第章参数估计与假设检验.ppt

Xi
。
对于给定的样本值，计算出未知参数 的一个估计值为
ˆ1x9 1i 9 1x i9 1 (1 6 18 3 0 2)5 1 2.7。2
即 172.7 。
方法二
未知参数 的估计量也可以取为 ˆ 2 X1 ，则相应的估计 值为 ˆ2x1 168。即 168 。
方法三
记 X (1) = min { X1 , X2 , … , X9 }，X (9) = max { X1 , X2 ,
由于 的估计值 ˆ 是数轴上的一个点，用 的估计值 ˆ
作为 的真值的近似值，就相当于用一个点来估计 ，故得名 “点估计” 。
因此一个自然的想法就是，用样本均值 X
计未知参数 （即总体的均值），得到未知参数
1
n
n
Xi 来估 的i1 一个估计
量为 ˆ1 X
，其中
X
1 n
n i1
自总体 X 的容量为 n 的样本。试验证样本方差
S2 n11in1(Xi X)2 是总体方差 2 的无偏估计量，而统计量
B2
1n
n
i1
(Xi
X)2
（未修正的样本方差）是总体方差
2
的有
偏估计量。
证 ∵ 总体方差 DX = 2 存在，
∴ 总体均值也存在，记为 ，即 EX = 。 又∵ （X1 ，X2 ，…，Xn ）是取自总体 X 的一个样本，
S2
n11in1(Xi
X)2是总体方差
2
的无偏估
又∵ EB 2E[1nin1(Xi X)2]E[nn1n11in1(Xi X)2]
E(nn1S2)nn1ES2 nn12 22((n 2 )时）
∴ 统计量
B2
1 n
n i1
(Xi
X)2
是总体方差 2 的有偏估
∴ EXi = EX = ，DXi = DX = 2 ，i = 1，2，…，n 。 且 X1 ，X2 ，…，Xn 相互独立。
于是，样本均值
X
1 n
n i1
Xi
满足：
E X E (1 ni n 1X i) 1 ni n 1Ei X 1 ni n 1E X E X（即样本均值X
是总体均值 的无偏估计：EX = EX = ）；
称统计量 h ( X1 , X2 , … , Xn ) 为参数 的估计量，记作
ˆ(X1,X2, ,Xn)；该统计量的实现值 h ( x1 , x2 , … , xn ) 为参数
的估计值，记作 ˆ(x1,x2, ,xn) 。
在不会引起误会的场合，估计量与估计值统称为点估计，
简称为估计，并简记为 ˆ 。且有 ˆ(x1,x2, ,xn)。
据此得到了评价估计量的“无偏性” 标准。
定义 5.1（P.146） 设 ˆ ˆ(X 1,X 2, ,X n)为参数 的
估计量，若 Eˆ ，则称 ˆ 是 的无偏估计量，否则称 ˆ
是 的有偏估计量 。
若 limEˆ ，则称 ˆ 是 的渐进无偏估计量。 n
例 5.2（P.150 例 5.2*） 设（X1 ，X2 ，…，Xn ）是取
注：由于作为估计量的统计量，是样本的函数，因而它是 一个随机变量，具有不确定性。因此，在评价估计量时，不能 仅凭一次估计的效果来衡量估计量的好坏，即不能用估计量的 一次实现值（估计值）来衡量其好坏。要对估计量进行综合评 价。最常用的评价估计量好坏的标准有：无偏性、有效性和相 合性。
二、评价估计量的标准
第章参数估计与假设检验
另一方面，在有些情况下，人们所关心的并不是总体的分 布，而是总体的某些数字特征（一般可以表为总体参数的函数， 如：若总体 X ~ e( ) ，则 EX = 1 / ）。
这些问题都要求人们通过对所抽取的简单随机样本进行科 学的分析，从而推断出总体的未知参数或数字特征来。这类问 题统称为参数估计问题。
1n E[ (
n 1 i1
Xi2
nX 2)]
1n (
n 1 i1
EXi2
nEX 2)
Байду номын сангаас
1 n 1
n i1
EXi2
n EX n 1
2
1 n 1
n i1
(DXi
(EXi
)2 )
n (DX n 1
(EX )2)
n ( 2 2) n (1 2 2) 2
n 1
n 1 n
∴
计量。
样本方差
D X D (1 n i n 1 X i)独 n 1 2 立 i n 1 D i X n 1 2i n 1 D 1 n X D 1 n X 2
（即 DX1DX12 ）。
nn
故
而样本方
S2n 1 1i n 1(X iX )2n 1 1 (i n 1X i2 n X 2) ，
ES2
参数估计问题又分为点估计与区间估计两类。直观地讲， 点估计是要用样本的某一函数值做为待估参数的估计值；区间 估计则是要将待估参数确定在某一范围之内。
§5.1 点估计概述
一、什么叫点估计
设（X1 ，X2 ，…，Xn ）是来自总体 X 的样本，（x1 , x2 , …, xn ）是相应的样本值。 是总体分布的待估参数， ， 表示 的取值范围，称为参数空间。
… 相应, X的9 估}。计将值未为知 参ˆ3 数1 2(x(的1) 估x(9 计)) 量1 2 取(1为0 2 ˆ8 35 )12(1 2 X(18 )。即0 X(9))
，则 180
.
由此可见，同一个未知参数，其估计量可以是多个。对于
一个未知参数，原则上可以随意地去构造其估计量。因此，需
要制定出衡量各种估计量好坏的标准，对估计量进行评价。
1、无偏性
待估参数 的一个好的估计量 ˆ 在多次使用中，其估计 值应该在待估参数 的真值的两侧对称分布，即 ˆ 的平均值 应该与 的真值基本一致，即 Eˆ 。
如果估计量的实现值较多地偏向待估参数的真值的左 （右）边，则说明估计值通常要小（大）于参数的真值，用这 样的估计量去估计参数，通常会低估（高估）参数的真值。
注：尽管参数 是未知的，但是它的参数空间 却是事先 知道的。如正态总体 X ~ N( , 2 ) 的参数 R， ( 0 , + ) .
为估计参数 ，需要先构造一个统计量 h ( X1 , X2 , … , Xn ), 然后再利用该统计量的实现值 h ( x1 , x2 , …, xn ) 来估计参数 的真值，作为 的近似值，即 h ( x1 , x2 , … , xn ) 。