奇偶性ppt课件
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二、奇函数定义：
一般地，设函数()的定义域为 ,如果∀ ∈ ,
都有− ∈ ,且(−) = −(),那么函数()就叫做
奇函数。
定义理解： 1.定义域关于原点对称。
2.图象关于原点对称。
例析
例.判断下列函数的奇偶性.
(1)() = 4 ;
(3)() = +
(2)() = 5 ;
(2)再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立；
(3)根据定义下结论．
三、达标检测
1．下列函数是偶函数的是(
A．f(x)＝x
)
B．f(x)＝2x2－3
C．f(x)＝ x
C
D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]
3. 若函数y = f x , x ∈ −1, a a > −1 是奇函数，则 = （
答：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值()也是一对相反数.
推理证明
例如，对于函数f(x) = x，有
(−3) = −(3)
(−2) = −(2)
(−1) = −(1)
实际上，∀x ∈ R, 都有 f −x = −x = −f(x)
这时称函数() = x为奇函数.
新课讲解——奇函数
3.2函数的基本性质
➢3.2.2 奇偶性
一、观察探究：
画出并观察函数f x = x 2 和g x = 2 − x 的图象，你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
两个函数图象都关于y轴对称
一、观察探究
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
相反数
发现：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
. > −3 > (−2)
《奇偶性的应用》课件
奇偶性在数据可视化和信息呈现 中的应用
利用奇偶性可以设计更加直观和易于理解的数据可视化 图表和界面，提高数据分析和信息传递的效率。
奇偶性与量子计算的结合
奇偶性在量子算法设计中 的应用
利用奇偶性可以设计更加高效和稳定的量子 算法，为量子计算的发展和应用提供新的思 路和方法。
奇偶性与量子纠错码的结 合
$f(-x)=-f(x)$
偶函数
$f(-x)=f(x)$
非奇非偶函数
既不满足奇函数也不满足偶函数的函数。
02
奇偶性在数学中的应用
代数方程的奇偶性
奇次方程
一个代数方程中，未知数的最高次数 为奇数的方程称为奇次方程。奇次方 程关于原点对称，可以通过代入法求 解。
偶次方程
一个代数方程中，未知数的最高次数 为偶数的方程称为偶次方程。偶次方 程关于y轴对称，可以通过因式分解法 求解。
总结词
化学反应中的奇偶性表现在分子结构和 化学键的对称性上。
VS
详细描述
在化学反应中，分子结构和化学键的对称 性可以通过奇偶性来描述。例如，在有机 化学中，分子可能具有对称轴或对称面， 这种对称性可以通过奇偶性来分析。此外 ，化学键的形成和断裂也可以通过奇偶性 来解释。
生物现象中的奇偶性
总结词
生物现象中的奇偶性表现在细胞分裂、遗传规律等方面。
函数奇偶性的应用
奇函数
如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。奇函数图像关于原点对 称，具有反函数的性质。
偶函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数。偶函数图像关于y轴对称， 具有对称性。
几何图形中的奇偶性
几何图形中的奇偶性是指图形中点、 线、面的数量关系。
奇偶性PPT教学课件
证明抽象函数的奇偶性须利用函数奇偶性 定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活变形，找 f(-x)与 f(x) 的关系．
1－2.设函数 y＝f(x)(x∈R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2满 足 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，求证：f(x)是偶函数．
证明：由 x1、x2∈R 且不为 0 的任意性， 令 x1＝x2＝1 代入可证，f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 又令 x1＝x2＝－1， ∴f[－1×(－1)]＝2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0. 又令 x1＝－1，x2＝x， ∴f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝0＋f(x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
奇偶函数的图象特征
例 3：f(x)为一偶函数，且当 x≥0 时，f(x)≥2，则当 x≤0
时( B ) A．f(x)≤2 C．f(x)≤－2
B．f(x)≥2 D．f(x)∈R
思维突破：利用偶函数图象的对称性分析．可画 f(x)的大致 图象如图 1，易知当 x≤0 时，有 f(x)≥2.
利用奇偶函数的对
2．求函数解析式 例 5：已知函数 f(x)为奇函数，且 x＞0 时，f(x)＝x(x－2)， 求 f(x)在定义域 R 上的解析式． 思维突破：求出 x＝0 时及 x<0 的表达式即可，利用奇函数， 将 x<0 转化为－x>0，即 f(x)＝－f(－x)求解． 解：设 x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－x(－x－2)＝x(x＋2)． ∵f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－x(x＋2)(x＜0)． 当 x＝0 时，f(0)＝－f(0)，
1.3.3 奇偶性
1．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内_任__意__一个 x，都 有___f_(－__x_)_＝__f(_x_)____，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
1－2.设函数 y＝f(x)(x∈R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2满 足 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，求证：f(x)是偶函数．
证明：由 x1、x2∈R 且不为 0 的任意性， 令 x1＝x2＝1 代入可证，f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 又令 x1＝x2＝－1， ∴f[－1×(－1)]＝2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0. 又令 x1＝－1，x2＝x， ∴f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝0＋f(x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
奇偶函数的图象特征
例 3：f(x)为一偶函数，且当 x≥0 时，f(x)≥2，则当 x≤0
时( B ) A．f(x)≤2 C．f(x)≤－2
B．f(x)≥2 D．f(x)∈R
思维突破：利用偶函数图象的对称性分析．可画 f(x)的大致 图象如图 1，易知当 x≤0 时，有 f(x)≥2.
利用奇偶函数的对
2．求函数解析式 例 5：已知函数 f(x)为奇函数，且 x＞0 时，f(x)＝x(x－2)， 求 f(x)在定义域 R 上的解析式． 思维突破：求出 x＝0 时及 x<0 的表达式即可，利用奇函数， 将 x<0 转化为－x>0，即 f(x)＝－f(－x)求解． 解：设 x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－x(－x－2)＝x(x＋2)． ∵f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－x(x＋2)(x＜0)． 当 x＝0 时，f(0)＝－f(0)，
1.3.3 奇偶性
1．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内_任__意__一个 x，都 有___f_(－__x_)_＝__f(_x_)____，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
奇偶性(共10张PPT)
x)x1 x
解：(1)定义域为(-∞,+∞) ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即 f(-x)=f(x)
∴ f ( x) x是4 偶函数.
1 (4) f(x)x2
(2)定义域为(-∞,+∞)
∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) 即 f(-x) = -f(x)
∴ f ( x) x是5 奇函数.
情景1：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具
有对称特征的美丽图像,比如
y x2, y等函1数图像.
x
f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？ 这就是本课时学习的函数的奇偶性.
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？
奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的 图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
定义
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，
都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
f(x)=x2
f(x)=|x|
∴
是偶函数.
f(-3)=9=f(3)
f(-3)=3=f(3)
(2)定义域为(-∞,+∞)
f(-1)=-1=-f(1) 即 f(-x)=f(x)
f(-2)=4=f(2)
f(-2)=2=f(2)
(3)定义域为{x|x≠0}
f(-1)=1=f(1) 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性.
个整体性质，它不同于函数的单调性是在一个区间 . 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
解：(1)定义域为(-∞,+∞) ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即 f(-x)=f(x)
∴ f ( x) x是4 偶函数.
1 (4) f(x)x2
(2)定义域为(-∞,+∞)
∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) 即 f(-x) = -f(x)
∴ f ( x) x是5 奇函数.
情景1：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具
有对称特征的美丽图像,比如
y x2, y等函1数图像.
x
f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？ 这就是本课时学习的函数的奇偶性.
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？
奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的 图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
定义
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，
都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
f(x)=x2
f(x)=|x|
∴
是偶函数.
f(-3)=9=f(3)
f(-3)=3=f(3)
(2)定义域为(-∞,+∞)
f(-1)=-1=-f(1) 即 f(-x)=f(x)
f(-2)=4=f(2)
f(-2)=2=f(2)
(3)定义域为{x|x≠0}
f(-1)=1=f(1) 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性.
个整体性质，它不同于函数的单调性是在一个区间 . 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
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代数证明方法还包括利用奇偶函数的定义和性质进行证明，如奇函数和偶函数的 定义、奇偶函数的性质等。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
1 第1课时 函数奇偶性的概念(共45张PPT)
【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R， 又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的 函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称 点为(－x0，－y0)，关于 y 轴的对称点为(－x0，y0).
C.坐标原点对称
D.直线 y＝x 对称
解析：选 C.函数 f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数 f(x)＝x＋x22＋a＋8 3为奇函数，则实数 a＝
(
)
A.－1
B.1
C.－32
D.32
解析：选 C.由题得 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0，所以 a＝
探究点 2 奇、偶函数的图象 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.
函数的的奇偶性PPT教学课件
又∵f(x)在(-1,1)上为减函数， ∴
1-a>a2-1 -1<1-a<1 -1<a2-1<1,解得0<a<1.
（2）因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)<g(m)，可得g(|1m|)<g(|m|),
又当x≥0时，g(x)为减函数，得到
|1-m|≤2 |m|≤2
1 解之得-1≤m< 2
（4）f(x)= 1 x2 x2 1
.
x
11
(1)x x 定1 1
(x)2 1 x2 x2
义 域 为
x1 x
得x2 1
（
3 ）
函
数
的
定
义
域
为
A
=
{
学点二 由奇偶性求函数解析式 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x2 +x+1,求 函数解析式. 【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析 式间的联系.
（2）如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么这个 函数既不是奇函数，也不是偶函数.
（3）定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数， 既是奇函数，又是偶函数，如f(x)=0,x∈R.
判断下列函数的奇偶性：
1
1
（1）f(x)=x+ （3）f(x)=x+
xx
;
1
;
（2）f(x)=x2+ x2 ;
|1-m|>|m|,.
1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？
（1）对于函数奇偶性的理解
①函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数 的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意 义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是 函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值x，都 有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,才能说f(x)是奇（或偶）函数.
《奇函数偶函数》课件
偶函数在其定义域内可导 或不可导，但偶函数在y轴 两侧的导数符号相反。
奇函数和偶函数的性质
01
奇偶性是函数的固有属 性，不随函数图像的平 移、伸缩或翻转而改变 。
02
奇函数和偶函数的定义 域必须关于原点对称。
03
奇函数和偶函数的定义 域可以是全体实数、正 实数、非负实数等。
04
奇函数APTER 02
奇函数和偶函数的图像
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对称，即对于 任意点$P(x, y)$在奇函数上，关于原 点对称的点$P'(-x, -y)$也在该奇函数 上。
奇函数的图像在坐标轴上的交点数量 是偶数。
奇函数的图像可能出现在第一、三、 五或七象限，但不可能出现在第二、 四象限。
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对 称。
奇函数的性质
奇函数在其定义域内可导 或不可导，但奇函数在原 点的导数一定为0。
偶函数的定义
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称 。
偶函数的性质
数的性质和应用
06
思考题
总结词：拓展思维
总结词：培养创新能力
总结词：思考奇偶函数在 实际生活中的应用
总结词：激发探索精神
总结词：探究奇偶函数与 其他数学知识的联系
总结词：尝试设计一些有 趣的奇偶函数问题
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称，即 对于任意点$P(x, y)$在偶函数上 ，关于y轴对称的点$P'( - x, y)$
奇函数和偶函数的性质
01
奇偶性是函数的固有属 性，不随函数图像的平 移、伸缩或翻转而改变 。
02
奇函数和偶函数的定义 域必须关于原点对称。
03
奇函数和偶函数的定义 域可以是全体实数、正 实数、非负实数等。
04
奇函数APTER 02
奇函数和偶函数的图像
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对称，即对于 任意点$P(x, y)$在奇函数上，关于原 点对称的点$P'(-x, -y)$也在该奇函数 上。
奇函数的图像在坐标轴上的交点数量 是偶数。
奇函数的图像可能出现在第一、三、 五或七象限，但不可能出现在第二、 四象限。
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对 称。
奇函数的性质
奇函数在其定义域内可导 或不可导，但奇函数在原 点的导数一定为0。
偶函数的定义
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称 。
偶函数的性质
数的性质和应用
06
思考题
总结词：拓展思维
总结词：培养创新能力
总结词：思考奇偶函数在 实际生活中的应用
总结词：激发探索精神
总结词：探究奇偶函数与 其他数学知识的联系
总结词：尝试设计一些有 趣的奇偶函数问题
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称，即 对于任意点$P(x, y)$在偶函数上 ，关于y轴对称的点$P'( - x, y)$
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……
-x
x
f(-x) = -f(x)
f(x)=x
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x), 这时我们称函数y=x为奇函数。
填写表（4），你发现了什么？
x
y 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 1
1 2
1 1 1 f ( x) -1 0 x 3 2
表（4）
1 3
1
x2
3
x
f(-x) = f(x)
y=x2
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数。
填写表（2），你发现了什么？
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3x
y=|x| 3 2 1 0 1 2 3
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。
奇函数的图像特征
如果一个函数是奇 函数，则它的图象 关于原点对称。 反过来， 如果一个函数的图 象关于原点对称， 则这个函数为奇函 数。
y=x3
O
定义域关于原点对称
• 例：见学案
练：判断下列函数是否为奇函数？（口答）
(1) f ( x) x , x [1,1]
3
(2) f ( x) x , x [1,1)
3
特别提醒
• 奇函数是关于原点对称的中心对称图 形。 • 若f(x)是奇函数，且0在定义域内，则 有f(0)=0 证明：因为 f(－x)= － f(x)
所以f(-x)+f(x)=0；令x=0代入 2f(0)=0,所以， f(0)=0
不是。
因为定义域不关于原点对 称，比如2在定义域内可 是-2却不在。
练习：判断下列函数是否为偶函数？（口答）
(1) f ( x) x , x [1,1]
2
(2) f ( x) x , x [1,1)
2
(3) f ( x) x , x [2,1) (1,2]
2
（4）f(x)=2x+1
x
x
y=x2
y=|x|
结论：这两个函数的图象都关于y轴对称。
填写表（1），你发现了什么？
x
y 6 5 4 3 2
-3 -2 -1 0
1 2 3
y=x2 9 4 1 0 1 4 9
表（1）
f(-1)= 1 =f(1) f(-2)= 4 =f(2) f(-3)= 9 =f(3)
……
-3
1
-2 -x -1 0
3
）
答案：c
• 下列说法中，不正确的是（ ） A. 图像关于原点成中心对称的函数一定是奇 函数 B. 奇函数的图像一定经过原点 C. 偶函数的图像若不经过原点，则它与轴交 点的个数一定是偶数 D. 图像关于轴成轴对称的函数一定是偶函数
答案：B
知识小结
本节课主要学习了以下内容： 1．函数的奇偶性的概念； 2．根据定义判断函数的奇偶性的主要步 骤．
3
2 1 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2 -3
f(x)=x
1 f ( x) x
结论：两个函数图象都关于原点对称。
填写表（3），你发现了什么？
y
x
-3 -2 -1
表（3）
0 1 2 3
2 3
-2
3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x
f(x)=x
-3 -2 -1 0 1
f(-1)= -1=-f(1) -f(2) f(-3)= -3 =-f(3)
-2 -1 0
-1 -2 -3
1
2
3 x
f(-1)= -1 =-f(1)
1 f(-3)= =-f(3) 3 ……
1 2
f(-x) = -f(x) 实际上，对于非零实数集内任意的一个x,都有 f(-x)= -1/x =-f(x),这时我们称函数y=1/x为奇函数。
1 f ( x) x
奇函数定义：
偶函数的图像特征
如果一个函数是偶 函数,则它的图象 关于y轴对称。
y=x2
反过来， 如果一个函数的图 象关于y轴对称， 则这个函数为偶函 数。
性质：偶函数的定义域关于原点对称
问题： f
解：
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
( x) x x1,2
2 ,
是偶函数吗？
2
2
根据函数奇偶性分类
奇函数 偶函数 函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原 点对称； (2)、再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是 否恒成立。
例2：见学案
提升训练
函数 f ( x) x 的大致图象可能是（
总结：
1、如果一个函数f(x)是奇函数或 偶函数，那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性； 2、函数的奇偶性是函数的整体 性质。
例：判断下列函数的奇偶性
f ( x) x 1 2 f ( x) x , x [1,3]
2
f ( x) x x x
5 3
f ( x) x 1 1 x
• 重点和难点
重点：函数奇偶性的概念
难点：函数奇偶性的判断
教学过程
情景引入 互动探究 知识运用 小结作业
对称相关概念
• .轴对称图形：如果一个图形沿着一条直 线对折后两部分完全重合，这样的图形叫 做轴对称图形 。
• 中心对称图形：在同一平面内，如果把一
个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形 能和原图形完全重合，那么这个图形就叫 做中心对称图形
攸县第二中学
函数的奇偶性
讲课人：唐琴琴
• 教学目标
知识与技能：从形数两个方面进行引导，领会 奇偶性的定义和判断。 过程与方法：师生共同探讨，联系生活实际理
解定义。
情感、态度与价值观：通过观察图形，培养学
生用图、想图、以及归纳的抽象思维能力。通过 合作探讨，培养学生合作精神，通过联系实际， 培养学生善于观察生活能力。
特别提醒
1、“任意”两字体现偶函数为函数的 整体性质，不能仅有特殊值满足，就 定义为偶函数。 2、对于任意一个x,都有f(-x) = f(x), 则x 和-x定要都在定义域内，也就是定义 域关于原点对称。 3、图像关于y轴对称
Hale Waihona Puke 自由探讨，类比推导奇函数y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x y
引入课题
“对称”是大自然和生活中的一种美，这 种“对称美”在数学中也有大量的反映，函数的
奇偶性和对称性有什么关系呢？
函数的奇偶性体现对称美！
让我们看看下列各函数有什么共性？如何体现 对称美？
• 互动探究（见证对称美）
y
6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1
y
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3
表（2）
f(-1)= 1 =f(1) f(-2)= 2 =f(2) f(-3)= 3 =f(3)
……
f(-x) = f(x)
y=|x|
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=|-x|=|x|=f(x), 这时我们称函数y=|x|为偶函数。
偶函数定义
从以上的讨论，你能够得到什么？
一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域内 的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x), 那么称函 数 y f ( x) 是偶函数
-x
x
f(-x) = -f(x)
f(x)=x
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x), 这时我们称函数y=x为奇函数。
填写表（4），你发现了什么？
x
y 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 1
1 2
1 1 1 f ( x) -1 0 x 3 2
表（4）
1 3
1
x2
3
x
f(-x) = f(x)
y=x2
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数。
填写表（2），你发现了什么？
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3x
y=|x| 3 2 1 0 1 2 3
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。
奇函数的图像特征
如果一个函数是奇 函数，则它的图象 关于原点对称。 反过来， 如果一个函数的图 象关于原点对称， 则这个函数为奇函 数。
y=x3
O
定义域关于原点对称
• 例：见学案
练：判断下列函数是否为奇函数？（口答）
(1) f ( x) x , x [1,1]
3
(2) f ( x) x , x [1,1)
3
特别提醒
• 奇函数是关于原点对称的中心对称图 形。 • 若f(x)是奇函数，且0在定义域内，则 有f(0)=0 证明：因为 f(－x)= － f(x)
所以f(-x)+f(x)=0；令x=0代入 2f(0)=0,所以， f(0)=0
不是。
因为定义域不关于原点对 称，比如2在定义域内可 是-2却不在。
练习：判断下列函数是否为偶函数？（口答）
(1) f ( x) x , x [1,1]
2
(2) f ( x) x , x [1,1)
2
(3) f ( x) x , x [2,1) (1,2]
2
（4）f(x)=2x+1
x
x
y=x2
y=|x|
结论：这两个函数的图象都关于y轴对称。
填写表（1），你发现了什么？
x
y 6 5 4 3 2
-3 -2 -1 0
1 2 3
y=x2 9 4 1 0 1 4 9
表（1）
f(-1)= 1 =f(1) f(-2)= 4 =f(2) f(-3)= 9 =f(3)
……
-3
1
-2 -x -1 0
3
）
答案：c
• 下列说法中，不正确的是（ ） A. 图像关于原点成中心对称的函数一定是奇 函数 B. 奇函数的图像一定经过原点 C. 偶函数的图像若不经过原点，则它与轴交 点的个数一定是偶数 D. 图像关于轴成轴对称的函数一定是偶函数
答案：B
知识小结
本节课主要学习了以下内容： 1．函数的奇偶性的概念； 2．根据定义判断函数的奇偶性的主要步 骤．
3
2 1 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2 -3
f(x)=x
1 f ( x) x
结论：两个函数图象都关于原点对称。
填写表（3），你发现了什么？
y
x
-3 -2 -1
表（3）
0 1 2 3
2 3
-2
3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x
f(x)=x
-3 -2 -1 0 1
f(-1)= -1=-f(1) -f(2) f(-3)= -3 =-f(3)
-2 -1 0
-1 -2 -3
1
2
3 x
f(-1)= -1 =-f(1)
1 f(-3)= =-f(3) 3 ……
1 2
f(-x) = -f(x) 实际上，对于非零实数集内任意的一个x,都有 f(-x)= -1/x =-f(x),这时我们称函数y=1/x为奇函数。
1 f ( x) x
奇函数定义：
偶函数的图像特征
如果一个函数是偶 函数,则它的图象 关于y轴对称。
y=x2
反过来， 如果一个函数的图 象关于y轴对称， 则这个函数为偶函 数。
性质：偶函数的定义域关于原点对称
问题： f
解：
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
( x) x x1,2
2 ,
是偶函数吗？
2
2
根据函数奇偶性分类
奇函数 偶函数 函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原 点对称； (2)、再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是 否恒成立。
例2：见学案
提升训练
函数 f ( x) x 的大致图象可能是（
总结：
1、如果一个函数f(x)是奇函数或 偶函数，那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性； 2、函数的奇偶性是函数的整体 性质。
例：判断下列函数的奇偶性
f ( x) x 1 2 f ( x) x , x [1,3]
2
f ( x) x x x
5 3
f ( x) x 1 1 x
• 重点和难点
重点：函数奇偶性的概念
难点：函数奇偶性的判断
教学过程
情景引入 互动探究 知识运用 小结作业
对称相关概念
• .轴对称图形：如果一个图形沿着一条直 线对折后两部分完全重合，这样的图形叫 做轴对称图形 。
• 中心对称图形：在同一平面内，如果把一
个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形 能和原图形完全重合，那么这个图形就叫 做中心对称图形
攸县第二中学
函数的奇偶性
讲课人：唐琴琴
• 教学目标
知识与技能：从形数两个方面进行引导，领会 奇偶性的定义和判断。 过程与方法：师生共同探讨，联系生活实际理
解定义。
情感、态度与价值观：通过观察图形，培养学
生用图、想图、以及归纳的抽象思维能力。通过 合作探讨，培养学生合作精神，通过联系实际， 培养学生善于观察生活能力。
特别提醒
1、“任意”两字体现偶函数为函数的 整体性质，不能仅有特殊值满足，就 定义为偶函数。 2、对于任意一个x,都有f(-x) = f(x), 则x 和-x定要都在定义域内，也就是定义 域关于原点对称。 3、图像关于y轴对称
Hale Waihona Puke 自由探讨，类比推导奇函数y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x y
引入课题
“对称”是大自然和生活中的一种美，这 种“对称美”在数学中也有大量的反映，函数的
奇偶性和对称性有什么关系呢？
函数的奇偶性体现对称美！
让我们看看下列各函数有什么共性？如何体现 对称美？
• 互动探究（见证对称美）
y
6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1
y
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3
表（2）
f(-1)= 1 =f(1) f(-2)= 2 =f(2) f(-3)= 3 =f(3)
……
f(-x) = f(x)
y=|x|
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=|-x|=|x|=f(x), 这时我们称函数y=|x|为偶函数。
偶函数定义
从以上的讨论，你能够得到什么？
一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域内 的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x), 那么称函 数 y f ( x) 是偶函数