中点模型地构造、等积模型

几何综合题型一：中点模型的构造中点模型①中线（点）：倍长（类）中线 ②两中点：中位线③等腰三角形底边中点：三线合一④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半⇒构造两等腰 ⑤中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线．典题精练【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 的中点，过点C 作AB 的垂线交AB 于点E ，若∠EMD = 3∠MEA ．求证：BC =2AB ．DCBA E M【解析】证法一：如右图（a ），延长EM 交CD 的长线于点E '，连结CM∵AB ∥CD ，∴∠ME'D =∠MEA ．又AM = DM ，∠AME =∠DME' ∴△AFM ≌△DE M '． ∴EM =E M '∵AB ∥CD ，CE ⊥AB ， ∴EC ⊥CD ．∴CM 是Rt △ECE '斜边EE '的中线， ∴ME '=MC ． ∴ME D E CM '='，∴∠EMC = 2ME D ∠'= 2∠AEM ． ∵∠EMD =3∠MEA ， ∴∠CMD =∠DCM ， ∴MD = CD ．∵AD = 2DM ，AB = CD ，AD = BC ， ∴BC = 2AB ． 证法二：如右图(b )，过点M 作MM AB '∥交BC 于M '，过点M '作M E ME ''∥交AB 的延长线于点E '，连接EM '．∴点M '是BC '的中点，EE AB '=，E BM EAM ∠''=∠，M E B M EA ''=∠，M MD EAM E BM '=∠=∠''∵点M '是Rt △EBC 斜边BC 的中点， ∴M E BM '='，∴BEM M BE ∠'=∠'． ∴180E BM BEM ∠''=︒-∠'．∵∠EMD = 3∠MEA ，∴2M MD MEA ∠'=∠， ∴2E BM M E B ∠''=∠'' ∴1802BEM M E B ︒-∠'=∠''，1902M E B BEM ∠''=︒-∠'．∴E EM E ∠=∠''．∴EM EE '=',∴BM AB '=．∴BC = 2AB ．【例2】 如图所示，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，点M 为BC 中点，⑴ 求证：AM ⊥EG ；⑵ 求证：EG = 2AM ．(a )E’M E A BD(b )M’E’ME AB CDGF E DCAM【解析】⑴ 如图所示，延长AM 到N ，使MN = AM ,延长MA 交EG 于点P ，连接BN 、NC ．∵BM = CM ，∴四边形ABNC 是平行四边形． ∴BN = AC = AG ． ∵∠EAG +∠BAC = 180︒， ∠ABN +∠BAC = 180︒， ∴∠EAG =∠ABN ． ∵AE = AB ，∴△EAG ≌△ABN ．∴∠AEG =∠BAN ． 又∵∠EAB = 90︒， ∴∠EAP +∠BAN = 90︒． ∴∠AEP +∠EAP = 90︒． ∴MA ⊥EG ．⑵ 证明：∵△EAG ≌△ABN ，∴EG = AN = 2AM ．题型二：平移及等积变换典题精练【例3】 已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H ．⑴ 求证：FG = DE ．⑵ 求证：FD + BG．NP M ABC DEFGHG FE D C B APA B C DEFG H【解析】延长GC 到点P ，使得GP = DF ，连接EP ，DP ．⑴ ∵DF ∥GP ，GP = DF ∴四边形DFGP 为平行四边形 ∴FG = DP ，FG ∥DP 又∵FG ⊥DE ，∴DP ⊥DE ∴∠ADE =∠CDP 在△ADE 和△CDP 中 DAE DCP DA DCADE CDP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CDP ∴DE = DP = FG⑵ 由⑴知道△DEP 为等腰直角三角形∴EP ==在△EGP 中，EG + DF = EG + GP ≥PE= FG当EG ∥FD 时，取到等号【例4】 如下图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若△PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？D【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右图，连接CP 、AP ．可得：12BCP ADP S S ABCD +=△△12ABP BDP ADP ABCD S S S S ++=△△△所以BCD ABP BDP S S S -=△△△而12BCP BCFE S S =△，12ABP ABHG S S =△，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S -=-==△△△(平方分米)．题型三：旋转典题精练【例5】 已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM .⑴ 如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为 ．⑵ 如图②，点D 不在AB 上，⑴中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．图1NMED CB图2M DCBE【解析】⑴ BD⑵ 结论成立，证明：连接DM ，过点C 作CF ∥ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，可证得△MDE ≌△MFC , ∴DM = FM ，DE = FC ， ∴AD = ED = FC ， 作AN ⊥EC 于点N ，由已知∠ADE =90°，∠ABC =90°， 可证得∠1 =∠2，∠3 =∠4， ∵CF ∥ED ， ∴∠1 =∠FCM ，∴∠BCF =∠4 +∠FCM = ∠3 +∠1 =∠3 +∠2 =∠BAD . ∴△BCF ≌△BAD ,GDFCEBA∴BF = BD ，∠5 =∠6，∴∠DBF =∠5 +∠ABF =∠6 +∠ABF =∠ABC = 90°， ∴△DBF 是等腰三角形， ∵点M 是DF 的中点， 则△BMD 是等腰三角形， ∴BD【例6】 已知正方形ABCD ，在BC 边上取一点E ，作EF AE ⊥交BCD ∠的外角平分线于F ，求证：AE EF =．【解析】 法一：如图，连接AC ，过E 作EG BC ⊥，交AC 于G ．∵90AEG GEF ∠=︒-∠，90FEC GEF ∠=︒-∠， ∴AEG FEC ∠=∠．又∵GEC △为等腰直角三角形，∴GE CE =．又9045135ECF ∠=︒+︒=︒，18045135EGA ∠=︒-︒=︒， ∴ECF EGA ∠=∠，∴AEG FEC △≌△，故AE EF =．法二：如图，过E 作EG BC ⊥，交FC 的延长线于G ，连接AC ， 则45ECG DCF ∠=∠=︒， ∴45EGF ∠=︒，∴EG EC =． 而45ACE ∠=︒，∴EGF ECA ∠=∠．又90FEG FEC ∠=︒+∠，90AEC FEC ∠=︒+∠， ∴FEG AEC ∠=∠，有EFG EAC △≌△， ∴AE EF =．法三：在AB 上截取BN =BE ，证明ANE ECF △≌△即可；GDFCEBADFCEBA思维拓展训练(选讲)训练1. 如图所示 ，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = BC ，AC 与BD交于点O ，∠AOB =60︒，P 、Q 、R 分别是OA 、OB 、OC 的中点，求证：△PQR 是正三角形．DCB AR Q P O【解析】证明：如右图，连接BP 、CR ．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AD = BC ，OA = OB ，OC = OD ． ∵∠AOB = 60°，∴△AOB 、△COD 都是正三角形． ∵P 是OA 的中点，R 是OD 的中点， ∴BP ⊥OA ，CR ⊥OD ． ∵PR 是△ODA 的中位线，∴PR = 1122AD BC =．∴PR = PQ = QR ． ∴△PQR 是正三角形．训练2. 如图⑴，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠．OPQ R ABCD请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．4321HGE F (1)(2)A BCDP5678【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们．．．．．发现，若．．．．1∠和．2∠，位置为．．．．时可得出．．．．3∠和．4∠相等．．（．本质为四点共圆．．．．．．．）．．图⑵中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．【解析】分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥ ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形 ∴PD CK = ∵AD BC = ∴ADP △≌BCK △ ∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠ ∴BPK BCK ∠=∠ ∴78∠=∠A BCDP 5678K(∠5,∠6不动移)A BCDP 5678K(∠5,∠6不动移)ABC D P5678K(∠5不动移∠6)（∠5不动移∠6） （∠5，∠6不移动） （∠5，∠6不移动）(∠6不动移∠5)K8765P DCB A训练3. 已知：在△ABC 中，BC = a ，AC = b ，以AB 为边作等边三角形ABD ．探究下列问题：⑴ 如图(a )，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a = b = 3，且∠ACB =60°，则CD = ________；⑵ 如图(b )，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a = b = 6，且∠ACB =90°，则CD = ________；⑶ 如图(c )，当∠ACB 变化，且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数．(a )DC BA(b )DCBA(c )ABCD【解析】⑴⑵⑶ 如图（d ），以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E ，连接AE 、CE 、DE ． ∴CD = ED ，∠CDE = 60°． ∴△CDE 为等边三角形． ∴CE = CD ．当点E 、A 、C 不在一条直线上时，有CD = CE < AE + AC = a + b ； 如图(e ),当点E 、A 、C 在一条直线上时，CD 有最大值，CD = CE = a + b ； 此时∠CED =∠BCD =∠ECD =60°，∴∠ACB =120°． 因此当∠ACB =120°时，CD 有最大值是a + b ．ED CBA(d )(e )ECBA。