八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷易错题(Word版 含答案)

八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷易错题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．下列说法中错误的是（ ）
A ．一个锐角的补角一定是钝角；
B ．同角或等角的余角相等；
C ．两点间的距离是连结这两点的线段的长度；
D ．过直线l 上的一点有且只有一条直线垂直于l
2．下列语句中，假命题的是（ ）
A ．垂线段最短
B ．如果直线a 、b 、c 满足a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c
C ．同角的余角相等
D ．如果∠AOB ＝80°，∠BOC ＝20°，那么∠AOC ＝60°
3．如图，直线//AB CD ，点E 在CD 上，点O 、点F 在AB 上，EOF ∠的角平分线OG 交CD 于点G ，过点F 作FH OE ⊥于点H ，已知148OGD ∠=︒，则OFH ∠的度数为（ ）
A ．26º
B ．32º
C ．36º
D ．42º
4．如图，已知AB ∥CD, EF ∥CD ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．∠BCD= ∠DCE;
B ．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360︒;
C ．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;
D ．∠ABC+∠BC
E -∠CEF=180︒. 5．下列命题中，假命题的个数为（ ）
（1）“是任意实数，
”是必然事件； （2）抛物线的对称轴是直线；
（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为
； （4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生；
（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票一定有1张会中奖；
（6）函数与轴必有两个交点．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．下列说法中正确的是（ ）
A ．两条射线组成的图形叫做角
B ．小于平角的角可分为锐角和钝角两类
C ．射线就是直线
D ．两点之间的所有连线中，线段最短
7．下列说法中,错误的有( )
①若a 与c 相交,b 与c 相交,则a 与b 相交;
②若a∥b,b∥c,那么a∥c;
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种.
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
8．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A ．若a ＝b ，则a 2＝b 2
B ．同位角相等
C ．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D ．等腰三角形两底角不相等
9．下列图中的“笑脸”，由如图平移得到的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，下列说法错误的是( )
A ．若a∥b，b∥c，则a∥c
B ．若∠1＝∠2，则a∥c
C ．若∠3＝∠2，则b∥c
D ．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
11．如图，一副直角三角板图示放置，点C 在DF 的延长线上，点A 在边EF 上，//AB CD ，90ACB EDF ∠=∠=︒，则CAF ∠=（ ）
A ．10︒
B ．15︒
C ．20︒
D ．25︒
12．已知//AB CD ，∠EAF=13∠EAB ，∠ECF=13
∠ECD ，若∠E=66°，则∠F 为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
二、填空题
13．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子．一枚棋子放在0格，现在依逆时针移动这枚棋子，第一次移动1格，第二次移动2格，…，第n次移动n格．则不停留棋子的格子的编号有_____．
14．已知：如图放置的长方形ABCD和等腰直角三角形EFG中，
∠F=90°，FE=FG=4cm，AB=2cm，AD=4cm，且点F，G，D，C在同一直线上，点G和点D 重合．现将△EFG沿射线FC向右平移，当点F和点C重合时停止移动．若△EFG 与长方形重叠部分的面积是4cm2，则△EFG 向右平移了____cm．
15．如图①：MA1∥NA2，图②：MA11NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，……，
则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1______.（用含n的代数式表示）
16．两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.
17．如图，长方形ABCD中，AB＝6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次平移长方形A n－1B n－1C n－1D n－1沿A n－1B n－1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A n B n C n D n（n＞2），若AB n的长度为2 016，则n 的值为__________．
18．如图，请你添加一个条件．．．．
使得AD ∥BC ，所添的条件是__________．
19．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___
20．如图，已知AB 、CD 相交于点O,OE ⊥AB 于O ，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；
三、解答题
21．如图，已知//AB CD ，50A C ∠=∠=︒，线段AD 上从左到右依次有两点E 、F （不与A 、D 重合）
（1）求证：//AD BC ；
（2）比较1∠、2∠、3∠的大小，并说明理由；
（3）若:1:4FBD CBD ∠∠=，BE 平分ABF ∠，且1BDC ∠=∠，判断BE 与AD 的位置关系，并说明理由．
22．如图1，AB CD ∥ ，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒ ，求APC ∠的度数．
小明的思路是：过P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．
（1）按小明的思路，求APC ∠的度数；
（问题迁移）
（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用）：
（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．
23．如图 1，直线GH 分别交,AB CD 于点 ,
E F (点F 在点E 的右侧)，若12180︒∠+∠= （1）求证://AB CD ；
（2）如图2所示，点M N 、在
,AB CD 之间，且位于,E F 的异侧，连MN ， 若23M N ∠=∠，则,,AEM NFD N ∠∠∠三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
（3）如图 3 所示,点M 在线段EF 上，点N 在直线CD 的下方，点P 是直线AB 上一点（在E 的左侧），连接,,MP PN NF ,若2,2MPN MPB NFH HFD ∠=∠∠=∠,则请直接写出PMH ∠与N ∠之间的数量
24．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．
（1）求证：//AD BC ；
（2）连结CF ，当//CF AB ，且32
CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数；
（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．
25．如图，已知直线12//l l ，直线3l 交1l 于C 点，交2l 于D 点，P 是线段CD 上的一个动点，
（1）若P 点在线段CD （C 、D 两点除外）上运动，问PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系是什么？这种关系是否变化？
（2）若P 点在线段CD 之外时，PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系怎样？说明理由
26．已知直线AB CD ∥，直线EF 与直线AB 、CD 分别相交于点E 、F ．
（1）如图1，若160∠=︒，求2∠，3∠的度数；
（2）若点P 是平面内的一个动点，连接PE 、PF ，探索EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系；
①当点P 在图2的位置时，请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明； ②当点P 在图3的位置时，请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明； ③当点P 在图4的位置时，请直接写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系．
27．如图`，已知：直线AD BC ∥，且直线AB 、CD 与AD 、BC 分别交于A 、D 和B 、C 两点，点P 在直线AB 上．
(1)如图1,当点P 在A 、B 两点之间时(点P 不与点A 、B 重合)，探究ADP 、DPC ∠、BCP ∠之间的关系，并说明理由.
(2)若点P 不在A 、B 两点之间，在备用图中画出图形，直接写出ADP 、DPC ∠、BCP ∠之间的关系，不需说理．
28．已知：∠1＝∠2，EG 平分∠AEC．
(1)如图1，∠MAE＝50°，∠FEG＝15°，∠NCE＝80°．试判断EF 与CD 的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，∠MAE＝135°，∠FEG＝30°，当AB∥CD 时，求∠NCE 的度数；
(3)如图2，试写出∠MAE、∠FEG、∠NCE 之间满足什么关系时，AB∥CD．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【详解】
解：D选项中缺少先要条件，就是在同一平面内
故选：D
2．D
解析：D
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】
解：A、垂线段最短是真命题，故A不符合题意；
B、如果直线a、b、c满足a∥b，b∥c，那么a∥c是真命题，故B不符合题意；
C、同角的余角相等是真命题，故C不符合题意；
D、如果∠AOB=80°，∠BOC=20°，那么∠AOC=60°或100°，是假命题，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分
∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据
∠=90°-32°-32°=26°
FH OE
⊥，可得：OFH
【详解】
解：∵∠OGD=148°,
∴∠EGO=32°
∵AB∥CD，
∴∠EGO =∠GOF,
∠的角平分线OG交CD于点G,
∵EOF
∴∠GOE =∠GOF,
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF,
∴∠GOE=∠GOF=32°,
⊥,
∵FH OE
∠=90°-32°-32°=26°
∴OFH
故选A.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
4．D
解析：D
【解析】
分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.
详解：延长DC到H
∵AB∥CD，EF∥CD
∴∠ABC+∠BCH=180°
∠ABC=∠BCD
∠CE+∠DCE=180°
∠ECH=∠FEC
∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC
∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.
故选D.
点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.
5．C
解析：C
【解析】
试题解析：（1）“a是任意实数，|a|-5＞0”是不确定事件，是假命题；
（2）抛物线y=（2x+1）2的对称轴是直线x=-，是假命题；
（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为，是假命题；
（4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生，是真命题；
（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖，是假命题；
（6）函数y=-9（x+2014）2+与x轴必有两个交点，是真命题，
则假命题的个数是4；
故选C．
考点：命题与定理．
6．D
解析：D
【解析】根据真假命题的概念，可知：
A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；
B、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误．
C、射线是直线的一部分，选项错误；
D、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；
故选：D．
7．B
解析：B
【解析】①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交或平行，故本小题错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；根据平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么两条直线也互相平行，上面说法正确；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确；
④在平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种，故不正确.
因此只有②③正确.
故选：B.
8．C
解析：C
【分析】
根据互为逆命题的关系，将四个选项的题设和结论互换，逐一验证，A是假命题，B是假命题，C是真命题，D是假命题.故答案为C.
【详解】
根据互为逆命题的关系，题设和结论互换，可知：
A选项中，若a=b，则a2＝b2的逆命题为：若a2＝b2，则a=b，是假命题；
B选项中，同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题；
C选项中，两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是真命题；
D选项中，等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题.
故选C.
【点睛】
此题主要考查互为逆命题的关系，三角形的性质定理，熟练掌握即可得解.
9．D
解析：D
【分析】
根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
【详解】
解：A、B、C都是由旋转得到的，D是由平移得到的．
故选：D．
【点睛】
本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
10．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据平行线的判定进行判断即可．
解：A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；
D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选C．
考点：平行线的判定．
11．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质可知，BAF=EFD=45∠∠ ，由BAC=30∠ 即可得出答案。

【详解】
解：∵90ACB EDF ∠=∠=︒
∴BAC=30∠，EFD=45∠
∵//AB CD
∴BAF=EFD=45∠∠
∴CAF ∠=BAF BAC=15∠-∠
故答案是B
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补.
12．C
解析：C
【分析】
如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得66EAB EC C D AE ∠+∠=∠=︒，同样的方法可得F FAB FCD ∠=∠+∠，再根据角的倍分可得
,2323
FAB EAB FCD ECD ∠=
∠∠=∠，由此即可得出答案． 【详解】 如图，过点E 作//EG AB ，则////EG AB CD ，
,EAB CE C A D G G E E ∴∠=∠∠∠=，
66AEG EAB ECD CE A C G E ∴∠+=∠+=∠=∠∠︒，
同理可得：F FAB FCD ∠=∠+∠，
11,33
EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠， ,23
23FAB EAB FCD ECD ∴∠=∠∠=∠， ()266443333
222F FAB FCD EAB ECD EAB ECD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
二、填空题
13．2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝12n（n+1），然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋
解析：2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），应停在第n（n+1）﹣7p格，
这时p是整数，且使0≤n（n+1）﹣7p≤6，分别取n＝1，2，3，4，5，6，7时，
n（n+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停留棋子，
若7＜n≤10，设n＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， n（n+1）﹣7p＝7m+12t（t+1），
由此可知，停棋的情形与n＝t时相同，
故第2，4，5格没有停留棋子．
故答案为：2，4，5．
【点睛】
此题主要考查推理与论证，解题的关键是根据题意分析运动规则，再列出式子来解答. 14．3或2+
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角形，重合部分为△HDG，则重合面积=DG2=4，解得DG=，而DC＜，故这种情况不成立；
②如图
解析：3或2+22
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角形，重合部
分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得DG=22，而DC＜22，故这种情况不成立；
②如图2，由平移的性质得到△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可；
③如图3，由平移的性质得到△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可．
详解：分三种情况讨论：①如图1．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG是等腰直角三
角形，重合部分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得：DG=22，而DC=2＜22，故
这种情况不成立；
②如图2．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分
为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI =1
2
DG2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
DG2－
1
2
（DG-2）
2=4，解得：DG=3；
③如图3．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形
EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI =1
2
EF2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
×42－
1
2
（DG-2）2=4，解得：
DG=222
+或222
-（舍去）．
故答案为：3或222
+．
点睛：本题主要考查了平移的性质以及等腰三角形的知识，解题的关键是分三种情况作出图形，并表示出重合部分的面积．
15．【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2
解析：n180︒
【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘，
如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘，
…，
第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180︒，
故答案为180n︒.
点睛：平行线的性质.
16．130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是
解析：130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
17．【解析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-
5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn =（n+1）×5+1求出n即
解析：【解析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出AB n=（n+1）×5+1求出n即可．
解：∵AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1−A1A2=6−5=1，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11=2×5+1，
∴AB2的长为：5+5+6=16=3×5+1；
……
∴AB n=(n+1)×5+1=2016，
解得：n=402.
故答案为：402.
点睛：本题主要考查找规律.根据所求出的数字找出其变化规律是解题的关键.
18．∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C
【解析】
当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAB+∠B
解析：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C
【解析】
当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC，
故答案是：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.
19．130cm2．
【分析】
根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD，那么GH=CD，BC=FG，观察可知梯形EFMD是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD，再根据梯形的面积计
解析：130cm2．
【分析】
根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD，那么GH=CD，BC=FG，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD，再根据梯形的面积计算公式计算即可．
【详解】
解：∵直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，
∴梯形EFGH≌梯形ABCD，
∴GH=CD，BC=FG，
∵梯形EFMD是两个梯形的公共部分，
∴S梯形ABCD-S梯形EFMD=S梯形EFGH-S梯形EFMD，
∴S阴影=S梯形MGHD=1
2
（DM+GH）•GM=
1
2
（28-4+28）×5=130（cm2）．
故答案是130cm2．
【点睛】
本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等．
20．62
【详解】
∵，，
∴∠BOC=90°-28°=62°
∵∠BOC=∠AOD
∴∠AOD=62°.
解析：62
【详解】
∵OE AB ⊥，28EOC ∠=，
∴∠BOC=90°-28°=62°
∵∠BOC=∠AOD
∴∠AOD=62°.
三、解答题
21．（1）见解析；（2）∠1＞∠2＞∠3，理由见解析；（3）BE ⊥AD ，理由见解析
【分析】
（1）证明∠C+∠ADC=180°，再根据平行线的判定证明即可；
（2）通过比较∠EBC 、∠FBC 、∠DBC 的大小，再进行等量代换即可；
（3）设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，根据∠ABC=130°列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AB ∥CD ，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=50°，
∴∠ADC=130°，
∵∠C=50°，
∴∠C+∠ADC=180°，
∴AD ∥BC ；
（2）∠1＞∠2＞∠3，
∵AD ∥BC ，
∴∠1=∠EBC ，∠2=∠FBC ，∠3=∠DBC ，
∵∠EBC ＞∠FBC ＞∠DBC ，
∴∠1＞∠2＞∠3；
（3）∵AD ∥BC ，
∴∠1=∠EBC ，
∵AB ∥CD ，
∴∠BDC=∠ABD ，
∵∠1=∠BDC，
∴∠ABE=∠DBC，
∵BE平分∠ABF，
设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，
∴∠ABE=∠EBF=4x°，
∴4x+4x+x+4x=130°，
∴x=10°，
∴∠1=4x+x+4x=90°，
∴BE⊥AD．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
22．（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入
∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA=∠α-∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
23．（1）证明过程见解析；（2）1
2
N AEM NFD
∠=∠-∠，理由见解析；（3）
1
3
∠N+∠PMH=180°.
【分析】
（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可判定AB∥CD；
（2）设∠N=2α，∠M=3α，∠AEM=x，∠NFD=y，过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB 可得∠PMN=3α-x，∠QNM=2α-y，根据平行线性质得到3α-x=2α-y，化简即可得到
1 2
N AEM NFD ∠=∠-∠；
（3）过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN于R，根据平行线的性质可得∠BPM=∠PMI，由已知得到∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI及∠RFN=180°-∠NFH-
∠HFD=180°-3∠HFD，根据对顶角相等得到∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM，化简得到∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，根据平行线的性质得到
3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°及3∠RFM+∠FNH=180°，两个等式相减即可得到∠RFM-
∠PMI=1
3
∠FNP，将该等式代入∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，即得到
1 3∠FNP=180°-∠PMH，即
1
3
∠N+∠PMH=180°.
【详解】
（1）证明：∵∠1=∠BEF，12180︒
∠+∠=
∴∠BEF+∠2=180°
∴AB∥CD.
（2）解：1
2
N AEM NFD ∠=∠-∠
设∠N=2α，∠M=3α，∠AEM=x，∠NFD=y 过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB
∵//
AB CD，MP∥AB，NQ∥AB
∴MP∥NQ∥AB∥CD
∴∠EMP=x，∠FNQ=y
∴∠PMN=3α-x，∠QNM=2α-y
∴3α-x=2α-y
即α=x-y
∴1
2
N AEM NFD ∠=∠-∠
故答案为1
2
N AEM NFD ∠=∠-∠
（3）解：1
3
∠N+∠PMH=180°
过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN于R.
∵//
AB CD，MI∥AB，NQ∥CD
∴AB∥MI∥NQ∥CD
∴∠BPM=∠PMI
∵∠MPN=2∠MPB
∴∠MPN=2∠PMI
∴∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI
∵∠NFH=2∠HFD
∴∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD
∵∠RFN=∠HFD
∴∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM
∴∠MON+∠PRF+∠RFM=360°-∠OMF
即3∠PMI+∠FNP+180°-3∠RFM+∠RFM=360°-∠OMF ∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH
∵3∠PMI+∠PNH=180°
∴3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°
∵3∠RFM+∠FNH=180°
∴3∠PMI-3∠RFM+∠FNP=0°
即∠RFM-∠PMI=1
3
∠FNP
∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=∠FNP-2(∠RFM-∠PMI)=180°-∠PMH
∠FNP-2×1
3
∠FNP=180°-∠PMH
1
3
∠FNP=180°-∠PMH
即1
3
∠N+∠PMH=180°
故答案为1
3
∠N+∠PMH=180°
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质.解题的关键是正确作出辅助线，通过运用平行线性质得到角之间的关系.
24．（1）证明见解析；（2）∠BCD＝108°；（3）70°
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF＝∠DAB，由角平线的定义得出∠EDF＝
∠FDC，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；
（2）设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF＝1.5x，由角平分线的定义得出∠ABC＝3x，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x的方程，求解即可；
（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF＝∠CBF，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC与∠FDC，由平移的性质与平行公理的推论得出AD∥PQ，最后根
据两直线平行，同旁内角互补列式求解．【详解】
解：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵
3
2
CFB DCF
∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，
∵AD∥BC，
∴∠FDC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3x，
∴∠BCF＝2x，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF +∠BFD＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF +∠BFD＝180°，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠FDC＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，∴BC∥PQ，
∵AD∥BC，
∴AD∥PQ，
∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，
∴∠FDC+∠QDC +∠PQD＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD＝180°，
∴∠PQD＝70°，即∠DQP＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
25．（1）∠APB=∠PAC +∠PBD，不会变化；（2）∠PBD=∠PAC+∠APB或
∠PAC=∠PBD+∠APB，理由见解析．
【分析】
（1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD，即∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系不发生变化；
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等以及三角形外角的性质，即可求得∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系．
【详解】
（1）如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD，
即∠APB 、∠PAC 、∠PBD 之间的关系不发生变化；
（2）如图②，
当点P 在C 、D 两点的外侧运动，且在l 1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB ．
理由如下：∵l 1∥l 2，
∴∠PEC=∠PBD ，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB ，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB ．
当点P 在C 、D 两点的外侧运动，且在l 2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB ．
如图③，
理由如下：∵l 1∥l 2，
∴∠PED=∠PAC ，
∵∠PED=∠PBD+∠APB ，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等与两直线平行，同位角相等，注意辅助线的作法．
26．（1）360∠=︒；（2）①EPF PEB PFD ∠=∠+∠，证明见解析；
②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=，证明见解析；③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠．
【分析】
（1）根据对顶角相等求∠2，根据两直线平行，同位角相等求∠3；
（2）①过点P 作MN ∥AB ，根据平行线的性质得∠EPM =∠PEB ，且有MN ∥CD ，所以∠MPF =∠PFD ，然后利用等式性质易得∠EPF =∠PEB +∠PFD ．
②③的解题方法与①一样，分别过点P 作MN ∥AB ，然后利用平行线的性质得到三个角之
间的关系．
【详解】
（1）解：∵12∠=∠，160∠=︒，
∴260∠=︒；
∵AB CD ∥，
∴3160∠=∠=︒ .
（2）①EPF PEB PFD ∠=∠+∠.
过点P 作MN AB ，则EPM PEB ∠=∠.
∵AB CD ∥，MN AB ， ∴MN CD ∥，
∴MPF PFD ∠=∠，
∴EPM MPF PEB PFD ∠+∠=∠+∠，
即EPF PEB PFD ∠=∠+∠.
②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=，
过点P 作MN AB ，则180PEB EPN ∠+∠=︒，
∵AB CD ∥，MN AB ， ∴MN CD ∥，
∴180NPF PFD ∠+∠=︒，
∴360PEB EPN NPF PFD ∠+∠+∠+∠=︒.
即360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=.
③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠.写对一种即可．
理由：如图4，过点P 作PM ∥AB ，
∵AB ∥CD ，MP ∥AB ，
∴MP ∥CD ，
∴∠PEB=∠MPE，∠PFD=∠MPF，
∵∠EPF+∠FPM=∠MPE，
∴∠EPF+∠PFD=∠PEB．
【点睛】
本题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质，结合图形作出辅助线构造出三线八角是解决此题的关键.
27．（1）∠ADP+∠BCP=∠DPC，理由见解析；（2）∠ADP=∠DPC+∠BCP，理由见解析【分析】
（1）过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，根据平行线的性质进行推理；
（2）过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，根据平行线的性质进行推理；
【详解】
解：（1）过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，
∵AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠ADP=∠DPQ，∠BCP=∠CPQ，
∴∠ADP+∠BCP=∠DPC；
（2）∠ADP=∠DPC+∠BCP.
过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，
∵AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠ADP=∠DPQ=∠DPC+∠CPQ，∠BCP=∠CPQ，
∴∠ADP=∠DPC+∠BCP.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质得出角的和差关系是解题的关键.
28．（1）//EF CD ，证明见解析 （2）75° （3）2FEG NCE MAE +=∠∠∠，证明见解析
【分析】
（1）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据角的和差关系和角平分线的性质可得80CEF NCE ==︒∠∠，从而得证//EF CD ；
（2）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得18075NCE GEC FEG =︒--=︒∠∠∠；
（3）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据平行线的性质可得
180AEG FEA FEG MAE FEG =+=︒-+∠∠∠∠∠，再根据角平分线的性质可得1802FEC MAE FEG =︒-+∠∠∠，再根据平行线的性质即可得
2FEG NCE MAE +=∠∠∠．
【详解】
（1）//EF CD
∵12∠=∠
∴//MB EF
∴50AEF MAE ==︒∠∠
∴501565AEG AEF FEG =+=︒+︒=︒∠∠∠
∵EG 平分∠AEC
∴65CEG AEG ==︒∠∠
∴651580CEF CEG FEG =+=︒+︒=︒∠∠∠
∴80CEF NCE ==︒∠∠
∴//EF CD ；
（2）∵12∠=∠
∴//MB EF
∵∠MAE ＝135°
∴18045AEF MAE =︒-=︒∠∠
∵∠FEG ＝30°
∴75AEG AEF FEG =+=︒∠∠∠
∵EG 平分∠AEC
∴75GEC =︒∠
∵//AB CD
∴18075NCE GEC FEG =︒--=︒∠∠∠；
（3）2FEG NCE MAE +=∠∠∠
∵12∠=∠
∴//MB EF
∴180MAE FEA +=︒∠∠
∴180FEA MAE =︒-∠∠
∴180AEG FEA FEG MAE FEG =+=︒-+∠∠∠∠∠
∵EG 平分∠AEC
∴GEC AEG =∠∠
∴FEC GEC FEG =+∠∠∠
∴180FEC MAE FEG FEG =︒-++∠∠∠∠
∴1802FEC MAE FEG =︒-+∠∠∠
∵//,//AB CD AB EF
∴//EF CD
∴180FEC NCE +=︒∠∠
∴1802180MAE FEG NCE ︒-++=︒∠∠∠
∴2FEG NCE MAE +=∠∠∠．
【点睛】
本题考查了平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的性质、角的和差关系是解题的关键．。