吉林一中2013届高三数学复习资料模拟题二【会员独享】

高三数学模拟题二
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1、已知集合}|{2x y y M ==，}2|{22=+=y x y N ，则N M =（ ） A 、)}1,1(),1,1{(- B 、}1{ C 、]1,0[ D 、]2,
0[
2、已知复数
i z
z
=-+11，则z 的虚部为（ ）
A 、1
B 、1-
C 、i
D 、i -
3、已知命题p ：关于x 的方程042
=+-ax x 有实根，命题q ：关于x 函数422++=ax x y 在),3[∞+上为增函数，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 取值范围为（ ） A 、),4[]4,12(∞+-- B 、),4[]4,12[∞+-- C 、)4,4()12,(---∞ D 、),
12[∞+-
4、已知抛物线x y 42
=的准线是圆01622
2
2
=+--+p px y x 的一条切线，则圆的另一条垂直于x 轴的切线方程为（ ）
A 、x=7
B 、x=－9
C 、x=7或x=－9
D 、x=－7或x=9 5、已知函数
)32s i n (3)(1π-=x x f ，)3
2sin(4)(2π
+=x x f ，则函数=)(x f
)()(21x f x f +的振幅为（ ）
A 、
13 B 、5 C 、7 D 、13
6、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 、F 分别为棱DD 1、BB 1上的动点，且BF=D 1E ，设EF 与AB 所成角为α，EF 与BC 所成的角为β，则βα+的最 小值为（ ）
A 、︒45
B 、︒60
C 、︒90
D 、无法确定
B
A
A
D C
E
F B 1
D 1 C
- 2 -
7、已知点M ),(b a 在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥200y x y x 确定的平面区域内，则点N ),(b a b a -+所
在平面区域的面积是（ ）
A 、1
B 、2
C 、4
D 、8
8、已知等差数列}{n a 与等比数列}{n b 各项都是正数，且11b a =，1212++=n n b a ，那么一定有（ ）
A 、11++≤n n b a
B 、11++≥n n b a
C 、11++>n n b a
D 、11++<n n b a
9、定义在R 上的函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠-=)
2(1)2(2
1)(x x x x f ，则)(x f 的图像与直线1=y 的交点为
),(11y x 、),(22y x 、),(33y x 且321x x x <<，则下列说法错误的是（ ）
A 、142
32221=++x x x B 、0132=-+x x C 、431=+x x D 、2312x x x >+
10、有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个人依次站在正六边形的六个顶点上传球，从A 开始每次可随意传给相邻的两人之一，若在5次之内传到D ，则停止传球。

若5次之内传到D （含5次）则可出现的不同传球种数为（ ）
A 、6
B 、7
C 、8
D 、9
11. 椭圆M ：22
22x y a b
+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M
上任一点，且
的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中22b a c -=. 则椭圆M 的离心率
e 的取值范围是
A 、
]2,33[２ B 、
)1,2
2[ C 、)1,3
3[ D 、)2
1,31[
12．数列{}n a 中，11a =，1,n n a a +是方程2
1
(21)0n
x n x b -++
=的两个根，则数列{}n b 的前n 项和n S = A 、
1
21
n + B 、
11n + C 、21n n + D 、1
n n +
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
用心 爱心 专心
- 3 -
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13、记二项式n x )21(+展开式中的各项系数和为n a ，二项式系数和为n b ，则
n
n n
n n a b a b +-∞
→lim
=____________。

14、已知曲线34
313+=
x y 的切线l 过点A )4,2(，则切线l 的斜率为________。

15、不等式03
42
2
≤++-x x x 的解集为________________。

16、设O 为△ABC 的内心，当AB=AC=5，BC=6时，n m +=，则n m +的值为________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若向量
)2
cos ),cos(1(B A B A m -+-=，)2
cos ,8
5(B A n -=，且8
9=⋅n m 。

（1）求证：91
tan tan =
B A ； （2）求222sin c
b a C ab -+的最大值。

18、（本小题满分12分）已知函数).0)(1ln()(≥+-=x x e x f x
（1）求函数
)(x f 的最小值；
（2）已知x y <≤
0，求证：)1ln()1ln(1+-+>--y x e y x 。

19、（本小题满分12）下表为某班英语及数学成绩的分布，学生共有50人，成绩分为1~5个档次。

例如表中所示英语成绩为4分且数学成绩为2分的学生共有5人，将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一张，该卡片学生的英语成绩为x ，数学成绩为y ，设x 、y 为随机变量（注：没有相同姓名的学生）。

（1）分别求x=1的概率及x ≥3且y=3的概率；
- 4 -
（2）若y 的期望值为
50
133
，试确定a 、b 的值。

20、（本小题满分12）
在四棱锥P —ABCD 中，已知PA 垂直于菱形ABCD 所在平面，M 是CD 的中点，
O BD AC = ，
AB=PA=2a ，AE ⊥PD 于PD 上一点E 。

（1）求证：ME ∥平面PBC ； （2）当二面角M —PD —A 的正切值为6时，
求AE 与PO 所成角。

21、（本小题满分12）在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别为)0,1(-、)0,1(，
平面内两点G 、M 同时满足下列条件：①=++；==；③∥。

（1）求△ABC 的顶点C 的轨迹方程：
（2）过点P )0,3(的直线l 与点C 的轨迹交于E 、F 两点，求∙的取值范围。

22、（本小题满分14） 定义数列如下：21
=a ，121+-=+n n n a a a ，*N n ∈。

证明：（1）对于*
N n ∈恒有n n a a >+1成立；
（2）当2>n 且*N n ∈时，有11-+=n n n a a a ……112+a a 成立；
（3）++<
-
212006
1111a a a (11)
2006
<+a 参考答案：
一、选择题：DACCA CCBDC AD
二、填空题：13、1- 14、4或1 15、]2,1()3,(---∞ 16、16
15 三、解答题：
D
B
P A
C
O
M
E
用心 爱心 专心
- 5 -
17、（1）证明：由已知得8
9
2cos 85)]cos(1[2=-+⋅
+-B A B A 即
8
9
2)cos(1)sin sin cos cos 1(85=-+++-B A B A B A 故
8
9sin sin 21cos cos 2121sin sin 85cos cos 8585=++++-B A B A B A B A 整理得B A B A cos cos sin sin
9=
91cos cos sin sin =∴
B A B A 即9
1
tan tan =B A
（2）C ab
c b a cos 2222=-+
B
A B
A B A C C C c b a C ab tan tan 1tan tan 21)tan(21tan 21cos 2sin sin 2
22-+-=+-===-+∴
=)tan (tan 169
9
11tan tan 21B A B A +-=-+-
09
1
tan tan >=
B A ，A 、、为三角形内角 0tan tan >∴B A 3
2tan tan 2tan tan =
≥+∴B A B A 时取等号当且仅当31tan tan ==B A 故83
32169sin 2
22-=⋅-≤-+c b a C ab 8
3
sin 2
22--+∴
的最大值为c b a C ab 18、（1）1
1
)(+-
='x e x f x
又0≥x 0)(≥'∴x f 故)(x f 在),0[∞+上为增函数
)(x f ∴的最小值为1)0(=f
（2） x y <≤
0 0>-∴y x
- 6 -
由（1）得)0()(f y x f >- 即1)1ln(>+---y x e y x
即)1ln(1+->--y x e
y
x （*）
下面证明)1ln()1ln()1ln(+-+≥+-y x y x
)1ln()1ln()1ln(2+-+=+++-y x xy y y x
又0)()1()1(22
≥-=-=+-+-+y x y y xy x y
x xy
)1ln()1ln()1ln(+≥+++-∴x y y x 即)1ln()1ln()1ln(+-+≥+-y x y x
由（*）式得)1ln()1ln()1ln(1+-+≥+->--y x y x e
y
x ，即得证
19、解：（1）101
50131)
1(=++==x P
25
4508)
3,3(===≥y x P （2）50
7503510111)3()1()
2(++=--
=--=≥==b a P P P x x x 3=+∴b a
又50
133
5081501525015350445045=+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯
a b 94=+∴b a 从而解得
20、（1）证明：ABCD PA 平面⊥ PD PA ⊥∴ 又PA=AD=2a ，AE ⊥PD
AE ∴为PD 的中线， 又M 为CD 的中点
∴AE ∥PC 故ME ∥平面PBC
（2）过M 作MH ⊥AD 于H ，
PA ⊥平面ABCD PA HM ⊥∴
PAD HM 平面⊥∴
过H 作HN ⊥PD 于N ，连MN 则MN 在
平面PAD 内的射影为HN 故HN ⊥PD
的平面角为二面角A PD M MNH --∠∴
故6tan =
∠MNH
设θ=∠CDA ，则MH=θθ
cos sin a DH a =
D B
P
A
C O
M
E
H
N
G
用心 爱心 专心
- 7 -
在Rt △ABC 中NH=MH θsin 6
6
cot a MNH =
∠⋅ 在Rt △HND 中 ︒=∠45NDH HN HD 2=∴
即θθ
sin 6
6
2cos a a ⋅
= 3tan =∴θ 故︒=60θ 取OD 的中点G ，连AG ，EC 故EG ∥PO 且EG=
2
1OP AEG ∠∴为异面直线AE 与OP 所成角
a AP a AC AO 2,2
1
===
a PO 5=∴ a EG 2
5=
∴ a OD OG 2321== a OG OA AG 2
7
22=+=∴
a AE 2= 201032
5
22474522cos 222
222=⋅-+=⋅⋅-+=∠∴a
a a
a a EG AE AG EG AE AEG 故AE 与OP 所成的角为20
10
3arccos （注：用向量法做略） 21（1）设),(),,(),,
(00m m y x M y x G y x C
=
∴M 点在线段AB 的中垂线上 由已知A )0,1(-、B )0,1(
0=∴m x 又 ∥ 0y y m =∴
又=++ )0,0(),(),1(),1(000000=--+--+---∴y y x x y x y x 又
=++ )0,0(),(),1(),1(000000=--+--+---∴y y x x y x y x 3,300y y x x ==∴ 3
y
y m =∴
=
2222)3
()0()03()10(y y
x y -+-=-+-∴
- 8 -
)0(1322
≠=+∴y y x 即顶点C 的轨迹方程为)0(13
22
≠=+y y x
（2）设直线l 的方程为),(),,(),3(2211y x F y x E x k y -=
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=13)3(22y
x x k y 得0396)3(2222=-+-+k x k x k 得339,362
2212221+-=+=+k k x x k k x x △=0)39)(3(4)6(2
222>-+-k k k 0,832≠<∴k k 8
3
02<<∴k
而221231310cos x k x k -+-+=︒=⋅
33918279)1(22222
+-+-++=k k k k k =)9
88,8(348243)1(242
22∈+-=++k k k 故)9
88,8(∈∙ 22、（1）121+-=+n n n a a a 0)1(12221≥-=+-=-∴+n n n n n a a a a a
故n n a a >+1
（2）下面先用数学归纳法证明2≥n
a
︒1当成立22,
11≥==a n 2,)(2*≥∈=︒k a N k k n 时假设当
则23124121
>=+-≥+-=+k k k a a a 故当1+=k n 时，2≥n a 成立
综上所述，2≥n a 成立。

又n n n n n n a a a a a a =---=-++1
1
),1(111
即
)1(1),1(1),1(11223112-=--=--=-∴+n n n a a a a a a a a a
又由（1）得2≥n
a 01>-∴n a
故上述n 个等式相乘即得11-+=n n n a a a
用心 爱心 专心
- 9 -
（3）)1(11-=-+n n n a a a n
n n n n a a a a a 1
11)1(11
11--=-=
-∴
+
1
1
1111--
-=∴+n n n a a a 又2120071a a a =-……2006a ++∴
2111a a …++---+---=)11
11()1111(132212006a a a a a …)1
111(20072006---a a 11
111112006
32120071<-=---=
a a a a a a 由(1)知3212a a a <<=< (2006)
321a a a ∴……200620062>a
∴++<
-
212006
1111a a a (11)
2006
<+a。