x =-+ 则2()ln(1)2
x
g x x x =+-+
∵0x >时2
22
14'()01(2)(1)(2)
x g x x x x x =-=>++++()g x 在(0,)∞上是单调增函数 故()(0)0g x g >=即2()2
x
f x x >
+成立 （3）记221()()2x x f x ϕ=-则22
1()ln(1)2x x x ϕ=-+
由22
2(1)(1)
'()11
x x x x x x x x ϕ+-=-=++ 又[1,1]x ∈- 知0x =时 ()x ϕ取的最大值，且(0)0ϕ=故原命题可化为对任意[1,1]b ∈-都有：2230m bm --≥恒成立 记
2()23h b mb m =-+- 知11b -≤≤时()0h b >恒成立
2
2(1)02303(1)0230
h m m m h m m ⎧-≥+-≥⎧⎪⇔⇒⇒≥⎨⎨≥--≥⎪⎩⎩或3m ≤-
2、解：由三视图可知三棱柱A 1B 1C 1—A BC 为直三棱柱，侧梭长为2，底面是等腰直角三角形，
AC=BC =1.…………2分
如图建立空间直角坐标系C —xyz ，则C （0，0，0），C 1（0，0，2）， A （1，0，0），B 1（0，1，2），A 1（1，0，2）
∵M 为A 1B 1中点， ).2,2
1
,21(M ∴…………………………4分 （1）),0,2
1
,21(),2,21,21(),2,1,0(11=-==M C AM CB
,11M C AM CB +=∴……………………6分 1CB ∴∥面AC 1M ，又∵B 1C ⊄面AC 1M ，
∴B 1C ∥面AC 1M.…………………………8分
（2）设平面AC 1M 的一个法向量为),,,(z y x n =
,
2,2,1.022121)2,21,21(),,(,02121)0,21,21(),,(1-===⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++-=-⋅=⋅=+=⋅=⋅y x z z y x z y x AM n y x z y x M C n 则令
),1,2,2(-=∴n …………………………………………………………10分
)0,0,1(-=AC 又 则.3
2
||||||
|,cos |sin =⋅=><=AC n AC
n AC n θ…………12分
3、解：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED 为正方形
如图（乙）∵F 、H 、G 分别为AC , AD,DE 的中点
∴FH//CD, HG //AE-----------------------------------------------------------1分 ∵CD//BE ∴FH//BE
∵BE ⊂面ABE ，FH ⊄面ABE
∴//FH 面ABE -------------------------------------3分 同理可得//HG 面ABE
又∵FH HG H = ∴平面FHG//平面ABE-----------------4分 （2）∵平面ACD ⊥平面CBED 且AC ⊥CD
∴AC ⊥平面CBE D------------------5分
∴()V x ＝A BCE V -＝
1
3
BCE S AC ∆⋅ ∵BC x = ∴2AC x =-（02x <<）
∴()V x ＝22111(2)(2)326x x x x ⨯-=-＝1
(42)12
x x x ⋅⋅---------------7分
解法1：∵34264
(42)()327
x x x x x x ++-⋅⋅-≤=
∴()V x 16416122781≤⨯=,当且仅当42x x =-即4
3
x =时取“＝”
∴()V x 的最大值为16
81-------------------------------------------9分
[解法2：∵2
1'()(43)6V x x x =-，令'()0V x =得0x =（不合舍去）或43
x =
当43x >时'()0V x <，当4
03x <<时'()0V x >
∴当43x =时()V x 有最大值，max 4()()3V x V ==16
81
]
4、解: （1）在条件中，令1=n ，得1112
122a S a a ==+，
∵01>a ∴11=a
又由条件n n n S a a 22=+有112
12+++=+n n n S a a ，上述两式相减，
注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a ∵0>n a ∴01>++n n a a ∴11n n a a +-= 所以，n n a n =-⨯+=)1(11，(1)
2
n n n S +=
所以4
2)1(212)1(2
1
2
22++=
++⋅<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<
n n n n ，所以
2
1
2)1(2+<
+<
n n n n
， 所以2)
1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 2
12322++++<n 21
22312-=+=+n S n n ；
2
22)1(2222121n
n S n n n S S S =+=+++>++
5、解: 2.（1）由()11302n n n n a a a a n --+-=≥得：
()1
1132n n n a a --=≥ 又1
1
1a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为3的等差数列 ∴
113(1)32n n n a =+-=-，即：132
n a n =- （2）∵11n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，即3132n n λλ++≥-恒成立 ∴(31)(32)3(1)n n n λ+-≤-对任意2n ≥的整数恒成立
设()(31)(32)23(1)
n n n c n n +-=≥-，则
22122(34)(31)3(1)343234
13(31)(32)3232n n c n n n n n n n n c n n n n n n n
+++-+--+-=⋅==>+--- ∴当2n ≥时，{}n c 为递增数列 ∴228
3
n c c ≥=
所以λ的取值范围为：28
(,]3
-∞
（3）由n n b a =，得
1222
(3231)3232323231
n n b a n n n n n n ==
=>=---+---++
所以，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+
(
)()()()
2
144771032313n n ⎡⎤>--+-+-+⋅⋅⋅+--+⎣
⎦
(
)
23113
n =+- 6、解:（1）作出平面区域n D （略）（2分）
由12x y nx n =⎧⎨=-+⎩
解得：1,n n x y n ==（4分）
（2）当2≥n 时，()2
2211121n a n n ⎡⎤=+++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∴()222
11121n a n n =+++-（5分） ∴1222111(1)2n a n n +=++++ ∴1222
1
(1)n n a a n n n
+-=+（6分） （3）由（2）得：当2≥n 时，2
2
11(1)n n a n a n ++=+，且11a =，24a =（7分） ∴当1n =时，1
1
124a +=<（8分） 当2≥n 时，
123
3312121
123
1234
122
212222221111
(1)(1)(1)(1)1
11
1111112311121234(1)23111212111223(1)n
n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n a n n n n ++++⋅+⋅++
⎛⎫
++++++++=
⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅
⋅ ⎪⎝⎭
⎡⎤⎛⎫
=⋅⋅⋅
⋅⋅=++++ ⎪⎢⎥+⎝⎭
⎣⎦
⎡⎤<++++=+-⎢⎥⨯⨯-⎣⎦
1111
122311224
n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛
⎫=-< ⎪⎝
⎭
综上述：1231111
(1)(1)(1)
(1)4n
a a a a +⋅+⋅++<。