山西省运城市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)模拟(拓展卷)完整试卷

山西省运城市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）模拟(拓展卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
已知，则（）
A
．B．C．D．
第(2)题
已知抛物线：，：，若直线l：与交于点A，B，且与交于点P，Q，且，则
（）
A．1B．2C．4D．6
第(3)题
荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则经过300天时，“进步值”大约是“退步
值”的（）（参考数据：，，）
A．22倍B．55倍C．217倍D．407倍
第(4)题
已知函数没有极值点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
第(5)题
已知F是双曲线的左焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为M，且直线l与双曲
线C的右支交于点N，若，则双曲线C的渐近线方程为（）
A
．B．C．D．
第(6)题
某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的中位数为（）
A．25B．30C．35D．40
第(7)题
已知正六棱锥的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱锥的内部，若球O的体积为，则该正六棱锥体积的最大值为（）
A．B．C．D．
第(8)题
已知复数，则复数的实部与虚部之和为（）
A
．0B．1C．D．2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
设函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（）
A．B．存在，使得函数为奇函数
C ．函数的最大值为2D．存在，使得函数的图像关于点对称
第(2)题
定义在的函数满足，且，都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（）
A ．B．若数列为等差数列，则公差为6
C．若，则D．若，则
第(3)题
如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥
，在翻折过程中，下列结论正确的是（）
A．存在某个位置，使得与所成角为锐角
B．棱上总会有一点，使得平面
C．当三棱锥的体积最大时，
D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
在△ABC中，，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的体积为_____________．
第(2)题
已知，则_______；_________．
第(3)题
已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不
等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得
，证明：直线的斜率为定值.
第(2)题
对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1
图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对
称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假
如H对于G的代数运算来说作成一个群．
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对
于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，
．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以
及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
第(3)题
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条
直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线
；
(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
第(4)题
记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换
，．定义运算：若，则，．
(1)若，用表示；
(2)证明：；
(3)若，，，证明：．
第(5)题
第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京市和张家口市联合举行．某城市为传播冬奥文化，举行冬奥知识讲解员选技大赛．选手需关注活动平台微信公众号后，进行在线答题，满分为200分．经统计，有40名选手在线答题总分都在内．将得分区间平均分成5组，得到了如图所示的频率分布折线图．
（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并估计这40名选手的平均分；
（2）根据大赛要求，在线答题总分不低于190分的选手进入线下集训，线下集训结束后，进行两轮考核．第一轮为笔试，考试科目为外语和冰雪运动知识，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级．两科均不低于，且至少有一科为，
才能进入第二轮面试，第二轮得到“通过”的选手将获得“冬奥知识讲解员”资格．已知总分高于195分的选手在每科笔试中取得
，，，的概率分别为，，，；总分不超过195分的选手在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，
；若两科笔试成绩均为，则无需参加“面试”，直接获得“冬奥知识讲解员”资格；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面
试，总分高于195分的选手面试“通过”的概率为，总分不超过195分的选手面试“通过”的概率为．若参加线下集训的选手中有2人总分高于195分，求恰有两名选手获得“冬奥知识讲解员”资格的概率．。