高考理科数学第一轮复习 第九章 平面解析几何(课件)9.5

(2)(2018·郑州模拟)已知长为 1＋ 2的线段 AB 的 两个端点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上滑动，P 是 AB 上一
点，且A→P＝ 22P→B，则点 P 的轨迹方程为______________．
解：设 A(x0，0)，B(0，y0)，P(x，y)， 则A→P＝(x－x0，y)，P→B＝(－x，y0－y)，
()
A
B
C
D
解：y2＝x2 等价于 y＝±x．故选 C．
“点 M 在曲线 y2＝4x 上”是“点 M 的坐标满足方程 2 x＋y＝0”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
解：当点 M 的坐标满足方程 2 x＋y＝0 时，将 2 x＋y
＝0 变形得 y2＝4x，即点 M 在曲线 y2＝4x 上．反之未必成
简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了 直角坐标系，则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需
注意检验方程的纯粹性和完备性，即“去杂”．
(1)(2018·大同模拟)与 y 轴相切并与圆 C：x2＋y2－6x＝0 也相外切的圆的圆心的轨迹方程为
______________．
解：x2＋y2－6x＝0 可化为(x－3)2＋y2＝9，即圆 C 是以(3，
据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．②理解解析几 何中有关曲线的定义是解题关键．③利用定义法求轨迹
方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲 线、抛物线等，如果不是完整的曲线，则应其中的变
量 x 或 y 进行限制．
已知两个定圆 O1 和 O2，它们的半径分别是
1 和 2，且|O1O2|＝4．动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外
的轨迹方程的方法叫几何法．几何法通过挖掘图形的
几何属性，联想有关的定义和性质，建立适当的等量 关系，开阔了思维视野，提高了解题的灵活性，简化
了思维过程，减少了计算量．
(2016·河南郑州一模)如图，△PAB 所在的平面 α 和四边形 ABCD 所在的平面 β 互相垂直，且 AD⊥α，BC⊥ α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若 tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10， 则点 P 在平面 α 内的轨迹是( )
(5)说明以化简后的方程的________为坐标的________都在曲线
上．
注：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，
另外，也可以根据情况省略步骤(2)．
3．求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 f(x，y)＝0．也就是：建 系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明．
O→M·P→M＝0，则点 P 的轨迹方程为______________．
解：设 P(x，y)，则O→M·P→M＝(1， 3)·(1－x， 3－y)＝1－x
＋3－ 3y＝0，即点 P 的轨迹方程为 x＋ 3y－4＝0． 故填 x＋ 3y－4＝0．
类型一 已知方程判断曲线
|y|－1＝ 1－（x－1）2表示的曲线是
因为A→P＝ 22P→B， 所以 x－x0＝－ 22x，y＝ 22(y0－y)， 得 x0＝(1＋ 22)x，y0＝(1＋ 2)y． 因为|AB|＝1＋ 2，即 x20＋y20＝(1＋ 2)2， 所以[(1＋ 22)x]2＋[(1＋ 2)y]2＝(1＋ 2)2， 化简得x22＋y2＝1． 所以点 P 的轨迹方程为x22＋y2＝1． 故填x22＋y2＝1．
立，例：点 M(4，4)在曲线 y2＝4x 上，但其坐标不满足方程
2 x＋y＝0．故选 B．
已知 M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点 P
的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线左支
C．一条射线
D．双曲线右支
解：由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以 A，B，D 不正确， 动点 P 的轨迹应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射
x－3－1＝
0，即 2x＋3y－1＝0(x≥3)或 x＝4，故原方程表示的曲
线是一条直线和一条射线．故选 D．
类型二 直接法求轨迹方程
已知动点 P(x，y)与两定点 M(－1，0)，N(1，0)连
线的斜率之积等于常数 λ(λ≠0)．
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(2)试根据 λ 的取值情况讨论轨迹 C 的形状．
由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO2|＝r＋2．所以|MO2|－|MO1|＝3<|O1O2|． 所以点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支．
所以 a＝32，c＝2，所以 b2＝c2－a2＝74．
所以点 M 的轨迹方程为49x2－47y2＝1x≤－23．
由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长 半轴长为 2 的椭圆(左顶点除外)，则 a＝2，c＝1，故 b2＝a2－
c2＝3．所以 C 的方程为x42＋y32＝1(x≠－2)．故填x42＋y32＝1(x≠
－2)．
点 拨： ①求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关 系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根
为曲线 C，则 C 的方程为___________．
解：由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1；圆
N 的圆心为 N(1，0)，半径 r2＝3．设圆 P 的圆心为 P(x，y)， 半径为 R．
因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2．
1(y≤－1)两个半圆．故选 D．
点 拨： 化简曲线方程时要注意等价性，每一步都需等 价转化，对含有绝对值的式子须进行分类讨论，且
分类要彻底，最后再综合起来分析．
方程(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0 表示 的曲线是 ( )
A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线
解：原方程可化为2x＋3y－1＝0，或 x－3≥0
()
A．抛物线
B．一个圆
C．两个圆
D．两个半圆
解：原方程|y|－1＝ 1－（x－1）2等价于
|1（y－|－|y（|1－≥x1－0），12）＝21≥－0（，x－1）2，得y（≥x1－，1）2＋（y－1）2＝1或
y≤－1，
（x－1）2＋（y＋1）2＝1．
所以原方程表示 (x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)和(x－1)2＋(y＋1)2＝
所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BE|＝8－2＝6<|AB|＝10．
根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双
曲线的右支，其方程为x92－1y62 ＝1(x>3)． 故填x92－1y62 ＝1(x>3)．
点 拨： 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质， 发现动点运动规律和动点满足的条件，从而得出动点
②当－1＜λ＜0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 (除去长轴的两个端点)；
③当 λ＝－1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆，除去
点(－1，0)，(1，0)．
④当 λ＜－1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆(除
去短轴的两个端点)．
点 拨： 直接法求曲线的轨迹方程时，建立适当的坐标系非常重
A．圆的一部分 C．双曲线的一部分
B．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
解：由题意知APAD＋2×BPCB＝10，则 PA＋PB＝40>AB
＝6，又因为 P，A，B 三点不共线，故点 P 的轨迹是以
A，B 为焦点的椭圆的一部分．故选 B．
类型四 定义法求轨迹方程
已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2 ＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹
解：(1)由题意可知，直线 PM 与 PN 的斜率均存在且均不为零，
所以 kPM·kPN＝x＋y 1·x－y 1＝λ，整理得 x2－λy2 ＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－λy2 ＝1(λ≠0，x≠±1)．
(2)①当 λ＞0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 (除去顶点)；
已知曲线得到要求的轨迹方程．
(5)交轨法：动点 P(x，y)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常
是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程．
(6)参数法：当动点 P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将 x，y
均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程 f(x，y)＝0．
• 9.5 曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方 程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：
(1)____________________________________． (2)____________________________________．
(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的
定义直接写出动点的轨迹方程．
(3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由
条件确定其待定系数．
(4)相关点法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并 且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，首先用 x，y 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入
切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并
说明轨迹是何种曲线．
解：如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴建立
平面直角坐标系． 由|O1O2|＝4，得 O1(－2，0)、O2(2，0)．设动圆 M 的半径为 r，
则由动圆 M 与圆 O1 内切，有|MO1|＝r－1；
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方
程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤
(1) 建 立 适 当 的 __________ ， 用 有 序 实 数 对 (x ， y) 表 示 曲 线 上
____________M 的坐标． (2)写出____________的点 M 的集合：P＝{M|p(M)}． (3)用__________表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0． (4)化方程 f(x，y)＝0 为____________形式．
(4)、(5)两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是
隐性式的参数方程．
自查自纠：
1．(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
2．(1)坐标系 任意一点 (2)适合条件 p
(3)坐标 (4)最简 (5)解 点
方程 x2－y2＝0 表示的曲线是
线．故选 C．
已知 M(－2，0)，N(2，0)，则以 MN 为斜边的 直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是
______________．
解：连接 OP，则|OP|＝2，所以点 P 的轨迹是去掉
M，N 两点的圆，所以方程为 x2＋y2＝4(x≠±2)．故填 x2 ＋y2＝4(x≠±2)．
已 知圆 x2＋ y2 ＝4 上一点 M(1， 3 ) 满 足
要．建立适当的直角坐标系一般应遵循两原则：①对称性原
则：坐标轴为曲线的对称轴，坐标原点为曲线的对称中心； ②过原点原则：在优先满足①的情形下，尽量让曲线经过原
点，这样方程可减少一个常数项．直接法求曲线方程时最关
键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻
译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化
类型三 几何法求轨迹方程
(2016·长沙模拟)△ABC 的顶点 A(－5，0)， B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C
的轨迹方程是____________．
解：如图，令内切圆与三边的切点分别为 D，E，F，
可知|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
0)为圆心，3 为半径的圆．
当动圆在 y 轴右侧时，动圆圆心 P 到圆心 C(3，0)的距离等 于点 P 到定直线 x＝－3 的距离，所以 P 点的轨迹是以(3，0)为
焦点的抛物线．其方程为 y2＝12x(x＞0)．
当动圆在 y 轴左侧时，其圆心在 x 轴的负半轴上，其方程
为 y＝0(x＜0)． 故填 y2＝12x(x＞0)或 y＝0(x＜0)．