课标通用安徽省2019年中考数学总复习单元检测4图形初步与三角形试题(有答案)

单元检测(四) 图形初步与三角形
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.
(2018·湖南邵阳)如图所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOD=160°,则∠BOC的大小为() A.20° B.60°
C.70°
D.160°
∠AOD=160°,∴∠BOC=∠AOD=160°,故选D.
2.(2018·湖北荆州)如图,两条直线l1∥l2,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,顶点A、B分别在l1和l2上,∠1=20°,则∠2的度数是()
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
l1∥l2,∴∠1+∠CAB=∠2,
∵Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,
∴∠CAB=45°,∴∠2=20°+45°=65°,故选C.
3.(2018·湖南常德)已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是()
A.1
B.2
C.8
D.11
x,由题意,得7-3<x<7+3,解得4<x<10,故选C.
4.
(2018·四川眉山)将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则∠α的度数是()
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
如图,∵∠ACD=90°,∠F=45°,
∴∠CGF=∠DGB=45°,
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°,故选C.
5.(2018·桐城模拟)某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是()
A.4√3 m
B.8 m
C.8
3
√3 m D.4 m
CE⊥AB交AB的延长线于E,
∵∠ABC=150°,∴∠CBE=30°,
∴CE=1
2
BC=4(m).
6.
(2018·黑龙江哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()
A.AA
AA =AA
AA
B.AA
AA
=AA
AA
C.AA=AA
AA D.AA
AA
=AA
AA
GE∥BD,GF∥AC,∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,∴AA
AA =AA
AA
,AA
AA
=AA
AA
,∴AA
AA
=AA
AA
=AA
AA
.
故选D.
7.
(2018·重庆A 卷)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底面E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD 的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC=1米,则旗杆AB 的高度为(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6)( ) A.12.6米 B.13.1米
C.14.7米
D.16.3米
点C 作CN ⊥DE 交ED 的延长线于点N ,延长AB 交ED 的延长线于点M ,则BM ⊥DE 于点M ,则MN=BC=1米.
∵斜坡CD 的坡比i=1∶0.75, ∴令CN=x ,则DN=0.75x.
在Rt △CDN 中,由勾股定理,得x 2
+(0.75x )2
=22
,解得x=1.6,从而DN=1.2米.
∵DE=7米,∴ME=MN+ND+DE=9.2米,AM=(AB+1.6)米.
在Rt △AME 中,tan ∠AEM=
AA AA ,即AA +1.6
9.2
=tan58°,从而1.6=
AA +1.69.2
,
解得AB=13.12≈13.1(米),故选B . 8.
(2018·四川达州)如图,△ABC 的周长为19,点D 、E 在边BC 上,∠ABC 的平分线垂直于AE ,垂足为N ,∠ACB 的平分线垂直于AD ,垂足为M ,若BC=7,则MN 的长度为( ) A.3
2 B.2
C.5
2
D.3
BN 平分∠ABC ,BN ⊥AE ,
∴∠NBA=∠NBE ,∠BNA=∠BNE ,
在△BNA 和△BNE 中,{∠AAA =∠AAA ,
AA =AA ,∠AAA =∠AAA ,
∴△BNA ≌△BNE ,∴BA=BE ,
∴△BAE 是等腰三角形,同理△CAD 是等腰三角形, ∴点N 是AE 的中点,点M 是AD 的中点(三线合一), ∴MN 是△ADE 的中位线. ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12, ∴DE=BE+CD-BC=5, ∴MN=1
2DE=5
2.故选C .
9.
(2018·西湖一模)如图,在△ABC 中,∠A=36°,AC=AB=2,将△ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到△DBE ,使点E 在边AC 上,DE 交AB 于点F ,则△AFE 与△DBF 的面积之比等于( ) A.
√5-1
2
B.
√5-1
4
C.
3−√52
D.
3−√54
AB=AC ,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°, ∵BC=BE ,∴∠C=∠BEC=72°, ∴∠EBC=36°,∴∠ABE=∠A=36°, ∵∠DBE=72°,∴∠ABD=∠A=36°, ∴BD ∥AE ,
∴△AEF ∽△BDF ,∴A △AAA
A
△AAA
=(AA AA )2
,
由题意,知DB=DE=AB=AC=2,设BC=BE=AE=x ,
∵∠C=∠C ,∠CBE=∠A , ∴△CBE ∽△CAB ,
∴BC 2=CE ·CA ,∴x 2=(2-x )·2,
∴x 2+2x-4=0,∴x=-1+√5,或x=-1-√5,舍去负值. ∴A △AAA
A
△AAA
=
(AA AA )
2=(
-1+√52
)2
=
3−√52
,故选C .
10.(2018·云南曲靖)如图,在正方形ABCD中,连接AC,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于点M、N,分别以M、N为圆心,大于MN长的一半为半径画弧,两弧交于点H,连接AH并延长交BC于点E,再分别以A、E为圆心,以大于AE长的一半为半径画弧,两弧交于点P、Q,作直线PQ,分别交CD、AC、AB于点F、G、L,交CB的延长线于点K,连接GE,下列结论:①∠LKB=22.5°,②GE ∥AB,③tan∠CGF=AA
AA
,④S△CGE∶S△CAB=1∶4.其中正确的是()
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=1
2
∠BAD=45°,由作图可知:AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE=22.5°,
∵PQ是AE的中垂线,∴AE⊥PQ,
∴∠AOL=90°.
∵∠AOL=∠LBK=90°,∠ALO=∠KLB,
∴∠LKB=∠BAE=22.5°,故①正确;
∵OG是AE的中垂线,
∴AG=EG,
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE,
∴EG∥AB,故②正确;
∵∠LAO=∠GAO,∠AOL=∠AOG=90°,
∴∠ALO=∠AGO,
∵∠CGF=∠AGO,∠BLK=∠ALO,
∴∠CGF=∠BLK,
在Rt△BKL中,tan∠CGF=tan∠BLK=AA
AA
,故③正确;
连接EL,∵AL=AG=EG,EG∥AB,
∴四边形ALEG是菱形,
∴AL=EL=EG>BL,∴AA
AA ≠1
2
,
∵EG∥AB,∴△CEG∽△CBA,
∴A △AAA
A
△AAA
=
(AA AA )
2≠1
4,故④不正确;
本题正确的是①②③,故选A .
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(2018·山东莱芜)计算:(π-3.14)0
+2cos 60°= .
12.(2018·北京)用一组a ,b ,c 的值说明命题“若a<b ,则ac<bc ”是错误的,这组值可以是
a= ,b= ,c= .
2 -1(答案不唯一)
a=1,b=2,c=-1时,1<2,而1×(-1)>2×(-1),∴命题“若a<b ,则ac<bc ”是错误的,故答案为:1;2;-1(本题答案不唯一).
13.(2018·湖南邵阳)如图所示,在等腰△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折,使点A 落在点C 处.若AE=√3,则BC 的长是 . √3
AB=AC ,∠A=36°,
∴∠B=∠BCD=72°.
∵将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折,使点A 落在点C 处, ∴根据折叠原理可得△AED ≌△CED. ∴AE=CE ,∠A=∠ECD=36°.
∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=72°-36°=36°.
∴∠BEC=180°-∠B-∠BCE=180°-72°-36°=72°. ∴∠BEC=∠B. ∴BC=CE.∵AE=√3, ∴BC=CE=AE=√3.
14.(2018·黑龙江齐齐哈尔)四边形ABCD 中,BD 是对角线,∠ABC=90°,tan∠
ABD=3
4,AB=20,BC=10,AD=13,则线段CD= .
或√89
A 作AE ⊥BD 交BD 于点E ,
∵∠ABC=90°,tan∠ABD=3
4,AB=20,设AE=3x ,BE=4x ,∴AB 2=25x 2=400,解得x=4,即AE=12,BE=16.∵AD=13,∴DE=√AA 2-AA 2=5.过点D 作DF ⊥BC 交BC 于点F ,∴DF ∥AB ,即∠ABD=∠BDF ,
当四边形ABCD 是凸四边形时,BD=BE+DE=21,tan ∠BDF=3
4,可得DF=84
5,BF=63
5,
又∵CF=BF-BC=13
5,
∴CD=√2217;
当四边形ABCD 是凹四边形时,BD=BE-DE=11,tan ∠BDF=3
4,可得DF=44
5,BF=33
5, 又∵CF=BC-BF=17
5,
∴CD=√AA 2+AA 2=√89.
故答案为17或√89.
三、(本大题共2小题,每小题13分,满分26分) 15.
(2018·广西桂林)如图,点A 、D 、C 、F 在同一条直线上,AD=CF ,AB=DE ,BC=EF. (1)求证:△ABC ≌△DEF ;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F 的度数.
AD=CF ,∴AD+CD=CF+CD ,即AC=DF ,则在△ABC 和△DEF 中,
∵{=AA ,
AA =AA ,AA =AA ,∴△ABC ≌△DEF (SSS).
ABC 中,∵∠A=55°,∠B=88°,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠ACB=180°―∠A ―∠B=37°. ∵△ABC ≌△DEF (SSS), ∴∠F=∠ACB=37°.
16.
(2018·浙江杭州)如图,在△ABC 中,AB=AC ,AD 为BC 边上的中线,DE ⊥AB 于点E. (1)求证:△BDE ∽△CAD ;
(2)若AB=13,BC=10,求线段DE 的长.
AB=AC ,
∴∠ABC=∠ACB ; ∵AD 是BC 边上中线,
∴BD=CD,AD⊥BC,
又∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC,
又∵∠ABC=∠ACB,∴△BDE∽△CAD.
BC=10,∴BD=1
2
BC=5,
在Rt△ABD中,有AD2+BD2=AB2,
∴AD=√132-52=12.
∵△BDE∽△CAD,
∴AA
AA =AA
AA
,即5
13
=AA
12
,
∴DE=60
13
.
四、(本大题共2小题,每小题13分,满分26分)
17.(2018·黑龙江哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD(不是正方形),且点C和点D均在小正方形的顶点上;
(2)在图中画出以线段AB为一腰,底边长为2√2的等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点上.连接CE,请直接写出线段CE的长.
矩形ABCD如图中所示.
(2)△ABE如图中所示. CE=4
18.(2018·海南)如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°,此时教学楼顶端G恰好在视线DH上,再向前走7米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°,点A,B,C三点在同一水平线上.
(1)计算古树BH的高;
(2)计算教学楼CG的高.(参考数据:√2≈1.4,√3≈1.7)
在Rt△DEH中,∵∠DEH=90°,∠HDE=45°,
∴HE=DE=7米.
∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5米.
(2)设EF=x米,在Rt△GEF中,
∵∠GFE=90°,∠GEF=60°,
∴GF=EF·tan60°=√3x.
在Rt△GDF中,∵∠GFD=90°,∠GDF=45°,
∴DF=GF.∴7+x=√3x.
将√3≈1.7代入上式,解得x=10.GF=√3x=17.
∴CG=GF+FC=18.5米.
答:古树高为8.5米,教学楼高为18.5米.
五、(本大题共2小题,每小题19分,满分38分)
19.(2018·山东东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O 在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3√3,BO∶CO=1∶3,求AB的长.
经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).请回答:∠ADB=°,AB=.
(2)请参考以上解决思路,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=3√3,∠ABC=∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求DC的长.
∵BD∥AC,
∴∠ADB=∠OAC=75°.
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA,
∴AA
AA =AA
AA
=1
3
.
又∵AO=3√3,∴OD=1
3
AO=√3,
∴AD=AO+OD=4√3.
∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB, ∴AB=AD=4√3.
(2)过点B作BE∥AD交AC于点E,如图所示.
∵AC⊥AD,BE∥AD,
∴∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠AOD=∠EOB,∴△AOD∽△EOB,
∴AA
AA =AA
AA
=AA
AA
.
∵BO∶OD=1∶3,∴AA
AA =AA
AA
=1
3
.
∵AO=3√3,∴EO=√3,∴AE=4√3.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,∴AB=2BE.
在Rt△AEB中,BE2+AE2=AB2,即(4√3)2+BE2=(2BE)2,
解得BE=4,∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,解得:CD=4√13.
20.(2018·江苏连云港)在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动.△ABC是边长为2的等边三角形,E是AC上一点,小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF.
(1)如图1,当点E在线段AC上时,EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等,请你找出来,并证明.
(2)当点E在线段AC上运动时,点F也随着运动,若四边形ABFC的面积为7
4
√3,求AE的长.
(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时,CF、BE相交于点D,请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系,并说明理由.
(4)如图2,当△ECD的面积S1=√3
6
时,求AE的长.
发现点E沿边AC从点A向点C运动过程中,始终有△ABE≌△CBF.
由题图1知,△ABC与△EBF都是等边三角形,所以AB=CB,BE=BF,
又∠CBF=∠ABE=60°-∠CBE,
所以△ABE≌△CBF.
(2)由(1)知点E在运动过程中始终有△ABE≌△CBF,
∵S四边形BECF=S△BCF+S△BCE,
∴S 四边形BECF =S △ABC .
∵△ABC 的边长为2,则S △ABC =√3,
所以四边形BECF 的面积为√3,
又四边形ABFC 的面积是
7√34, 所以S △ABE =
3√34,在△ABE 中,因为∠A=60°,所以边AB 上的高为AE sin60°, 则S △ABE =12AB ·AE sin60°=12×2×√32AE=
3√34,则AE=32. (3)S 2-S 1=√3. 由题图2知,△ABC 与△EBF 都是等边三角形,所以AB=CB ,BE=BF , 又∠CBF=∠ABE=60°+∠CBE ,
所以△ABE ≌△CBF ,
∴S △ABE =S △CBF ,∴S △FDB =S △ECD +S △ABC ,
则S △FDB -S △ECD =S △ABC =√3,则S 2-S 1=√3.
(4)由(3)知S 2-S 1=√3,即S △FDB -S △ECD =√3,
由S △ECD =√36,得S △BDF =7√36,因△ABE ≌△CBF ,
所以AE=CF ,∠BAE=∠BCF=60°.
又∠BAE=∠ABC=60°,得∠ABC=∠BCF ,
所以CF ∥AB ,则△BDF 的高是√3,
则DF=73,设CE=x ,则2+x=CD+DF=CD+73,所以CD=x-13, 在△ABE 中,由CD ∥AB 得,AA AA =AA AA ,
即A -132=A A +2,
化简得3x 2-x-2=0,
所以x=1或x=-23(舍), 即CE=1,所以AE=3.。