计数原理、概率(答案)

计数原理、概率
一、选择题:
1.(x+1)6的展开式中x3的系数为
A.1
B.6
C.15
D.20
解析:展开式中x3的系数为=20.
答案:D
2.为了测量椭圆+y2=1的面积,现向圆x2+y2=4内随机扔1000粒豆子,其中有500粒豆子落在椭圆内,则椭圆的面积大约为
A.π
B.2π
C.3π D .
解析:设椭圆、圆的面积分别为S、S',则有
=,即=,∴S=2π.
答案:B
3.某办公室为保障财物安全,需在春节放假的七天内每天安排一人值班.已知该办公室共有四个人,每人需值班一天或两天,则不同的值班安排种数为
A.360
B.630
C.2520
D.15120
解析:有一人值班一天,其余三人各值班两天,
则不同的值班安排共有=2520种.
答案:C
4.某学校数学竞赛小组由7人组成,其中有3名女生,现从该小组中任选3人参加省级数学竞赛,则
表示
A.恰有1名女生被抽到的概率
B.至少有1名女生被抽到的概率
C.至多有1名女生被抽到的概率
D.至多有2名女生被抽到的概率
解析:1名女生也抽不到的概率为,抽到1名女生的概率为,所以表示至多有1名女生被抽到的概率.
答案:C
5.在(1+x)3(1-x)2的展开式中,含x4的项的系数是
A.1
B.5
C.-1
D.-5
解析:(1+x)3的展开式中x2的系数为=3,x3
的系数为=1,(1-x)2的展开式中x2
的系数为=1,x的系数为-=-2,所以含x4
的项的系数是1×3-2×1=1.
答案:A
6.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={7,8},现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,可以组成含有两个元素的集合的个数为
A.24
B.25
C.26
D.27
解析:若抽取的两个集合为A和B,则得到的集合个数为=12;若抽取的两个集合为A和C,则得到的集合数为=8;
若抽取的两个集合为B和C,则得到的集合的个数为5.
故总个数为12+8+5=25.
答案:B
7.某电视台打算在直播世界杯足球赛时连续插播五个广告,其中有三个不同的商业广告和两个不同的世界杯宣传广告,要求最后播放的是世界杯宣传广告,且两个世界杯宣传广告不能连播,则不同的播放方式有
A.18种
B.120种
C.48种
D.36种
解析:最后播放的是世界杯宣传广告,
有种,第四个播放的是商业广告,
有种,剩余三个广告排在前三个,
有种,
共有=36种不同的播放方式.
答案:D
8.现将周长为24 cm的圆改为矩形(周长不变),则该矩形面积大于32 cm2的概率为
A .
B .
C .
D .
解析:设矩形的一边长为x cm,则另一边长为(12-x) cm,从而有0<x<12,
由矩形的面积S=x(12-x)>32,解得4<x<8,
故该矩形面积大于32 cm2的概率P==.
答案:B
9.甲、乙、丙三名学生和两名老师站成一排合影,其中学生甲必须站在学生乙的右边(可以不相邻),这样的排列种数为
A.12
B.20
C.40
D.60
解析:先排另外三人,有种,再排甲、乙.当甲、乙相邻时,有种;当甲、乙不相邻时,有种.所以共有(+)=60种.
答案:D
10.设(1+x)n=a0+a1x+…+a n x n,若展开式中系数最大的项的系数是70,则a1+a2+…+a n等于
A.255
B.256
C.127
D.128
解析:当n为偶数时,展开式中系数最大的项的系数是;当n为奇数时,展开式中系数最大的项的系数是=.
而
和都随n的增大而增大,结合n=7时
,
==35,n=8时
,
==70,n=9时
,
==126,可得n=8.又
a0=1,∴a1+a2+…+a n=28-1=255.
答案:A
11.在一次表演比赛中,主办方对舞台作了如下设计:舞台为圆形,把舞台的周围分成了6个区域,每个区域需要有1位裁判,如图所示.组委会从4个不同的地区抽取了6位裁判,其中有3位裁判来自同一个地区,其他3位裁判分别来自另外3个地区.若把这6位裁判随意安排在这6个区域,每个区域1个,则来自同一个地区的3位裁判互不相邻的概率为
A .
B .
C .
D .
解析:把这6位裁判随意安排在这6个区域,每个区域1个,
共有
种不同的安排方法,而来自同一个地区的3位裁判互不
相邻的排法有
种,故所求概率为P==
.
答案:A
12.一个箱子中装有9张卡片,分别标有数字1,2,3,…,9,现在有放回地依次抽取3张,然后按抽取的先后顺序依次构成一个三位数,则这个三位数中恰有两个数字重复的概率为
A .
B .
C .
D .
解析:有放回地依次抽取3张卡片,它们构成三位数的所有可能为93
=729个,其中三个数字都不重复的有
=504个,三个
数字都相同的有9个,所以这个三位数中恰有两个数字重复的有729-504-9=216个,故所求概率为
=
.
答案:C
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.(x 3-)4展开式的常数项为 .
解析:展开式的通项为T r+1=(x 3)4-r
(
-)r
=(-1)
r
x
12-4r
,令12-4r=0,得r=3,故常数项为(-1)
3
=-4.
答案:-4
14.春节时,王师傅购买了四种海鲜,打算放到冰箱的三个储鲜箱(每个储鲜箱至少放一种海鲜),但有两种海鲜相克(放在一起会加快食品的腐败),故不能放在一个储鲜箱,则不同的放法有 种.
解析:四种海鲜要有两种放到一个储鲜箱,其余两种海鲜各放一个储鲜箱,
共有
种放法,而相克的海鲜放在一个储鲜
箱,有种放法,故符合条件的放法有-
=36-6=30种.
答案:30
15.在区间[-2,2]内任取一个元素x 0,使抛物线y=x 2在x=x 0处的切线的倾斜角α满足α∈[0,]∪[,π)的概率
为 .
解析:当α∈[0,]∪[
,π)时,斜率k 满足-1≤k ≤1,
又y'=(x 2
)'=2x ,所以-1≤2x 0≤1,
-≤x 0≤,故所求概率P==.
答案:
16.若(2-3x )2014=a 0+a 1x+…+a 2014x 2014(x ∈R ),则++…+= .
解析:令
x=,得0=a 0+
++…+
,
令x=0,得a 0=2
2014
,
从而有++…+=-2
2014
.
答案:-2
2014
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
现有6本不同的书,按下列要求分给甲、乙、丙三位同学,各有多少种不同的分配方法? (1)甲、乙、丙各两本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人一本,一人两本,一人三本; (3)甲、乙、丙三人中,一人四本,另两人各一本.
解析:(1)可分步进行,先分给甲两本,再分给乙两本,最后分给丙两本,共有
=90种不同分法.
3分
(2)先把6本书分成三份,一份一本,一份两本,一份三本,再把这三份分别分给甲、乙、丙三人,共有=360种不同
分法. 7分
(3)先从6本书中选4本分给其中一个人,再把另两本分给另外两个人,共有
=90种不同分法. 10分
18.(本小题满分12分)
在一次交通事故后,有10名献血志愿者的血型如下:
(1)从这10名志愿者中随机抽取3名,求这3人都是A 型血的概率;
(2)若出现事故的患者为A 型血,根据输血原则,该患者只能接受A 型血或O 型血,从这10名志愿者中随机抽取3人,求这3人至少有1人可以为该患者输血的概率.
解析:(1)记“这3人都是A 型血”为事件A ,则有P (A )=
=
. 5分
(2)记“这3人至少有1人可以为该患者输血”为事件B.若这3人均不能为该患者输血,则这3人只能从B 型血和AB 型血
的5人中抽取,故3人均不能为该患者输血的概率P=
=
,
∴P (B )=1-=.
12分
19.(本小题满分12分)
已知(1-2x )7
=a 0+a 1x+a 2x 2
+…+a 7x 7
. (1)求(a 0+a 2+a 4+a 6)2-(a 1+a 3+a 5+a 7)2的值; (2)求
(其中i=1,2,…,7)的最大值.
解析:(1)令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=-1. ① 令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37
, ②
∴(a 0+a 2+a 4+a 6)2-(a 1+a 3+a 5+a 7)2
=[(a 0+a 2+a 4+a 6)+(a 1+a 3+a 5+a 7)][(a 0+a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a 7)]
=(a 0+a 1+a 2+…+a 7)(a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 6-a 7)=-1×37
=-37
.
6分 (2)设第r+1项的系数的绝对值最大.
∵T
r+1=(-2x )r =(-1)
r
2r x r
,
∴解得≤r ≤
,又∵r ∈N ,∴r=5.
故系数的绝对值最大的是第6项,T 6=(-1)
5
25x 5
=-672x 5
,
∴的最大值是=
=672. 12分
20.(本小题满分12分)
盒中有7张纸牌,其中有4张不同的梅花,3张不同的方片.现从盒中抽牌,每次抽取1张,直至抽出所有3张方片为止.
(1)若恰好第4次才抽到第1张方片,第7次才抽到最后1张方片,则不同的抽取方法有多少种? (2)若恰好第4次就抽取到了所有的3张方片,则不同的抽取方法有多少种
?
解析:(1)前3次抽取,只能取梅花,有
种不同的抽取方法,再从3张方片中抽取2张排在第4和第7的位置上,有
种不
同的抽取方法,最后排余下2张牌的抽取位置,有
种不同抽法,所以共有不同的抽取方法
=288种.
6分
(2)第4次抽取恰为最后1张方片,另两张在前3次中出现,从而前3次有1张梅花出现,所以共有不同的抽取方法
=72种. 12分
21.(本小题满分12分) 从集合
中随机取出两个不同的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标,已知圆C :x 2+y 2=12.
(1)求点P 在圆C 内的概率;
(2)若过在圆C 内的点P 的直线l 与圆C 分别交于点M ,N ,当原点到直线l 的距离最大时,在圆C 内随机撒一粒豆子,求豆子落在△MON (O 为原点)内的概率.
解
析
:
点
P
的
坐
标
有
(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,0),(1,2),(1,3),(1,4),(2,0),(2,1),(2,3),(2,4),(3,0),(3,1),(3,2),(3,4),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),共20个.
(1)落在圆C 内的有(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(3,0
),(3,1),共10个,故点P 落在圆C 内的概率P 1==. 5分
(2)当直线l 过P (3,1)或(1,3),且与OP 垂直时,原点到直线l 的距离最大,此时原点O 到直线l 的距离为d=,又圆的半径
为
=2
,故
=2
=2
,
所以△MON 的面积S 1=×2×=2,圆C 的面积S 2=12π,所以豆子落在△MON 内的概率为P 2===. 12
分
22.(本小题满分12分)
将一枚正方体骰子先后掷两次,所得点数分别为m ,n ,函数f (x )=x 3+mx 2+nx+3(x ∈R ).
(1)
若第一次得到的点数m=4,求函数f (x )=x 3+mx 2+nx+3与函数g (x )=3的图象有三个交点的概率; (2)求函数h (x )=f (x )-2nx 在(,+∞)上是增函数的概率.
解析:(1)记“函数f (x )=x 3
+mx 2
+nx+3的图象与函数g (x )=3的图象有三个交点”为事件 A.当m=4时,基本事件有(4,1),(4,2),(4,3),(4,4
),(4,5),(4,6),共6个.
函数f (x )与函数g (x )的图象有三个交点,则方程f (x )-g (x )=0,即方程x 3
+mx 2
+nx=0有三个不同的实数根,又x 3
+mx 2
+nx=0的一个实数根为0,故只要使方程x 2
+mx+n=0有两个不同的实数根(两根显然均不为0)即可,∴Δ=m 2
-n>0,得n<3,∴n=1,2,
故事件A包含(4,1),(4,2),
∴函数f(x)=x3+mx2+nx+3与函数g(x)=3的图象有三个交点的概率P(A)==.6分
(2)记“函数h(x)在(,+∞)上是增函数”为事件B,易知所有的基本事件的个数为6×6=36个.
∵h(x)=f(x)-2nx=x3+mx2-nx+3,
∴h'(x)=x2+mx-n,∴Δ=m2+4n>0,
∴h'(x)=0的两根为x1=,x2=.
∵函数h(x)在(,+∞)上是增函数,∴x2≤,即≤,
整理得2m+1≥4n,事件B所包含的基本事件有(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9个,∴函数h(x)在(,+∞)上是增函数的概率P(B)==.12分。