2024-2025学年河南省信阳市高一上学期入学考试数学检测试卷(含解析)

2024-2025学年河南省信阳市高一上学期入学考试数学检测试卷
一、单选题（本大题共10小题）
1．三个有理数在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果
,,a b c a b c b a
+--+（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．22a b +22a b c +-c -2b c
--2．若三角形的三条边长分别为且，则这个三角形一定是
,,a b c 2223
0a b a c b c b -+-=（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
3．给出下列式子：（a ），（b ），（c ），cos45sin60︒︒>sin60cos60︒︒>sin30tan45︒︒>（d ）.其中正确的是（ ）sin45cos45︒︒=A ．（a ）（c ）B ．（b ）（d ）
C ．（a ）（d ）
D ．（c ）（d ）
4．已知集合，则集合A 的元素个数为（ ）
(){
}2
2**
,10,,A x y x y x y =
+≤∈∈N N A ．9
B ．8
C ．6
D ．5
5．如图，正方形和正方形中，点在上，是的中ABCD CEFG D CG 1,3,BC CE H ==AF 点，那么的长是（ ）
CH
A ．
B ．
C ．
D ．2
5
2
6．如图，二次函数
的图象与轴的一个交点为
，对称轴为
()
20y ax bx c a =++≠x ()1,0-直线.则下列结论中错误的是（ ）
2x =
A ．0abc >
B ．2a c b +<-
C ．30
c a -=D ．若直线与相交，其交点个数为2或3或4
y m =2y ax bx c =++7．已知直线向下平移2个单位后经过点，若点关于轴的对称点
21y x =-+(),3P a -P y 为，则点位于直线（ ）上Q Q A ．B ．24y x =-+23y x =+C ．D ．22
y x =-+21
y x =-8．如图，边长为1的正方形绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形，ABCD AB C D '''
边与交于点，则四边形的周长是（ ）
B C ''DC O AB OD '
A ．3
B ．
C ．
D ．1
9．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，
O AB CD P ,,AC AD BD 40ADC ∠=
，则（ ）
70BPC ∠= C ∠=
A ．
B ．
C ．
D ．20
25
30
o
35
10．如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线
P y B
交轴于点
，若光线满足的函数关系式为
，则的值为（ ）
BC x )C
PB 1y kx =+k
A ．
B ．
C ．1
D ．-1
二、填空题（本大题共5小题）
11．石墨烯目前是世界上最薄､最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.米，则数0.用科
学记数法表示为
.
12．同时掷两枚骰子，点数一共有 种可能，掷的点数都是2的可能性是
.
13．设是方程的两个实数根，则
的值为
.
a b ，22200x x --=()()33a b --14．已知二次函数
的图象与轴交于不同的两点，顶点为点，2
y x mx n =++x A B ，C 且，则代数式的取值范围是
.
1ABC S ≤△2
4m n -15．如图，为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜反射后，
OA OB C 反射光线落在上的点处，已知入射角为，则的度数是
度.
OB E 52
DOE ∠
三、解答题（本大题共8小题）16．计算：
(1)
(2)1
01(π 3.14)13-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭
17．宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地.已知该产品的成本为20元/件，经
市场调查发现，该产品的销售单价定为
25元到30元之间较为合理，该产品每年的销
售量（万件）与售价（元/件）之间满足一种函数关系，售价（元/件）与（万y x x y 件）的对应关系如表：x
⋯2026283135⋯y
⋯
20
14
12
9
5
⋯
(1)求该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间的函数关系式；
y x (2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元.
（i ）求2023年该特产的售价；
（ii ）该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大？最大利润是多少？18．如图，一次函数与函数
的图象交于两点，
28y x =
-+(0)k
y x x =
>()(),6,,2A m B n 轴于轴于.
AC y ⊥,C BD x ⊥D (1)求的值：
k (2)连接，求的面积：
,OA OB AOB V (3)在轴上找一点，连接，使周长最小，求点坐标.x P ,AP BP ABP P 19．游泳是中考体育必考项目之一，男子
100米满分是144秒，女子100米满分是
151秒，在一次中学生100米游泳测试中，选取了100人进行测试，其中男女学生各50人，男女分组进行测试，每组10人.随机抽取了男女各一组学生的成绩进行分析，数据如下：每个学生的成绩统计表：编号
12345678910男生成绩（秒）
146
141
139
143
a
140
142
142
139
143
女生成绩（秒）150154155149150149148153154151
根据以上信息解答下列问题：
(1)填空，为该组男生成绩的中位数，则__________；
a a =(2)应用你所学的统计，计算该100名学生中大约有多少人会取得满分成绩；(3)若从以上两组中各派2名成绩最好的学生进行抽签，由抽签决定谁去参加比赛，则刚好抽到一男一女的概率是多少？请用表格法或树状图表示
.
20．已知集合
.222
{|240,},{|2570}A x x mx m m B x x x =-++-∈=--<R …(1)若，求实数的取值范围；
A B B ⋃=m (2)若
，求实数的取值范围：7
{|0}
2A B x x ⋂=<…m 21．如图，内接于为的直径，过点作的切线，过点作
ABD △,O AB O D O DE B 的垂线，交于点，交的延长线于点，延长，交于点.
DE BC DE E AD C CB O F
(1)求证：；
A C ∠=∠(2)若，求的长.
6BE BF ==DE 22．小蕾同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形
.如图，正方形的中心与
ABCD 平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正
k
y x =
方形的顶点
，以点为圆心，的长为半径作扇形交于点；以
()
1,1A C CB ,BCD BD AC F 为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形.
CF CEFG C CE ECG
(1)求反比例函数的解析式；(2)求弧EG 的长；
(3)直接写出图中阴影部分面积之和.23．给定一个函数：
，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与
1
1(0)y x x x =+
+>性质解决实际问题，进行如下探索：(1)图象初探（i ）列表如下x
⋯⋯
1
4
1312
12
3
4
⋯⋯
y
⋯⋯
214
133
m
3
72
n
214
.
⋯⋯请直接写出的值；
,m n （ii ）请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象
.
(2)性质再探
请结合函数的图象，写出当__________，有最小值为__________；x =y (3)学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为平方米，深为米.已11知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米.
30.5设水池底面一边长为米，水池总造价为千元，可得到与的函数关系式为
x y y x .根据以上信息，请回答以下问题：
13y x x =+
+（i ）水池总造价的最低费用为__________千元：
（ii ）若该农户预算不超过千元，请直接写出的值应控制在什么范围？
5.5x
答案
1．【正确答案】C
【详解】由在数轴上表示的位置，可得，
,,a b c 0a b c <<<.
()()a b c b a a b c b a a b c b a c
+--+=-+--+=---++=-故选C.
2．【正确答案】A
【详解】因为，所以，
22230a b a c b c b -+-=()()220a b b c --=即
，所以或，
()()()0a b a b b c +--=a b =b c =所以这个三角形一定是等腰三角形.故选A.
3．【正确答案】B
【详解】对于（a ）：
，故（a ）错误；
cos45sin60︒=
=︒<
对于（b ）：，故（b ）正确；
sin60cos601
2︒=
=︒>对于（c ）：
，故（c ）错误；41
2sin301tan 5︒=
︒<=
对于（d ）：，故（d ）正确.
sin45cos 45︒=
︒=故选B.
4．【正确答案】C 【详解】，共6个元素.
{}(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)A =故选C.
5．【正确答案】B 【详解】
如图，连接，延长交于S ，则，
,AC FC AD EF AS EF ⊥
由正方形和正方形可得，ABCD CEFG 45ACD GCF ∠=∠=︒故,即，
90ACF ∠=︒AC CF ⊥
而AF ===
而为的中点，故，
H AF 1
2CH AF =
=故选B.
6．【正确答案】C
【详解】A 选项，图象开口向上，故，对称轴
，故，
0a >22b
x a =-
=40b a =-<由图象与轴交于轴负半轴，故，故，A 正确；
y y 0c <0abc >B 选项，由于图象与轴的一个交点为
，故另一个交点为，
x ()1,0-()5,0故当时，，又，故，即，B 正确；
1x =0y a b c =++<0c <20a b c ++<2a c b +<-C 选项，由于图象与轴的一个交点为
，故，
x ()1,0-0a b c -+=又，故，即，，C 错误；4b a =-40a a c ++=5c a =-380c a a -=-<D 选项，
的图象如下，
2y ax bx c
=++
显然，直线与的交点个数为2或3或4，D 正确.
y m =2y ax bx c =++故选C.
7．【正确答案】D
【详解】由题意可知，把直线向下平移2个单位后可得直线
21y x =-+，
21221y x x =-+-=--又点
在该直线上，
()
,3P a -代入可得，3211a a -=--⇒=所以点
，
()
1,3P -又点关于轴的对称点为，可得，
P y Q ()1,3Q --代入可得D 选项正确，故选D.
8．【正确答案】B
【详解】连接，∵旋转角，，∴在对角线AC 上，
B C '45BAB '∠=︒45BAC ∠=︒B '
∵，用勾股定理得，∴，
1AB AB '
==AC =1B C '=
在等腰中，，Rt OB C '△1OB B C ''==
由勾股定理得
，∴，
)12OC =-=11OD OC =-=
∴四边形的周长是．AB OD '2211AD OB OD +'-++==故选B.
9．【正确答案】A
【详解】解：为的直径，
AB O ，
90ADB ∴∠=︒，
40ADC ∠=︒ ，904050BDC ADB ADC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，50BAC BDC ∴∠=∠=︒，70BPC C BAC ∴∠=︒=∠+∠．
705020C ∴∠=︒-︒=︒故选A ．
10．【正确答案】A
【详解】为光线满足的函数关系式为，PB 1y kx =+令，可得，即点，0x =1y =(0,1)B
又因为
，则点关于轴的对称点为，
)C
C y ()C '
可得的斜率为
，
BC 'BC k '=
=
因为三点共线，可得，所以.
,,P B C 'BC k k '=k =
故选A.
11．【正确答案】10
3.410
-⨯【详解】0.用科学记数法表示为.
10
3.410-⨯12．【正确答案】
36,136
【详解】同时掷两枚骰子，点数一共有种可能,6636⨯=掷的点数都是2的可能性是.
1
3613．【正确答案】17
-【详解】因为是方程的两个实数根，所以，,a b 22200x x --=220a b ab +=⎧⎨=-⎩所以
.
()()333()92032917a b ab a b --=-++=--⨯+=-14．【正确答案】2
044
m n <-≤【详解】因为二次函数的图象与轴交于不同的两点，开口向上，
2
y x mx n =++x A B ，所以，，2
40m n ∆=->2
404n m -<设，则，
()()
12,0,,0A x B x 1212,x x m x x n +=-=
则
，
1x -=
=
又，故，
1ABC
S ≤△212141
24m n x x --⋅=≤
解得，即，2≤2
44m n -≤综上，.
2
044m n <-≤15．【正确答案】38【详解】
依题意，如图，过点作法线，则，,
D DM 52CDM ∠= 905238CDA ∠=-=
因,则.
//DC OB 38DOE ADC ∠=∠=
16．【正确答案】(1)
;(2)3
-【详解】（1）
.
(
+===（2）
.
(
)1
101(π 3.14)1312313-⎛⎫-+-+---=+-=- ⎪⎝⎭
17．【正确答案】(1);
40y x =-+(2)（i ）28元；（ii ）该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大为110万元
【详解】（1）由表格知，售价每增加1元，年销售量减少1万件，则y 与x 的函数关系式为一次函数，
设该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间的函数关系式为，
y x y kx b =+则，解得,
20202614k b k b +=⎧⎨
+=⎩140k b =-⎧⎨
=⎩每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间的函数关系式为.∴40y x =-+（2）（i ）由题意得
，解得，
()()20408016x x --+-=1228,32x x ==销售单价定为25元到30元之间，，
28x ∴=年该特产的售价为28元；
2023∴（ii ）设2024年售价定为元，工厂利润为元，
x w 根据题意得
，()()2
2
5944119405976024w x x x x x ⎛
⎫=--+=-+-=--+
⎪⎝⎭且，
10-< 2530x ≤≤当或30时，的值最大，最大值为（万元），
∴29x =w
()()29192940110--+=该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是110万元.
∴18．【正确答案】(1)6;
(2)8;(3)
()
2.5,0P 【详解】（1）由题意可知
在一次函数的图象上，
()()
,6,,2A m B n 28y x =-+所以，628,228m n =-+=-+解得，即.
1,3m n ==()()
1,6,3,2A B 又
也在函数
的图象上,
()()
1,6,3,2A B (0)k
y x x =
>所以
，解得；
61k
=
6k =（2）如图，过点A 作轴于点.
AE x ⊥E
因为
，所以.
()()
1,6,3,2A B 6,1,2,3,312AE OE BD OD DE =====-=又
11
163,22
AOE S AE OE =
⋅=⨯⨯= ，()()11
622822ABDE S AE BD DE =
+⋅=+⨯=梯形,
11
32322BOD S OD BD =⋅=⨯⨯= 所以
；
3838
AOB AOE BOD ABDE S S S S =+-=+-= 梯形（3）如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点.
B x B 'AB 'x P
由轴对称的性质可知
，且此时
最小，
()
,3,2BP B P B ''=-ABP C
即.
ABP C AB AB '
=+ 设直线的解析式为，
AB '()0y mx n m =+≠所以，解得
，
623m n
m n =+⎧⎨
-=+⎩410m n =-⎧⎨
=⎩所以直线的解析式为，
AB '410y x =-+当时，即.
0y = 2.5,x =()2.5,0P 19．【正确答案】(1)142;(2)75人;
(3)2
3
【详解】（1）把已知数据从小到大排序：，139,139,140,141,142,142,143,143,146又为该组男生成绩的中位数，结合中位数定义，则必有
；
a 142a =（2）由题设表格知
人；
5
11096
00710+⨯
=+（3）列表如下（被抽到2人有先后），
男1
男2女1女2男1男1，男2
男1，女1男1，女2男2男2，男1男2，女1
男2，女2女1女1，男1女1，男2女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1
如上表所示，共有12种等可能出现的结果，其中为一男一女的共有
8种情况，
所以
，即抽到的学生是一男一女的概率为
.
82
123P =
=
2320．【正确答案】(1);
3|12m m ⎧
⎫<<
⎨⎬⎩
⎭(2)
{}
2【详解】（1）由题意知
，
()(){|220,}{|22}
A x x m x m m x m x m ⎡⎤⎡⎤=---+∈=-+⎣⎦⎣⎦R ………，
7{|1}
2B x x =-<<因为，所以 ，
A B B ⋃=A B ⊆
解得，
21,722m m ->-⎧⎪∴⎨+<⎪⎩3
12m <<即实数的取值范围为；
m 3|12m m ⎧
⎫
<<
⎨⎬⎩
⎭（2）由（1）知，
，{|22}A x m x m =-+ (7)
{|1}
2B x x =-<<，
7
{|0}
2A B x x ⋂=< …，解得，20722m m -=⎧⎪∴⎨+⎪⎩
…=2m 即实数的取值范围是
.
m {}2【方法总结】遇到A ∪B =B ,A ∩B =A 等问题时,常借助交集、并集的定义转化为集合间的关系求解,如A ∪B =B ⇔A ⊆B ,A ∩B =A ⇔A ⊆B.
21．【正确答案】(1)证明见解析;
(2)【详解
】（1）
如图1，连接，
OD 是的切线，，
DE O DE OD ∴⊥,，,DE BC ⊥Q //OD BC ∴ODA C ∴∠=∠；,OA OD ODA A A C =∴∠=∠⇒∠=∠ （2）
如图2，过点作于点，连接,O OH BF ⊥H OF 因，则
OB OF =1
3,2
BH BF =
=由,可得四边形是矩形，
90ODE DEH OHE ∠=∠=∠=
ODEH ，
,,OD EH OH DE ∴==9OB OD EH BE BH ∴===+=
在中， Rt OHB △OH ===
故.DE OH ==22．【正确答案】(1);
1y x =
(3)
3π62
-
【详解】（1）将点A 的坐标代入函数表达式得
，
()1,1111k =⨯=所以反比例函数的表达式为
.
1y x =
（2）由题意，得点A 和点关于点对称，则，
C O ()90,1,1BC
D C ∠=--
而
，则，
2CF CB AC ==
==CE ==
所以弧EG 的长902π360
⨯=
（3）由题意得，则,
2AB BC ==21
22π24π
4ABD ABCD CBD S S S =-=⨯-⨯⨯=-阴影正方形扇形同理可得
，
1
2π2EFG S =-
阴影所以图中阴影部分面积之和
.13π
4π2π622=-+-=-
23．【正确答案】(1)（i ），
；（ii ）描点、图象见解析;7
2m =
133n =
(2)时，有最小值;1x =y 3(3)（i ）；（ii ）
51
2
2x ≤≤【详解】（1）（i ）当
时，；
12x =
172122m =++=
当时，
.3x =113
3l 33n =++=
（ii ）所描出的两点及所画函数图象如图所示：
（2）观察图象知，图象的最低点坐标为
，即当时，有最小值.
()1,31x =y 3（3）（i ）
，
11312y x x x x ⎛
⎫=+
+=+++ ⎪⎝⎭当时，由（2）知，有最小值，
1x =1
1(0)y x x x =+
+>3当时，
有最小值.
1x =1
3(0)y x x x =++>5（ii ）解方程
，整理得，解得，
1
3 5.5x x +
+=2
2520x x -+=121,22x x ==则当时，该农户预算不超过千元.
1
22x ≤≤ 5.5。