安徽省马鞍山市博望中学2021-2022学年高二数学文下学期期末试题含解析

安徽省马鞍山市博望中学2021-2022学年高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知在数列{a n}中，a n=，其前n项和为，则在平面直角坐标系中直线nx+y+（n+1）=0在y轴上的截距是( )
A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9
参考答案：
A
【考点】数列与解析几何的综合．
【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列；直线与圆．
【分析】由a n==﹣，运用裂项相消求和，可得前n项和为S n=1﹣，由题意解方程可得n=9，再令直线方程中x=0，解得y，即为所求．
【解答】解：a n==﹣，
前n项和为S n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣，
由题意可得1﹣=，
解得n=9，
直线nx+y+（n+1）=0，即为9x+y+10=0，
令x=0，可得y=﹣10．
故选：A．
【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查直线的截距的求法，以及运算能力，属于基础题．
2. 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共
有 ( )A．种 B．种 C．种 D．种
参考答案：
B
略
3. 在△ABC中，若，则A与B的大小关系为（）
A.A＞B
B. A＜B
C. A=B
D. A、B大小关系不定
参考答案：
D
略
4. 曲线与坐标轴围成的面积是
A.4
B.
C.3
D.2
参考答案：
C
略
5. 以正方体的顶点D为坐标原点O，建立如图空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）
A． B．C．D．
参考答案：
C
略
6. 三个不重合的平面可把空间分成n 部分,则n 的所有可能取值为( ) A.4 B. 4或6 C.4或6或8 D. 4或6或7或8 参考答案：
D 7. “
”是“
”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
参考答案：
A 8. 设 是公比为正数的等比数列，若
，则数列
的前7项和
为 A.
63 B ．64 C ．127 D ．128
参考答案：
C 9. 已知
，
，且
，则
的最大值是
A.
B. C. D.
参考答案：
B
10. 曲线y=x 3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
B
11. 已知p ：x ＜8，q ：x ＜a ，且q 是p 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为
．
参考答案：
a ＜8
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．
【解答】解：∵p：x ＜8，q ：x ＜a ，且q 是p 的充分而不必要条件， ∴a＜8，
故答案为：（﹣∞，8）．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．
12. 设向量，，若，则实数x =__________.
参考答案：
【分析】
先计算出，再利用向量共线的坐标表示得到方程，解方程即得解.
【详解】由题得
因为，
所以,即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13. 已知, 又,,, 则M, N , P的大小关系
是
.
参考答案：
M > N > P
14. 已知函数的导函数为且满足，则．
参考答案：
,
则，所以令x= ，，所以
15. 设点M的柱坐标为（，，），则其直角坐标是．
参考答案：
【考点】QB：柱坐标刻画点的位置．
【分析】设点M的直角坐标为（x，y，z），根据变换公式为，得x=，
y=sin，z=解出其坐标值即可．
【解答】解：由题意：∵M点的柱面坐标为M（，，），设点M的直角坐标为（x，y，
z），
∴x=，y=sin，z=
解得x=﹣1，y=﹣1，z=．
∴M点的直角坐标为：M．
故答案为．
16. 设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i，则z的实部是________．
参考答案：
1
略
17. 过抛物线的焦点，且垂直于对称轴的直线交抛物线于两点，若线
段的长为8，则的值为
参考答案：
4
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．
参考答案：
解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．
（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．
（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）
∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．
∴，∴
略
19. 已知，复数.
（1）若z为纯虚数，求a的值；
（2）在复平面内，若对应的点位于第二象限，求a的取值范围.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）先利用复数的除法得到，根据为纯虚数可得.
（2）先求出，根据其对应的点在第二象限可得横坐标、纵坐标满足的不等式，从而得到的取值范围.
【详解】解：（1）
因为为纯虚数，所以，且，则
（2）由（1）知，，
则点位于第二象限，
所以，得.
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查复数的除法、复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.
20. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：
（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．
参考答案：
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接AD1，由已知可证四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1，可证得EF∥BC1，又EF?平面C1BD，BC1?平面C1BD，从而可证EF∥平面AB1D1．
（2）连接AC，则AC⊥BD．可证AA1⊥平面ABCD，又AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，可证BD⊥平面AA1C，有A1C⊥BD．同理可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，即可证明A1C⊥平面C1BD．
【解答】证明：（1）连接AD1，
∵E，F分别是AD和DD1的中点，
∴EF∥AD1
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，
∴AB∥D1C1，AB=D1C1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1
∴EF∥BC1．
又EF?平面C1BD，BC1?平面C1BD，
∴EF∥平面AB1D1．
（2）连接AC，则AC⊥BD．
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD
又AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C，
∴A1C⊥BD．
同理可证A1C⊥BC1，
又BD∩BC1=B，
∴A1C⊥平面C1BD．
21. 已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直
线的距离为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．
【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，
则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，
e===；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①
由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，
易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=．x1x2=，
由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，
从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?
==，解得b2=3，
则有椭圆E的方程为+=1．
22. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．
参考答案：
（1）证明：∵CD2=BC2+BD2，∵BC⊥BD
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD
而BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD…
（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=
而BD=，所以PD=1…
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，
，0），P（0，0，1）
所以，，1）
设平面PBC的法向量为，∴…
即可解得）
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=…
考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：（1）证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC⊥平面PBD；
（2）确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC 所成角的正弦值．
解答：（1）证明：∵CD2=BC2+BD2，∵BC⊥BD
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD
而BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…
（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=
而BD=，所以PD=1…
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，
，0），P（0，0，1）
所以，，1）
设平面PBC的法向量为，∴…
即可解得）
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=…
点评：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．。