中考数学常考易错点：3-1《平面直角坐标系及函数的图象》

平面直角坐标系及函数的图象
易错清单
1.能确定较复杂函数的自变量取值范围吗?
【例1】(2014·山东济宁)函数中的自变量x的取值范围是().
A. x≥0
B. x≠-1
C. x>0
D. x≥0且x≠-1
【解析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围.
【答案】根据题意,得x≥0且x+1≠0,
解得x≥0.
故选A.
【误区纠错】本题考查了自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
2.能利用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律.
【例2】(2014·山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点,B(0,4),则点B2014的横坐标为.
【解析】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.
【答案】∵,BO=4,
故答案为10070.
【误区纠错】此题主要考查了点的坐标以及图形变化类,根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键.由特殊总结一般性.
3.借助函数图象描述问题中两个变量之间的关系.
【例3】(2014·山东烟台)如图,点P是ABCD边上一动点,沿A→D→C→B的路径移动,设P 点经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是().
【解析】分三段来考虑点P沿A→D运动,△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动,△BAP 的面积不变;点P沿C→B的路径移动,△BAP的面积逐渐减小,据此选择即可.
【答案】点P沿A→D运动,△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动,△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动,△BAP的面积逐渐减小.故选A.
【误区纠错】本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑.
名师点拨
1.会画出直角坐标系,能标识点在平面直角坐标系的位置.
2.能根据点的坐标的正、负性确定点的对称性及所在象限.
3.理解函数的意义,会解释并区分常量与变量,能列简单的函数关系,会进行描点法画函数的图象.
4.能列举函数的三种表示方法.
5.会求出函数中自变量的取值范围,如保证分母不为零,使二次根式有意义等.
6.能利用代入法求函数的值.
7.能利用函数变化规律进行准确猜想、判断.
提分策略
1.函数的概念及函数自变量的取值范围.
函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数关系式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数关系式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数关系式是二次根式时,被开方数为非负数.此题就是第三种情形,考虑被开方数必须大于等于0.
【解析】根据二次根式的意义,被开方数不能为负数,据此求解.
【答案】 C
2.函数解析式的求法.
具体地说求函数的解析式和列一元一次方程解实际问题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示所求问题含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式.
【例2】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择:
方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为4元;
方案二:由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元,每加工一个纸箱还需成本费2.4元.
(1)若需要这种规格的纸箱x个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2(元)关于x(个)的函数关系式;
(2)假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由.
【答案】(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用y1=4x.
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用y2=2.4x+16000.
(2)y2-y1=(2.4x+16000)-4x=16000-1.6x,
由y1=y2,得16 000-1.6x=0,
解得x=10000.
∴当x<10000时,y1<y2.
选择方案一,从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.
∴当x>10000时,y1>y2.
选择方案二,蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.
∴当x=10000时,y1=y2.
两种方案都可以,两种方案所需的费用相同.
3.坐标系中的图形的平移与旋转.
求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标,一般要把握三点:一是根据图形变换的性质,二是利用图形的全等关系;三是确定变换前后点所在的象限.
【例3】在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着x轴翻折,再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图,已知等边三角形ABC的顶点B,C的坐标分别是(-1,-1),(-3,-1),把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A'B'C',则点A的对应点A'的坐标是.
4.运用函数的图象特征解决问题.
(1)由函数图象的定义可知图象上任意一点P(x,y)中的坐标值x,y是解析式方程的一个解,反之,以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图形上.
(2)注意方程与函数的结合,抓住“方程(方程的解)——点的坐标——函数图象与性质”这个网,结合数学知识,用数形结合法来解题.
【例4】小刚上午7:30从家里出发步行上学,途经少年宫时走了1200步,用时10分钟,到达学校的时间是7:55.为了估测路程等有关数据,小刚特意在学校的田径跑道上,按上学的步行速度,走完100米用了150步.
(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分?小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米?
(2)下午4:00,小刚从学校出发,以45米/分的速度行走,按上学时的原路回家,在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后,赶紧以110米/分的速度回家,中途没有再停留.问:
①小刚到家的时间是下午几时?
②小刚回家过程中,离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图,请写出点B的坐标,并求出线段CD所在直线的函数解析式.
②小刚从学校出发,以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米,用时分,此时小刚离家1100米,所以点B的坐标是(20,1100).
点C的坐标是(50,1100),点D的坐标是(60,0),
设线段CD所在直线的函数解析式是s=kt+b,将点C,D的坐标代入,得
所以线段CD所在直线的函数解析式是s=-110t+6600.
5.分段函数的应用
自变量在不同的范围内取值时,函数y和x有不同的对应关系,这种函数称为分段函数,解决分段函数的有关问题时,关键是弄清自变量的取值范围,选择适合的解析式解决问题.
【例5】如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线B→C→D作匀速运动,那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是().
【答案】 B
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一、选择题
1. (2014·四川中江县一模)已知点A(a,1)与点A'(-5,b)是关于原点O的对称点,则a+b的值为().
A. 1
B. 5
C. 6
D. 4
2.(2014·深圳模拟)已知点A(a+2,a-1)在平面直角坐标系的第四象限内,则α的取值范围为().
A. -2<a<1
B. -2≤a≤1
C. -1<a<1
D. -1≤a≤2
3.(2014·宁夏银川外国语学校模拟)已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是().
4.(2014·内蒙古赤峰模拟)小芳的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步行走到离家较远的公园,打了一会儿太极拳,然后沿原路跑步回到家里.下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系的大致图象是().
5. (2013·广东佛山模拟)在直角坐标系xOy中,点P(4,y)在第四象限内,且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2,则y的值是().
A. 2
B. 8
C. -2
D. -8
6.(2013·湖北宜昌调研)在正方形ABCD中,点P从点C出发沿着正方形的边依次经过点D,A 向终点B运动,运动的路程为x(cm),△PBC的面积为y(cm2),y随x变化的图象可能是().
7.(2013·河南南阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA,OB,使OA=OB;再分别以点A,B为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧交于点C.若点C的坐标为(m-1,2n),则m与n的关系为().
(第7题)
A. m+2n=1
B. m-2n=1
C. 2n-m=1
D. n-2m=1
二、填空题
8. (2014·广西玉林模拟)在平面直角坐标系中,点(0,2)到x轴的距离是.
9. (2014·甘肃天水模拟)函数中,自变量x的取值范围
10. (2014·四川达州模拟)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,
向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…那么点A4n+1(n为自然数)的坐标为(用n表示).
(第10题)
11.(2013·北京房山区一模)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的同心圆半径由内向外依次为1,2,3,4,…,同心圆与直线y=x和y=-x分别交于A1,A2,A3,A4,…,则点A31的坐标是.
(第11题)
三、解答题
12. (2014·四川峨眉山二模)如图所示,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长是1,把△ABC先向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到△A'B'C'.在坐标系中画出△A'B'C',并写出△A'B'C'各顶点的坐标.
(第12题)
13.(2013·辽宁葫芦岛一模)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△AOB的三个顶点均在格点上,点A,B的坐标分别为(3,2),(1,3).△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
(1)点A关于点O中心对称的点的坐标为;
(2)点A1的坐标为;
(3)在旋转过程中,点B经过的路径为的长为.
(第13题)
参考答案与解析
1. D[解析]a=5,b=-1.
2. A[解析]由a+2>0,a-1<0,得-2<a<1.
4. C[解析]先慢步行走,再打了一会儿太极拳,最后原路跑步回到家里.只有C图能反映爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系
6. A[解析]利用图象可以发现△PBC的面积,从增大到不变,再到不断减小,结合图象可选出答案.
7.B[解析]根据题意可知OC为∠AOB的平分线,点C的坐标为(m-1,2n)且在第一象限,点C 到x轴、y轴距离为m-1,2n,根据角平分线上的点到角两边距离相等,可知m-1=2n,所以
m-2n=1.
8. 2[解析]点p(a,b)到x轴的距离是|b|,到y轴的距离是|a|.
9.x≥0且x≠1[解析]根据被开方数具有非负性且分母不等于零,得x≥0且x≠1.
10. (2n,1)[解析]A4 (2,0),A8(4,0),A12(6,0),
∴A4n (2n,0).
11.[解析]根据31÷4=7……3,得出A31在直线y=x上,在第三象限,且在第8个圆上,求出OA31=8,通过解直角三角形即可求出答案.
12.图略; 各顶点坐标为A'(2,2),B'(3,-2),C'(0,-6).。