全等难题——倍长中线法

第二讲
全等三角形与
中点问题
中考要求
知识点睛
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
版块一 倍长中线
【例1】 (2002年通化市中考题)在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是
什么？
【补充】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1
()2
AM AB AC <+．
M
C
B
A
【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的
中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．
重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法
重、难点
例题精讲
D
F
E
C
B
A
【例3】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，
E 分别是AD 及其延长线上的点，C
F BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．
F
E
D
C
B
A
【例4】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．
G
F
E
D
C
B
A
【例5】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，
求证：AC BE =．
F
E
D
C B
A
【例6】 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB AB
''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．
E
D
C
A
B
B'
A'
C'
D'
E'
【例7】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF
于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．
F G
E D
C
B
A
【例8】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：
BE CF EF +>．
F
E A
B D C
【例9】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以
线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
F E
D
C
B
A
【例10】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证
()2221
4
AD AB AC =+．
N
M
D
C
B
A
【例10】(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC
∆中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90
DFE
∠=︒．若3
AD=，4
BE=，则线段DE的长度为_________．
【例11】如图所示，90
BAC DAE
∠=∠=︒，M是BE的中点，AB AC
=，AD AE
=，求证AM CD
⊥．
M
E C
B
A 版块二、中位线的应用
【例12】AD是ABC
∆的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：
1
3
AE AC
=．
F
A D
E C
B
【例13】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，
求证2CD EC =．
E
D
C
B A
【例14】 已知：ABCD 是凸四边形，且AC <BD ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD
于N ，AC 和BD 交于G 点． 求证：∠GMN >∠GNM ．
H
A
B
G N
M F
E
D
C B
A
【例15】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1
2
AC BC =
，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．
E
D
C
B
A
【例16】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．
E
D
F
C
B
A
【例17】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC ∆内的一点，
PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证D M D L =．
L
P
M
D C
B
A
【例18】(全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC
∆中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE DF
=．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：
(1) DEM FDN
∆∆
≌；
(2) PAE PBF
∠=∠．
P F
E
D
C
B A
【例19】已知，如图四边形ABCD中，AD BC
=，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长线分别交于M、N两点．求证：AME BNE
∠=∠．
A
C D
M
F
E
N
B
【例20】(2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在ABC
∆中，BC AC
>，动点D绕ABC
∆的顶点A逆时针旋转，且AD BC
=，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．
F
图3
图2
图1
F N M
D
C
E B A
N
M
D
C
E B
A
H
F (N )D
M C E B
A
⑴ 如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、
HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE ∠=∠(不需证明)．
⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．
【例21】 如图，AE ⊥AB ，BC ⊥CD ，且AE =AB ，BC =CD ，F 为DE 的中点，FM ⊥AC ．证明：FM =
1
2
AC ． H
A
E
M
F
E
D
C B
A
【例22】 (1991年泉州市初二数学双基赛题)已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形
ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN
N
M
P
B
A
【习题1】 如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．
求证：EDB FDC ∠=∠．
D
F
E
C
B
A
【习题2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于
F ，AF 与EF 相等吗？为什么？
F
E
D C
B
A
【习题3】 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．
家庭作业
【备选1】如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ．
求证：∠E =∠F
【备选2】如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与
AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．
A
B
C
D
E F
月测备选。