江苏省连云港市2020-2021学年高二下学期数学期末综合训练卷(四)

高二数学期末综合训练（四）
一、单选题
1．设复数1z 、2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，若12z i =+，则
1
2
z z =（） A ．
3455
i + B ．
3455
-i C ．3455
i -
+ D ．3455
i -
- 2．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另1张也是假钞的概率为（）
A ．
119 B ．
419 C ．217
D ．1738
3．已知6
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为160-，则实数a =（） A ．2
B ．-2
C ．8
D ．-8
4．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（） A ．
325
B ．
15
C ．
310
D ．
35
5．已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间具有线性相关关系，利用下表中
的五组数据求得回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+.根据该回归方程，预测当8x =时，ˆ84.8y
=，则ˆb =（）
A ．9.4
B ．9.5
C ．9.6
D ．9.8
6．“中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R ，球冠的高是h ，
那么球冠的表面积公式为：2S Rh π=）．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（）
A ．60米
B ．100米
C ．130米
D ．160米
7．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+(其中i 为虚数单位)是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中e 是自然对数的底，i 是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．当θπ=时，恒等式10i e π+=更是被数学家们称为“上帝创造的公式”．根据上述材料可知i i e e θ
π
-的最大值为（）
A ．1
B ．2
C D ．4
8．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面,90ABC PA PB AB BAC ===∠=︒，4AC =，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（） A ．20π B ．
643
π
C ．32π
D ．80π
二、多选题
9．下列命题正确的是（）
A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B ．对具有线性相关关系的变量x ､y ，有一组观测数据(),(1,2,,10)i i x y i =，其线性回归方程是ˆ1y bx
=+，且()123101231039x x x x y y y y +++
+=+++
+=，则实数ˆ
b 的值是7
9
-
C ．已知样本数据12,,,n x x x 的方差为4，则12230,230,,230n x x x +++的标准差是4
D ．已知随机变量()21,X
N σ，若(1)0.3P X <-=，则(2)0.7P X <=
10．医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层.根
据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（）
()2~0.94,0.01x N ，（(22)0.954P x μσμσ-<≤+=，(33)0.997P x μσμσ-<≤+=，
1000.99850.86≈）
A ．(0.9)0.5P x ≤<
B ．(0.4)( 1.5)P x P x <<>
C ．(0.96)0.023P x >=
D ．假设生产状态正常，记X 表示抽取的100只口罩中过滤率大于3μσ+的数量，则(1)0.14P X ≥≈ 11．为方便顾客购物，某网上购鞋平台统计了鞋号y （单位：码）与脚长x （单位：毫米）的样本数据(),i i x y ，发现y 与x 具有线性相关关系，用最小二乘法求得回归方程为0.210y x =-，则下列结论中正确的为（） A ．回归直线过样本点的中心()
,x y B ．y 与x 可能具有负的线性相关关系
C ．若某顾客的鞋号是40码，则该顾客的脚长约为250毫米
D ．若某顾客的脚长为262毫米，在“不挤脚”的前提下，应选择42码的鞋
12．一个不透明的口袋内装有4张大小，形状完全相同的卡片，下列说法正确的是（）
A ．若其中红色卡片与蓝色卡片各两张，从中一次性地任意取出2张卡片，则事件“取出的2张卡片都是红色”与“取出的2张卡片都是蓝色”为对立事件
B ．若其中红色卡片与蓝色卡片各两张，从中有放回地取3次，每次取1张，用X 表示取得红色卡片的次数，则()3
28
P X ==
C ．若卡片上分别写有数字0，2，5，5，现甲从中取出一张卡片记录卡片上的数字后便放回，然后乙再从中取出一张卡片，若乙取出的卡片上数字大于甲即可获胜，则在乙获胜的条件下，甲取出的卡片上数字为2的概率为
13
D ．若卡片上分别写有数字0，2，5，5，从中无放回地取3次，每次取1张，用i x ()1,2,3i =表示每次取到的数字，则“123x x x ”恰为数字“520”的概率为112
三、填空题
13．小明给同学发“拼手气”红包，他将1角钱分成三份，每份都是1分钱的正整数倍，若这三个红包分别被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲抢到1分钱的概率为_________.
14．设恒等式()23455
01234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则03a a += ____________． 15．已知复数z 满足221z i +-=，则22z i --的最小值为_________．
16．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为6，侧棱长为6.D ，E 分别为棱1AA ，1BB 上靠近1A ，1B 的三等分点，则三棱锥11A DEC -的体积为______，其外接球的表面积为______. 五、解答题
17．已知()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，且
2012()2311)1)((()n n n x a a x a x a x =+++
+----．
（1）求2a 的值； （2）求123n a a a a +++
+的值；
（3）求(20)20f -被6整除的余数．
18．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，//AB CD ，2DC =，13AA =，
1AB BC AD ===，点E 和F 分别在侧棱1AA 、1CC 上，且
11A E CF ==．
（1）求证：//BC 平面1D EF ；
（2）求直线AD 与平面1D EF 所成角的正弦值．
19．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试
验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为2
3
，
1
,
2
现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒
的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用ξ表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求ξ的分布列和数学期望．
20．如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.
（1）求异面直线P A1与BC所成的角的大小；
（2）求点B1到平面P AC的距离.
21．2021年是“十四五”开局之年，是实施乡村振兴的重要一年.某县为振兴乡村经济，大力发展乡村生态旅游，激发乡村发展活力.该县为了解乡村生态旅游发展情况，现对全县乡村生态旅游进行调研，统计了近9个月来每月到该县乡村生态旅游的外地游客人数y（单位：万人），并绘制成下图所示散点图，其中月份代码1~9分别对应2020年7月至2021年3月.
（1）用模型①y a bx =+，②=+y a b x 分别拟合y 与x 的关系，根据散点图判断，哪个模型的拟合效果最好?（不必说理由）
（2）根据（1）中选择的模型，求y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）据以往数据统计，每位外地游客可为该县带来100元左右的旅游收入，根据（2）中的回归模型，预测2021年10月，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为多少万元?
参考数据：下表中i t =9
1
19i i t t ==∑.
参考公式：对于一组数据()11,t y
，
()22,t y ，…，(),n n t y ，回归方程y a b t =+中的斜率和截距的最小二乘
估计公式分别为()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i t t y y b t
t
==--=
-∑∑，a y bt =-.
22．为了解国内不同年龄段的民众旅游消费基本情况，某旅游网站从其数据库中随机抽取了100条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额如下表：
（1）分别估计年轻人和中老年人的旅游消费的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(精确到0.01)；
（2）把一年旅游消费金额满8千元的称为“高消费”，否则称为“低消费”.
（i）从这些“低消费”客户中随机选一人，估计该客户是年轻人的概率；
（ii）完成22
⨯列联表，并判断能否有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
附临界值表：
高二数学期末综合训练（四）参考答案1．A
【分析】
求得2
2z i =-，利用复数的除法化简可得结果.
【详解】 由题意可得22z i =-，因此，()()()2
12223434222555
i
z i i i z i i i +++====+--+.
故选：A. 2．C 【分析】
利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】
记事件:A 抽到的至少1张钞票是假钞，记事件:B 抽到的2张钞票都是假钞，
则()11251552
20851719038C C C P A C +===，()252201
19
C P AB C ==， 因此，()
()()
1382191717
P AB P B A P A ==
⨯=. 故选：C. 【点睛】
思路点睛：用定义法求条件概率()
P B A 的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算()P A 、()P AB ； （3）代入公式求()
()()
P AB P B A P A =.
3．B 【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：662166r
r r r
r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭
， 取3r =得到常数项为3
3
3
620160C a a ⋅==-，解得2a =-.
故选：B 4．C 【分析】
先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率. 【详解】
甲、乙总的选课方法有：33
55C C ⋅种，
甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412
C C ⋅种，
（先选一门相同的课程有1
5C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2
门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有2
4C 种选法）
所以概率为12
5433553
10
C C P C C ==，
故选：C. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 5．B 【分析】
根据表格中的数据，求得,x y 的值，得到ˆˆ446.8b a +=，再由8x =，得到ˆˆ884.8b a +=，联立方程组，
即可求解. 【详解】
由已知表格中的数据，可得2523456439505664
,46.85
5y x +++++=
=+++==，
所以ˆˆ446.8b a +=，
又由当8x =时，ˆ84.8y =，所以ˆˆ884.8b a +=，解得ˆ9.5b
=. 故选：B . 6．C 【分析】
先求出22
2502h R h
+=，再代入球冠的表面积公式，即可得到答案；
【详解】
由题意得：22
2
2
2
250250()2h R h R R h
++-=⇒=，
2S Rh π=，∴224
25025102130
2h h h h π+⨯=⋅⋅⇒=≈,
故选：C. 7．B 【分析】
根据题意得()i i cos 1isin e e θ
π
θθ-++=，进而根据复数的模的公式并结合三角函数的范围求解即可得答
案. 【详解】
根据cos sin i e i θθθ=+和10i e π+=得()i i cos isin 1cos 1isin e e θ
π
θθθθ-++=+=+，
所以i i e e θπ-=
=
由于[]cos 1,1θ∈-，所以[]
22cos 0,4θ+∈，
所以[]i i 0,2e e θπ-==
所以i i e e θ
π
-的最大值为2.
故选：B 【点睛】
本题考查数学文化，复数的模的计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得
()i i cos 1isin e e θπθθ-++=，进而根据复数的模的公式求解.
8．C 【分析】
取AB 中点E ，过D 作OD ⊥平面ABC ，三棱锥P ABC -的外接球球心在OD 上，设球心为O ，求得球的半径后可得表面积． 【详解】
如图，取AB 中点E ，BC 中点D ，连接PE ，PAB △是等边三角形，则PE AB ⊥
因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又ED ⊂平面ABC ，所以PE ED ⊥，
过D 作OD ⊥平面ABC ，则//OD PE ，
因为90CAB ∠=︒，所以三棱锥P ABC -的外接球的球心在DO 上，设球心为O ，连接,OB OP ，设外接球半径为R ，
由已知3PE ==，BC =BD =OD =
在直角梯形PEDO 中，122ED AC =
=，2222(3R =+，R =
所以球表面积为224432S R πππ==⨯=．
故选：C ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是打到外接球球心，求出球半径．三棱锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上．本题中如果求得R 是负数，说明O 点位置在相反方向，不是说不存在．
9．ABC
【分析】
根据线性相关性判断A ，由中心点坐标求出回归方程系数判断B ，根据线性变换后随机变量间方差关系求得新方差后得标准差判断C ，利用正态分布的对称性求得相应概率后判断D ．
【详解】
两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A 正确；
B 中910x =，310y =，由3911010b =⨯+得79
b =-，B 正确；
样本数据12,,
,n x x x 的方差为4，则数捍12230,230,,230n x x x +++的方差为22416⨯=，标准差为4，C 正确；
随机变量()21,X
N σ，若(1)0.3P X <-=，则(3)(1)0.3P X P X >=<-=，则(3)0.7(2)P x P X <=><，
D 错．
故选：ABC ．
10．ACD
【分析】 利用正态分布的对称性，结合其三段区间概率值即可判断A 、B 、C 的正误，由题设求(3)P x μσ>+、(3)P x μσ≤+，而(1)1(0)P X P X ≥=-=结合二项分布概率公式即可求值，进而判断D 的正误.
【详解】
A ：(0.9)(0.94)0.5P x P x ≤<≤=，正确；
B ：因为(0.4)(0.94)(0.40.94)P x P x P x <=≤-≤≤且( 1.5)(0.38)P x P x >=<，则
( 1.5)(0.94)(0.380.94)P x P x P x >=≤-≤≤，显然(0.4)( 1.5)P x P x <>>，错误；
C ：10.954(0.96)(0.940.02)(2)0.0232
P x P x P x μσ->=>+=>+==，正确； D ：10.997(3)0.00152
P x μσ->+==，则(3)1(3)10.00150.9985P x P x μσμσ≤+=->+=-=，由100(1)1(0)10.998510.860.14P X P X ≥=-==-≈-=.
故选：ACD
11．AC
【分析】
利用回归直线过样本中心点可判断A 选项的正误；利用回归直线的斜率可判断B 选项的正误；将40y =代入回归直线方程可判断C 选项的正误；将262x =代入回归直线方程，可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，回归直线过样本点的中心()
,x y ，A 选项正确；
对于B 选项，y 与x 具备正相关性，B 选项错误；
对于C 选项，在回归直线方程中，令40y =，可得0.21040x -=，可得250x =，C 选项正确； 对于D 选项，在回归直线方程中，令262x =，则0.22621042.4y =⨯-=，
若某顾客的脚长为262毫米，在“不挤脚”的前提下，应选择43码的鞋，D 选项错误.
故选：AC.
12．BD
【分析】
对于A ，“取出的2张卡片都是红色”与“取出的2张卡片都是蓝色”为互斥事件，而不是对立事件，故A 错误；
对于B ，()22
2
31132228P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；
对于C ，在乙获胜的条件下，甲取出的卡片上数字为2的概率为25
，故C 错误； 对于D ，“123x x x ”为“520”的概率为
112
，故D 正确. 【详解】 对于A ，取出的卡片有三种情况：2张都是红色，2张都是蓝色，1张红色1张蓝色，所以“取出的2张卡片都是红色”与“取出的2张卡片都是蓝色”为互斥事件，而不是对立事件，故A 错误；
对于B ，每次取出红色的卡片概率为12，所以()22
231132228P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对于C ，记两个数字为5的卡片分别为5A ，5B ，乙获胜包含的基本事件有()0,2，()0,5A ，()0,5B ，()
2,5A ，()2,5B ，所以在乙获胜的条件下，甲取出的卡片上数字为2的概率为25，故C 错误；
对于D ，从4张卡片中无放回连续取3张卡片，总共有3424A =种情况，而3次所取到的数字依次为“5”“2”“0”情况有2种，所以“123x x x ”为“520”的概率为
112，故D 正确.故选：BD. 【点睛】
方法点睛：求概率常用的方法：先定性（古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率），再定量.
13．29
将题干情景转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空；
【详解】
题干情景可以转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空；
将10个小球排好，有9个空隙，从这9个空隙中选出2个放入挡板可将小球分为3份；
所以，分类方法共有2936C =种；
甲盒有1个小球的情况有：()1,1,8()1,2,7()1,3,6()1,4,5()1,8,1()1,7,2()1,6,3()1,5,4共8种； 所以，概率为82369
=. 故答案为：
29
. 14．79-
【分析】 利用()5
12x -的展开式进行求解即可；
【详解】 ()512x -的展开式为：()152r
r r r T C x +=-； ()0
001521T C x =-=，0a 的对应项为：01a =；
()333345280T C x x =-=-，3a 的对应项为：380a =-； 则有03a a +=79-
故答案为：79-
【点睛】
关键点睛：先得出()512x -的展开式为：()152r
r r r T C x +=-，然后找出0a 和3a 所对应的项；主要考察二项式的定理
15．3
【分析】 可得221z i +-=表示复数z 对应的点在以()2,2-为圆心，1为半径的圆上，22z i --的最小值即为复数z 对应的点到()2,2的距离的最小值.
由()22221z i z i +-=--+=可得复数z 对应的点在以()2,2-为圆心，1为半径的圆上，
()2222z i z i --=-+表示复数z 对应的点到()2,2的距离，
点()2,2-到点()2,24=， 则22z i --的最小值413-=.
故答案为：3.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是正确理解复数的几何意义，判断出221z i +-=表示复数z 对应的点在以()2,2-为圆心，1为半径的圆上.
16．52π
【分析】
根据题意得到三棱锥11A DEC -的外接球也是四棱锥111C A DEB -的外接球，分别取11A B ，1A E 的中点1F ，F ，连接11C F ，1FF ，作111A B C △的重心1O ，过1O 在平面a 内作1FF 的平行线，过F 作11C F 的平行线，得到两条平行线交于点O 为三棱锥11A DEC -的外接球的球心，结合三棱锥的体积公式和球的表面积公式，即可求解.
【详解】
因为1A ，D ，E ，1B 四点共圆，所以1B 在三棱锥11A DEC -的外接球上，
即三棱锥11A DEC -的外接球也是四棱锥111C A DEB -的外接球，
分别取11A B ，1A E 的中点1F ，F ，连接11C F ，1FF .
设过11C F ，1FF 的平面为a ，则a ⊥平面111A B C ，a ⊥平面11A DEB ，
作111A B C △的重心1O ，过1O 在平面a 内作1FF 的平行线，
过F 作11C F 的平行线，两条平行线交于点O ，则O 为三棱锥11A DEC -的外接球的球心.
因为116A B =，12A D =，可得111FF OO ==，11O F =11C O =
所以1R OC ==
所以1111112632
A DEC A A DE V V --⨯⨯⨯⨯===三棱锥三棱锥 三棱锥11A DEC -的外接球的表面积为24R π52π=.
故答案为：52π.
【点睛】
解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.
17．(1)144-，（2）2，（3）5
【分析】
（1）根据二项式定理，由()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，可求出9n =，再将9n =代入(23)n x -中，变形可得9[2(1)1]x --，则2a 为其展开式中2(1)x -的系数，由二项式定理可得答案； （2）由（1）的结论，用赋值法，在9920129(23111)()()()x a a x a x a x ---++
+-=+中令1x =，可求得0a 的值，令2x =，可得012n a a a a ++++的值，从而可得答案；
（3）根据题意，可得9(20)203720f -=-，变形可得9(20)20(361)20f -=+-，由二项式定理展开式
可得09182789999(20)203636363619f C C C C -=+++⋅⋅⋅+-，进而由整除的性质分析可得答案
【详解】
解：（1）因为()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，
所以2512n =，解得9n =，
因为99(23)[2(1)1]x x -=--，所以722792(1)144a C =-=-，
（2）在9920129(23111)()()()x a a x a x a x ---++
+-=+中，令1x =，则90(213)1a =⨯-=-， 令2x =，可得01201299(223)1n a a a a a a a a +++
+=++++=⨯-=， 所以120129031(1)2n a a a a a a a a a +++++++=-=--+=
（3）9(20)20(361)20f -=+-
09182789999993636363620C C C C C =+++⋅⋅⋅++-，
091827899993636363619C C C C =+++⋅⋅⋅+-，
因为（0918278999936363636C C C C +++⋅⋅⋅+）能被6整除，而19(4)65-=-⨯+，即19-被6整除余数为5，
所以(20)20f -被6整除的余数为5
【点睛】
易错点睛：此题考查二项定理的运用，易错点为在（3）中，对19-求余数，根据19(4)65-=-⨯+，即19-被6整除余数为5，考查计算能力，属于中档题
18．（1）证明见解析；（2. 【分析】
（1）分别取1D F 、CD 的中点N 、M ，证明四边形AENM 、ABCM 为平行四边形，可得出//EN AM ，//AM BC ，利用平行线的传递性结合线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，平面ABCD 内垂直于AB 的直线为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线AD 与平面1D EF 所成角的正弦值.
【详解】
（1）分别取1D F 、CD 的中点N 、M ，连接AM 、MN 、EN ，如图所示： M 、N 分别为CD 、1D F 的中点，则MN 为梯形1CFD D 的中位线，
所以，11////MN CC DD ，且有()11122
MN CC DD =+=， 11A E =，11//AA DD ，所以，2AE MN ==，且//AE MN ，
所以，四边形AENM 为平行四边形，故//EN AM ， M 为CD 的中点，则12
CM CD AB ==，因为//AB CD ，则//CM AB ， 所以，四边形ABCM 为平行四边形，则//AM BC ，故//BC EN ，
BC ⊄平面1D EF ，EN ⊂平面1D EF ，因此，//BC 平面1D EF ；
（2）以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，平面ABCD 内垂直于AB 的直线为y 轴，1AA 为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()0,0,0A 、1,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、11,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、()0,0,2E 、322F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
设平面1D EF 的法向量为(),,m x y z =，12AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11,12D E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，()12,0,2D F =-，
由1100m D E m D F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，可得102220x y z x z ⎧--=⎪⎨⎪-=⎩
，令x =
(3,m =-，
cos ,7
AD m
AD m AD m ⋅-<
>===⋅ 因此，直线AD 与平面1D EF . 【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h l
θ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.
19．（1）
49；（2）分布列见解析；期望为43
． 【分析】 （1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（2）首先判断随机变量ξ服从二项分布，再求其分布列和均值.
【详解】
解（1）设i A 表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数i 人”，0,1,2i =， i B 表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有i 人”，0,1,2i =
依题意有
()()121242339,224339,
P A P A =⨯⨯==⨯=
()()01111224,1112222,
P B P B =⨯==⨯⨯= 所求的概率为
()()()
01021214141444949299
P P B A P B A P B A =++=⨯+⨯+⨯= （2）ξ的可能值为0,1,2,3，且43,9B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()030
3441250199729
P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()213441001199243
P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2
2
344802199243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()30
3344643199729P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ξ的分布列为
数学期望()8064401237292432437293
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（1）；（2）11
. 【分析】 （1）以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线1PA 与BC 所成的角的大小即可
（2）求出平面PAC 的法向量，利用向量法求出点1B 到平面PAC 的距离
【详解】
（1）根据题意可得OP ⊥平面ABC , C 是弧AB 的中点,则OC AB ⊥
则以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图
则()0,0,4P ，()10,1
,2A -，()0,1,0B ，()1,0,0,C ， ()10,1,2PA =--，()1,1,0BC =-，
111cos ,||||5PA
BC PA BC PA BC ⋅<>==⋅ ∴异面直线1PA 与BC 所成的角的大小为arccos 10
． （2）()10,1,2B ，()0,10A --，()10,1,2PB =-，()0,1,4PA =--，()1,0,4PC =-，
设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，则4040n PA y z n PC x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩
，取1z =，得
()4,4,1n =-， ∴点1B 到平面PAC 的距离为：1||6
||33PB n d n ⋅=
= 【点睛】
方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值
5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.
21．（1）模型
②y a =+（2
）10.20y =+（3）3400万元.
【分析】
（1）观察点的趋势，得应用含二次根式的函数较好；
（2）根据提供的数据计算出回归方程的系数可得回归方程；
（3）16x =代入（2）中回归方程可得估计值．
【详解】
（1）模型
②y a =+. （2
）令t =
y 与t 可用线性方ˆˆy a
bt =+拟合，则 ()()()91
92121.31ˆ 5.9533.58
i i
i i
i t t y y b t t ==--==≈-∑∑，23 5.953ˆˆ 2.1510.20a y bt =-=-⨯≈， 所以，y 关于t 的线性回归方程为10.20 5.95y t =+，
故y 关于x
的回归方程为10.20y =+（3）2021年10月，即16x =
时，10.20 5.9534y =+=（万人），
此时，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为3400万元.
22．（1）年轻人旅游消费的平均数为：4.55(千元)，中老年人旅游消费的平均数为：6.43(千元)；（2）（i ）715
；（ii ）列联表答案见解析，有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关. 【分析】
（1）根据平均数公式，结合表中数据，计算即可得答案.
（2）（i ）求得样本中“低消费”总的客户数，再求得“低消费”的年轻人数，代入公式，即可得答案. （ii ）根据题中数据，完成列联表，代入公式，即可求得2K 值，查表即可得答案.
【详解】
解：（1）由表格可知，年轻人旅游消费的平均数为：
9109732
1357911 4.55 404040404040
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(千元).
中老年人旅游消费的平均数为：
591313119
1357911 6.43 606060606060
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈(千元). （2）（i）由表格可知，样本中“低消费”总客户数为10052075
--=，其中“低消费”的年轻人有9109735
+++=人.
所以随机选一人该客户是年轻人的概率为357 7515
=.
（ii）22
⨯列联表如下：
因为
()2
2
1002035540
5.556 5.024
25754060
K
⨯⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
，
所以有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.。