mst导数专题分类讨论的标准

专题伍破鞭式—分类讨论策略
常言道，万丈高楼平地起．越是耸入云霄的摩天大楼，越需要深厚的地基，越是难以撼动的参天大树，越有深入地下的树根，根深才能枝繁叶茂．打牢基础，是解决数学问题的根本所在，而在函数中，单调性是函数最基础的性质，其重要性不言而喻．
不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．本专题着重讨论单调性问题，作为函数千里长路最开始的“跬步”，一步步带领大家夯实基础，把最开始的步子迈得稳健，日后才能在函导的道路上越走越远，心生“风景这边独好”的愉悦．
单调性讨论在历届高考中占据极其重要的比重，从选填题到压轴大题，单调性讨论的出现频率高，涉及范围广，题型丰富，如：求极值最值，比较函数值的大小等，都离不开单调性的讨论．本专题将详细介绍单调性讨论的策略，将单调性讨论分为含参数和不含参数两大类，简洁明了，选用真题新题讲解，定能拨云见日，MST 必将带你打开函数世界的大门！
第一讲 不含参数单调性讨论
注意定义域的间断情况 解题步骤：
第一步:求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间); 第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分。

定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分);
第三步:求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论);
第四步：未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； 第五步:正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
第六步:一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶 导);求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.
第七步:借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性,进而判断一阶导函数正负区间段) 第八步：综上所述得圆满.
需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.总之，单调性讨论的核心在于求解导函数的正负区间段，即探讨一阶导函数的图像与x 轴的位置关系，图像在x 轴上方则导函数为正，在下则为负。

而零点作为分界点，无疑是解单调性题目的突破口.
类型一：求导化简后可直接得出导函数正负区间段(见例1,2,3) 【例1】(2020•新课标Ⅰ)已知函数)2()(+-=x a e x f x ． (1)当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；
【解析】由题意,()f x 的定义域为(,)-∞+∞,且().x
f x e a '=-当1a =时,()1x
f x e '
=-,令()0f x '
=,解
得0.x =当(,0)x ∈-∞时,()0,
()f x f x '
<单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()0,
()f x f x '>单调递增,因
此()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增.
【例2】(2017•新课标Ⅱ)设函数x e x x f )1()(2-=． (1)讨论)(x f 的单调性;
【解析】因为()
2()1,x f x x e x R =-∈,所以()
2()12x f x x x e '=--,令()0f x '
=可知12x =-±,当
12x <--或12x >-+时()0f x '<,函数()f x 是单调递减，当1212x --<<-+时()0,f x '
>函
数()f x 是单调递增;综上,()(,12),(12,)f x -∞---++∞在上是减函数,在(12,12)---+上是增函数.
【例3】(2020•新课标Ⅱ)已知函数x x x f 2sin sin )(2=． (1)讨论)(x f 在区间)0(π，的单调性;
【解析】(1)化简2
3
()sin sin 22sin cos ,f x x x x x ==所以()()
22222()2sin 3cos sin 2sin 34sin f x x x x x x
'=-=-222sin [32(1cos 2)]2sin (12cos 2)x x x x =--=+,令()0f x '=,解得3
x π=
或23x π=
,当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
或2,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时,()0,f x '
>当2,
33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '
<,因此()f x 在20,,,33πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上单调递增，在2,33
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. 【例4】(2020•天津)已知函数)(ln )(R k x k x x f ∈+=，)(x f '为)(x f 的导函数． (1) 当6=k 时，
(ⅰ)求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程； (ⅱ)求函数x
x f x f x g 9
)()()(+
'-=的单调区间和极值； 【解析】(i)当6k =时,3
()6ln f x x x =+,故2
6()3f x x x
'=+
,所以(1)9f '
=,因为(1)1f =,所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-,即980.x y --=
(ii)因为32
93()()()6ln 3,0g x f x f x x x x x x x
'
=-+=+-+>,所以3222633(1)(1)()36x x g x x x x x x '+-=-+-=,
令()0g x '
=,解得1,x =当01,
()0x g x '<<<,当1,()0x g x '>>,所以函数()g x 在(0,1)上单调递减,
在(1,)+∞上单调递增，1x =是极小值点,极小值为(1)1,g =无极大值.
分为以下四种情况:
(1)能明显判断出一阶导函数恒正或恒负;
(2)能观察出一阶导函数的零点,但无法判断正负区间段;
(3)一阶导函数零点和正负均未知，需结合一阶导函数自身单调性判断; (4)双参变单参，齐次化换元，通过换元法简化计算成本与时间成本. 其中(2)(3)往往需要借助二阶导.
【例5】(2019•新课标Ⅱ)已知函数1
1
ln )(-+-=x x x x f (1)讨论)(x f 的单调性； 【解析】(1)函数1
()ln .1
x f x x x +=-
-定义域为212:(0,1)(1,);()0,(0(1)f x x x x '⋃+∞=+
>>-且1)x ≠, 因此()f x 在(0,1)和(1,)+∞上单调递增.
【例6】(2014•新课标Ⅱ)已知函数x e e x f x x 2)(--=-． (1)讨论)(x f 的单调性；
【解析】(1)由()f x 得()2220x x x x f x e e e e '--=+-≥⋅-=,即()0f x '
≥,当且仅当x x
e e -=即0x =时,
()0f x '=,因此函数()f x 在R 上为单调增函数.
【例7】(2017•北京理)已知函数x x e x f x -=cos )(． (1)求函数)(x f 在区间]2
[0π
，上的最大值和最小值;
【解析】(1)函数()cos x
f x e x x =-的导数为()(cos sin )1x
f x e x x '
=--,令()(cos sin )1x
g x e x x =--, 则()g x 的导数为()(cos sin sin cos )2sin x
x
g x e x x x x e x '
=---=-⋅,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,可得()2sin 0x
g x e x '=-⋅≤，即有()g x 在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，可得()(0)0g x g ≤=,则()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减，即有函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为0
(0)cos 001;f e =-=最小值为2cos 2222f e π
ππππ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
.
【例8】(2020•新课标Ⅰ)已知函数x ax e x f x -+=2)( (1)当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；
【解析】(1)当1a =时,2(),()21,x x f x e x x f x e x '=+-=+-设()(),g x f x '=因为()20,x
g x e '=+>可
得()g x 在R 上单调递增，即()f x '
在R 上单调递增，又因为(0)0f '
=,所以当0x >时,()0;f x '
>当0
x <时,()0f x '
<,所以()f x 的增区间为(0,)+∞,减区间为(,0).-∞
【例9】(2016•北京)设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在点))2(2(f ，处的切线方程为4)1(+-=x e y (1)求a ，b 的值; (2)求)(x f 的单调区间．
【解析】曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，所以当2x =时,$22,y e =+即
(2)22f e =+,同时(2)1,()a x
a x
f e f x e
xe
b ''--=-=-+,则222
(2)2222
,(2)21
a a a f e
b e f e e b e -'--⎧=+=+⎨=-+=-⎩即2,:a b e == (2)因为2,;a b e ==所以()
222212(),()(1)1x x x x x x f x xe ex f x e xe e x e e x e e -'-----=+=-+=-+=-+,
因为20x
e
->,所以11x x e --+与()f x '同号;令1()1x g x x e -=-+,则1()1x g x e '-=-+,由()0g x '<,得
1x <，此时()g x 单调递增，由()0,g x '>得1,x >此时()g x 单调递减，则当1x =时，()g x 取得极小值也
是最小值(1)1g =,则()(1)10g x g ≥=>,故()0f x '
>,即()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞,无递减区间. 值得注意的是，本题中，对于导函数2()(1)x
f x x e
e '
-=-+不能直接判断正负.此处我们需要对导函数继续求导，通过二阶导的正负判断一阶导函数单调性的区间段，从而得到一阶导的正负判断原函数单调性,进而求出原函数的单调区间段.此外，对于2()(1)x
f x x e e '
-=-+,还可以利用同构来解决，高考题总有同构的
身影,21()(1)(1)x
x f x x e
e x e e e '
--=-+=-⨯+,易知()x g x xe =在1x =-处取得极小值(也是最小值)
1
e
-,()(1)10f x g x e e e '=-⨯+≥->,故()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞,无递减区间. 【例10】(2020•新课标Ⅱ)已知函数1ln 2)(+=x x f ． （1）设0>a ，讨论函数a
x a f x f x g --=
)
()()(的单调性．
【解析】法一因为2
22ln 2ln 2()()2(ln ln )
()(0,,0),()()
a
x a f x f a x a x g x x x a a g x x a x a
x a '-
-++--==>≠>=
---. 令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =-
-++>,则22
222()()a a x w x x x x
'-=-=,令()0w x '
>解得0x a <<,令()0w x '
<,解得x a >,所以()w x 在区间(0,)a 上单调递增，在区间(,)a +∞上单调递减.所以
()()0w x w a ≤=,即()0g x '≤,所以()g x 在区间(0,)a 和区间(,)a +∞上单调递减.
法二 因为()()2(ln ln )()(0,,0)f x f a x a g x x x a a x a x a --==>≠>--,所以2ln
()1x a a g x x a =-,令(0)
x
t t a =>(换元必须标明新自变量的取值范围)此时t 与x 成递增正比例关系有2ln ()1
t a g t t =-,所以2
11ln 2()(1)t t g t a t '⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⋅-,令1()1ln h t t t
=--所以221()t h t t '-=令()0h t '
=,解得1t =,所以()h t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h t h ≤=,所以()0g t '
≤恒成立，由此可得()g x 在(0,1)和(1,)+∞上单调递减，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减.
解题步骤：
第一步：求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间);
第二步：变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分。

定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分);
第三步：恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负) 常见恒正恒负的变号函数:
21
1(0);(0);;;;ln ;x ax x x a x x a e a x a x a x
±>±>+
±±±± (注意：后面五个在已知定义域的情况下可求最小值，从而确定参数讨论范围)
不能因式分解的二次函数除了需要从高次系数为0和0∆≤方面考虑外，一般需先从参数能否确定恒正恒负先讨论.
例如:2
2()(0)y ax a x a x =+++>需要先讨论当0a ≥时，函数y 恒正;在由0∆<得函数恒正，不要开始就讨论二次项系数为0和0.∆<
第四步：然后再求有效根;
第五步:根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系); 第六步:导数图像定区间(作图原理同穿针引线法解高次不等式); 第七步：综上所述得圆满.
分类讨论单调性到此结束，最重要的是第三步和第五步，而且在此基础上可解决含参极值、最值、零点.恒成立、求参数范围、证不等式等其他问题. 类型1 变号函数为一次函数
【例11】(2019•重庆模考)已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈++=． (1)讨论函数)(x f 的单调性；
【解析】(1)由()ln 1f x ax x =++，得11
()(0).(ax f x a x x x
'
+=+=>对于导函数1ax +才是变号部分,其它恒为正，我们只需要关注1ax +的正负);
①若0a ≥,则10ax +>,则()0f x '
>恒成立,()f x 在(0,)+∞上单调递增: ②若0a <,由()0f x '
=,得1
;x a
=- (i)当10,x a ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭
时,()0,()f x f x '
>单调递增;(ii)当1,x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
时,()0,
()f x f x '<单调递减
综上,0a ≥时,()f x 在(0,)+∞上单调递增,0a <时,()f x 在10,x a ⎛
⎫
∈-
⎪⎝
⎭
上单调递增，()f x 在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. (1)求函数)(x f 的极值．
【解析】(1)函数()f x 的定义域(0,),()1,(a x a
f x x x
'
-+∞=-=对于导函数x a -才是变号部分，其它恒为正，我们只需要关注x a -的正负）
①当0a ≤时,则0x a ->,则()0f x '
>恒成立,()f x 在(0,)+∞上单调递函数,函数()f x 无极值;
②当0a >时,由()0f x '
=,解得x a =.
(i)当(0,)x a ∈时,()0f x '
<,函数()f x 单调递减函数; (ii)当(,)x a ∈+∞时,()0,f x '
>函数()f x 单调递增函数;
从而函数()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-,无极大值.
综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值;当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值. 【例13】(2020•江西联考)已知函数1sin )1ln(2)(+++=x x x f ，函数x b ax x g ln 1)(--=(a ，R b ∈，0≠ab ) (1)讨论)(x g 的单调性； 【解析】(1)()g x 的定义域为(0,),(),(ax b
g x x
'-+∞=
对于导函数ax b -才是变号部分，其它恒为正,我们只需要关注ax b -的正负) ①当0,0a b ><时,0ax b ->则()0g x '>恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递增；
②当0,
0a b >>时,
由()0g x '
=得b x a
=
； (i)当0b x a
<<时,()0g x '
<,则()g x 在单调递减; (ii)当b x a >时,()0g x '
>则在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增; ③当0,0a b <>时,0ax b -<则()0g x '<恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递减; ④当0,
0a b <<时,由()0g x '=得b
x a
=
(i)当0b x a
<<时,()0g x '>,则()g x 在0,b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增.
(ii)当b x a >
时,()0g x '
<在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减; 综上所述,当0,
0a b ><时,()g x 在(0,)+∞上单调递增
当0,0a b >>时,()g x 在0,b a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减,在,b a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增
当0,0a b <>时,()g x 在(0,)+∞上单调递减；
当0,
0a b <<时,()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减;
类型二 变号函数为准一次函数
知识点讲解：所谓准一次函数，就是形如()x
h x e a =±或()ln h x x a =±,它的图像与一次函数的图像很相似,只是由直线变成了曲线，但是主要性质和一次函数相同: 在定义域内单调递增或单调递减;
和x 轴最多只有一个交点.故准一次函数的求单调性过程与一次函数相类似. 如()2x
h x e =-和()2g x x =-的图像对比如下:
再如:()3(1)x
h x e a x =->,此时函数在定义域内单调递增，1x =处取得最小值，只需按3a e ≤函数恒正,
3a e >函数有一个大于1的零点分类讨论.
示例（2020-西安模拟）设()25x
f x e ax =--求()f x 的单调区间; 本题的标准答案为: 定义域为,
()2.x R f x e a '=-
若0a ≤,则()0f x '
>,所以()f x 的单调递增区间为(,);-∞+∞
若0,()0ln 2,a f x x a '
>=⇒=则当(,ln 2)x a ∈-∞时,()0f x '
<,当(ln 2,),()0x a f x '∈+∞>,
所以的单调递减区间为(,ln 2);a -∞单调递增区间为(ln 2,).a +∞ 问：为什么选择0a =作为分界点? 讨论与解答:
求导后，观察()2x
f x e a '
=-为准一次函数,如图,
定义域为R ,知()f x '
至多有一个零点.列导函数为零的方程，讨论a 取不同值条件下方程是否有根即可. 下为讨论过程:
令20x
e a -=,解得2x
e a =.
①当0a ≤时,方程显然无实数根.观察此时()20x
f x e a '=->恒成立,知()f x 的单调递增区间为(,);-∞+∞
②当0a >时，方程有唯一根ln 2x a =.易知()2x
f x e a '=-单调递增，很容易便可求出()f x '
正负区间段,
进而求得()f x 的单调区间.
从上述讨论中可知，0a =是方程是否有根的分界点.而方程是否有根直接影响到()f x '
的正负区间段，也是()f x 单调区间产生两种不同情况的根本原因。

可以说，无论对于一次函数还是准一次函数，函数等于0是否有根都是我们讨论的重点，也是解题的关键。

故答案中选择0a =作分界点，分两种情况讨论. 【例14】(2019•广东二模)已知函数()21x
f x ae x =+-．(其中常数 71828.2=e ，是自然对数的底数．) (1)讨论函数)(x f 的单调性；
【解析】(1)由()21x
f x ae x =+-,得() 2.x f x ae '
=+ ①当0a ≥时,()0f x '
>恒成立，函数()f x 在R 上单调递增; ②当0a <时，由()0f x '=,解得2ln x a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
, (i)当2,ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()0f x '
<,则()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭单调递增; (ii)当2ln ,,()0x f x a '⎛⎫⎛⎫
∈-
+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x 在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
单调递减;
综上所述，当0a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增; 当0a <时,()f x 在2,ln a ⎛⎫
⎛⎫-∞-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上单调递减:
【例15】(2019•重庆二模)已知函数x x f =)((其中2≤a 且0≠a )，且)(x f 的一个极值点为e
x =． (1)求函数)(x f 的单调区间； 【解析】(1)已知ln ()a x b f x x +=
,所以2ln (1),()a b a x f b f x x '
--==,由()f x 的一个极值,点为1x e
=,故2
1(2)0f e a b e '
⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
,所以2b a =,所以22
ln (ln 1)
()a b a x a x f x x x '
--+=
=-
, ①当(0,2]a ∈时，
(i)当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '
>函数单调递增,(ii)当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时()0f x '
<函数单调递减, ②当(,0)a ∈-∞时,
(i)当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时()0f x '
<函数单调递减,(ii)当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时()0f x '
>函数单调递增. 综上所述, 当(0,2]a ∈时,10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增,1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
单调递减；
当(,0)a ∈-∞时,10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减,
1,x e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
单调递增.
【例16】(2018•揭阳一模)已知0≠a ，函数ax e e e x f x x ++-=)(． (1)讨论)(x f 的单调性； 【解析】因为,1()2,1x
ax e x f x e ax e x +<⎧=⎨+-≥⎩，所以,1();2,1x a x f x e a x '
<⎧=⎨+≥⎩
①先考虑1x <时
(i)当0a >时,()0f x '
>恒成立()f x 在1x <上单调递增; (ii)当0a <时,()0f x '<恒成立()f x 在1x <上单调递减;
②再考虑1x ≥时，恒有22(x
e e ≥注意此处我们是先求最值，再看恒成立的分界点，否则，直接a 大于等于0时导函数恒正会导致后面需要讨论零点在不在定义域内，增强难度) (i)当2e a -≤时，20x
e a +≥恒成立，()
f x 在1x ≥上单调递增 (ii)当2e a ->时,()0ln 122x
a a f x e x '
⎛⎫
=⇒=-
⇒=-> ⎪⎝⎭
， 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0f x '<得()f x 单调递减，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
上()0f x '
>得单调递增; 综上所述，当0a >时，()f x 在R 上单调递增;
当20e a -≤<时，()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增 当2,
()a e f x <-时在,ln 2a ⎛⎫
⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
单调递增.
知识点讲解:变号函数为二次函数时，列变号函数为0的方程一般有两个不同实数根12,(x x 无根情况下二次函数恒正或恒负，只有一根时情况类似，故不作为讨论重点)，理论上要分1212,
x x x x ><进行讨论;
若函数()f x 有定义域限制,则方程往往会涉及根的分布问题,需要结合定义域对根的分布进行分类讨论.此时分为九种情况，图像如下(以二次项系数大于0为例):
武林秘籍 可因式分解
【例17】(2017•新课标Ⅲ)已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+++=．
(1)讨论函数)(x f 的单调性;
【解析】由题知212(21)1(1)(21)
()2(21)(0)ax a x x ax f x ax a x x x x
'
+++++=+++=
=> ①若0a ≥,则()0f x '
>在(0,)+∞上恒成立,()f x 在(0,)+∞上单调递增; ②若0a <,则()0f x '
=解得1
2x a
=-, 当10,2x a ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时,()0,()f x f x '
>单调递增;当1,2x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
时,
()0,
()f x f x '<单调递减
综上所述，当0a ≥时,()f x 在(0,)+∞上单调递增;0a <时,()f x 在10,2a ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭时单调递增，在1,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
时单调递减.
讨论与解答:
1.二次型结构2
ax bx c ++,当且仅当0a =时，变号函数为一次函数.此种情况是最特殊的，故应最先讨论,遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解.
2.由“恒正恒负先讨论”,观察因式分解后的二次函数(1)(21)x ax ++,知0a >时函数恒正.故应妹续讨论恒正情况，最后讨论一般情况.
注意:0a =与0a >时得出的结果相同，故答案将这两种情况合并处理，以追求书写的简洁性，但读者应清晰0a =与0a >情况有本质区别.(0,)x ∈+∞ 一般情况0a <时，由因式分解易知方程两根121
1,.2x x a
=-=-
结合定义域(0,)x ∈+∞和图像开口方向 讨论根的分布即可. 按根的分布详细讨论如下:
由因式分解，易知方程两根121
1,.2x x a
=-=-
值得注意的是，二次项系数2a 的取值未知, 0a =既是开口方向的分界点(0a >开口向上，0a <开口向下,0a =为一次函数),
又是根21
2x a
=-
是否在定义域(0,)+∞内的分界点. 故以0a =为界，结合定义域(0,)x ∈+∞和图像开口方向讨论根的分布: 易知11x =-不在定义域内，故: ①0a =时,1
()x f x x
'
+=,变号函数1x +在定义域(0,)+∞内恒正，()f x 在(0,)+∞单调递增; ②0a >时,1
02a
-
<,两根都小于0且二次函数开口向上，故()f x '在定义域(0,)+∞内恒正,()f x 在(0,)+∞单调递增;
③0a >时,1
02a
-
>,两根分布在0两侧,二次函数开口向下，故: 10,2x a ⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭时,()0,
()f x f x '>单调递增1;,2x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
时,()0,()f x f x '<单调递减.
思考:导函数分子(1)(21)x ax ++是两个一次函数相乘的结构，那我们是否能以一次函数的方式解决二次函数的问题呢?这就是我们解决问题的第二个思路，判断两个一次式乘积的正负，可以采取不等式组的形式表
示当10()0210x f x ax '
+>⎧>⇔⎨+>⎩或者10
;210x ax +<⎧⎨+<⎩
当10()0210x f x ax '+>⎧>⇔⎨
+>⎩或者10
210
x ax +<⎧⎨+<⎩不等式的解集即为函数的单调区间.这样就能把二次问题转
化为两个一次问题，这种方法其实并没有比第一种简单，那是因为二次函数可以很容易进行求解，那我们为什么还要提供这种思路呢，一方面是希望大家能够更透彻的理解这类问题的根源，另一方面也是为后面的准二次函数型提供一种解决方式，利用降维思想解决准二次型求解找单调区间的问题. 【例18】(2019•新课标Ⅲ)已知函数b ax x x f +-=232)(． （1）讨论)(x f 的单调性；
【解析】(1)已知3
2
()2f x x ax b =-+所以2
()6263a f x x ax x x '⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭
. 令()603a f x x x '
⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,解得10x =或23
a x =. ①20,
()60a f x x '==≥,,解得()f x 在R 上单调递增；
②0a >,函数()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减; ③0a <,函数()f x 在,,(0,)3a ⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减. 综上所述:0,
()a f x =在R 上单调递增
0a >,函数()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减;
0a <,,函数()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,03a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减.
【例19】(2020•济宁模拟)已知函数1ln )(-=x x x f ，x a ax x g )2()(--=． (1)设函数)()()(x g x f x H -'=，讨论)(x H 的单调性；
【解析】(1)由题意2
()()()ln (2)1H x f x g x x ax a x '
=-=-+-+，则(21)(1)
()x ax H x x
'
-++=
,
①当0a ≥时,()H x 在10,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减;
②当20a -<<时,令()0H x '
=,得112x =或21x a =-,在110,,,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上,,()0H x '
>,则()H x 单调递增，在11,2a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上,()0H x '<,则()H x 单调递减; ③当2a =-时,()0,()H x H x '
≥在(0,)+∞上单调递增;
④当2a <-时,()H x 在110,,,2a ⎛⎫⎛⎫-
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0H x '≥则()H x 单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上,()0H x '
<,则
()H x 单调递减;
综上所述:当0a ≥时,()H x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减：
当20a -<<时110,,,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0H x '>,则()H x 单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上()0H x '
<,则()H x 单
调递减;
当2a =-时,()0,()H x H x '
≥在(0,)+∞上单调递增； 当2a <-时,()H x 在110,,,2a ⎛⎫⎛⎫-
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0H x '≥,则()H x 单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上()0H x '
<,则
()H x 单调递减;
【例20】(2014•山东)设函数1
1
ln )(+-+
=x x x a x f ，其中a 为常数． （1）若0=a ，求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程; （2）讨论)(x f 的单调区间．
【解析】(1)当0a =时,221(),(1),
(1)0(1)2
f x f f x '
'
===+所以曲线()y f x =在,点(1,(1))f 处的切线
方程为1
(1)2
y x =
-. (2)因为1()ln 1
x f x a x x -=++所以222222(1)2(2)()(1)(1)(1)a a x x ax a x a f x x x x x x x '
+++++=+==+++,
分母恒为正，考虑分子有无恒正恒负即可，设函数2
()(22)g x ax a x a =+++，
①当0a ≥时(山参数引发的橙正恒负),由0x >知()0f x '
>,即()f x 在(0,)+∞上单调递增; ③当1
02
a -<<时,()0g x =得()1212(1)21(1)21,0a a a a x x x x a a -+-+-+++=
=>> ③当1
02
a -<<时,()0g x =得()1212(1)21(1)21
,0a a a a x x x x a a
-+-+-+++=
=>>.
()i 当(1)21
(1)210a a a a x x a
a
-+++-+-+<<>
时,()0,()0,
()g x f x f x '
<<单调递减; (1)21(1)21
() a a a a ii x a a
-+++-+-+<<当
时,()0,
()0,
()g x f x f x '>>单调递增.
综上所述，当0a ≥时,()f x 在(0,)+∞上单调递增：当1
2
a ≤-
时,()f x 在(0,)+∞上单调递减; 当1
02a -
<<时,()f x 在(1)210,a a a ⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭和(1)21,a a a ⎛⎫-+-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减, 在(1)21(1)21,a a a a a a ⎛⎫-+++-+-+
⎪ ⎪⎝⎭
单调递增. 讨论与解答:0∆≤
1.对于不可以因式分解的二次型结构2ax bx c ++,我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负;
2.再看当0a =,函数为一次函数的情况，参考前文一次型的处理方式，得到单调性;
3.当0a ≠时，计算判别式∆,当0∆≤,直接根据开口方向和二次函数草图，判断正负，得到单调性;
4.当0∆>时，再根据开口方向，分为0a >和0a <两种情况讨论;
5.画出草图，结合二次函数型九图，判断两个零点12,x x 与定义域的关系(可以用对称轴位置，求根公式 进行判断)
小结:上面例题你认真观察会发现一个很神奇的现象，如果参数引起的恒成立，考虑全面，在后续的求根 讨论环节所求零点必在定义内,不需要在此分类讨论零点在不在定义域内.下面再来一道高考题，大家体会 一下这种思想.
【例21】(2018•新课标Ⅰ)已知函数x a x x
x f ln 1
)(+-=． (1)讨论)(x f 的单调性;
【解析】由题意得()f x 的定义域为222
11
(0,),
()1;a x ax f x x x x
'-++∞=--+=- ①若2a ≤，则2
2
2
121(1)0x ax x x x -+≥-+=-≥(或者考虑a 取非正分子恒为正和∆小于等于0,可以得到相同结果;除此之外还可以这样化简11()f x x a x x '
⎛⎫=-
+- ⎪⎝⎭
,小括号内是一个对勾函数，易知最小值为2,由此开始分段讨论;三种方案的唯一目的就是找到由参数变化引发的恒成立),故()0f x '
≤,所以()f x 在
(0,)+∞上单调递减;
②若2a >,令()0f x '
=解得24;2
a a x ±-=
(i)当22440,
,,22a a a a x ⎛⎫⎛⎫
--+-∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()0f x '<,函数单调递减; (ii)当2244,22a a a a x ⎛⎫
--+-∈
⎪ ⎪⎝⎭
时,()0f x '>,函数单调递增; 综上所述：当2a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减;
当2a >时,()f x 在22440,
,,22a a a a ⎛⎫⎛⎫--+-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递減;在2244,22a a a a ⎛⎫
--+- ⎪ ⎪⎝⎭
上 调递增.
【例22】(2020•新课标Ⅲ)已知函数)(k kx x x f +-=． （1）讨论)(x f 的单调性;
【解析】(1)因为3
2
()f x x kx k =-+,所以2
()3f x x k '=-;
①当0k ≤时，易知()0f x '
≥恒成立，所以()f x 在R 上递增,
②当0k >时，由()0f x '
=,解得13k x =
或23
k x =-; (i)当,3k x ⎛
⎫∈-∞-
⎪ ⎪⎝⎭或,3k x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时()0,()f x f x '>单调递增;
(ii)当,33k k x ⎛⎫∈-
⎪
⎪⎝⎭
时()0,()f x f x '
<单调递减;
综上，当0k ≤时，()f x 在R 上单调递增; 当0k >时，()f x 在,3k ⎛
⎫
-∞-
⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在,33k k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在,3k ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增. 类型四 变号函数为准二次函数型
知识点讲解：类比二次函数可因式分解型，不可因式分解型，部分不可因式分解型见端点效应与隐零点可因式分解型:
【例23】(2017•新课标Ⅰ)已知函数x a a e e x f x x 2)()(--=． （1）讨论)(x f 的单调性．
【解析】因为()
2()x x f x e e a a x =--,所以()()
22()22x x x x f x e ae a e a e a '=--=+- ①当0a =时,()0f x '
>恒成立，所以()f x 在R 单调递增:
②当0a >时,20x
e a +>，令()0
f x '
=,解得ln x a =;
(i) 当 ln x a < 时, ()0f x '
<, 函数 ()f x 单调递减; (ii)当 ln x a > 时, ()0f x '
>, 函数 ()f x 单调递增;
(3)当0a <时,0x
e a ->,令()0
f x '
=,解得ln 2a x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
(i)当ln 2a x ⎛⎫<-
⎪⎝⎭
时,()0f x '
<,函数()f x 单调递减; (ii)当ln 2a x ⎛⎫>-
⎪⎝⎭
时,()0f x '
>,函数()f x 单调递增； 综上所述，当0a =时，()f x 在R 单调递增:
当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增: 当0a <时,()f x 在,ln 2a ⎛⎫
⎛⎫-∞-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递減，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上单调递增. 问:什么函数可以称为准二次函数?它的讨论顺序是什么? 讨论与解答:
在这个题的解答中，我们可以看到导函数的分子是两个准一次式相乘的结构，与二次函数的结构十分相似, 可以直接类比二次函数，找出零点;
注意:可将2,,ln x
x
x
xe e e x ⋅和ln x x ⋅看为函数中的二次项
准二次函数的解题过程可以参考二次函数的讨论顺序，遵循“把二次拆成两个一次”的思想因式分解，可以得到下列对应关系:
2e 0()00x x
a f x e a '
⎧+>>⇔⎨->⎩或20
2e 0.()000x
x x x
e a a
f x e a e a '
⎧⎧+<+>⎪<⇔⎨⎨-<-<⎪⎩⎩
或20
x x e a e a ⎧+<⎨->⎩ 对于0a >和0a <进行分类讨论,
0a >时，x 2e 0a +>恒成立,则0ln ,
()0x e a x a f x '->>>,函数单调递增，ln ,()0x a f x '<<函
数单调递减;0a <时,0x
e a ->恒成立,则x
2e 0,
ln ,()0,2a a x f x '⎛⎫
+>>-> ⎪⎝⎭
函数单调递增,
ln ,
()0,2a x f x '⎛⎫<-< ⎪⎝⎭
函数单调递减.用一次不等式的形式处理准二次就能直接解决这类问题.
不可因式分解型:
【例24】(2020•马鞍山二模)已知函数x e ae x f x x +-=-)()0(>a （1）讨论)(x f 的单调性；
【解析】(1)定义域为()221111R,()1;24x x
x x x x x
f x ae e e e a e a e e
'-⎡⎤
⎛⎫=--+=--+=--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
①当14
a ≥
时，由()0f x '
≤,所以函数()f x 在R 上单调递减. ②当104
a <<
时,由()0f x '
=解得1142x a e --=,或1142x a e +-=,因为0a >,所以
11402a -->, 从而()0f x '
=的解为1114ln
2a x --=或2114ln 2
a
x +-= (i)当114,ln
2a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭和114ln ,2a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时,()0,()f x f x '<单调递减;
(ii)当114114ln ,ln 22a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时,()0,()f x f x '
>单调递增;
综上所述:1
04a <<
时，函数()f x 在114,ln 2a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭和114ln ,2a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递减; 在114114ln
,ln 22a a ⎛
⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增1
;4a ≥时,()f x 在R 上单调递减. 类型五：变号函数为高次函数型或超越函数型
知识点讲解：变号函数能因式分解成准一次或准二次的乘积，利用穿针引线法作图. 【例25】(2019•山东)已知2
1
2)ln ()(x x x x a x f -+
-=，R a ∈． (1)讨论)(x f 的单调性．
【解析】由221()(ln )x f x a x x x -=-+,得()
2243
(1)212(21)2()1(0)x ax x x x f x a x x x x '
----⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭ ①当0a ≤时，则2
20ax -<恒成立,()01f x x '
=⇒=，
(i)当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '
>单调递增, (ii)当(1,)x ∈+∞时,()0,
()f x f x '
<单调递减;
②当0a >时,122()01,a f x x x a
'
=⇒== (i)当02a <<时， A 当(0,1)x ∈和2,a a ⎛⎫+∞
⎪ ⎪⎝⎭
时,()0,()f x f x '
>单调递增,
B 当21,
a x a ⎛
⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时,()0,()f x f x '
<单调递减;
(ii)若2,
()0a f x '=≥恒成立,()f x 在(0,)+∞上单调递增;
(iii)若2a >,
A 当20,a x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
和(1,)+∞时,()0,()f x f x '
>单调递增,
B 当2,1a x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时,()0,()f x f x '
<单调递减; 综上所述;
当0a ≤时,(0,1),()x f x ∈单调递增;(1,),()x f x ∈∞单调递减;
当02a <<时,(0,1)x ∈和2,,()a f x a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增,21,,()0,()a x f x f x a '
⎛⎫∈< ⎪ ⎪⎝⎭
单调递减:
当2a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增;
当2a >时,20,
a x a
⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝
⎭和(1,),()f x +∞单调递增2;,1a x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时,()0,()f x f x '<单调递减.
含参的几种类型，这时候往往应用复合函数单调性或者一次导数的零点用观察法判定，或者我们就要考虑一次导函数是否恒正或者恒负，与不含参数的恒正恒负类似(关于此种含参题型后面的端点效应和隐零点还有详细介绍).
【例26】(2010•新课标)设函数2
()1x
f x e x ax =---． （1）当0=a 时，讨论)(x f 的单调性．
【解析】(1)求导()12;x
f x e ax '
=-- ①当0a ≤时;
(i)当[0,)x ∈+∞时,1020()120,()x x e ax f x e ax f x '-≥-≥=--≥单调递增, (ii)当(,0)x ∈-∞时,1020
()120,
()x x e ax f x e ax f x '-≤-≤=--≤单调递减;
②当0a >时,0(0)0,()2ln 2x
f f x e a x a '''==-⇒=
(i)当1
02
a <<
时，ln 20a < ()f x '在(,ln 2]x a ∈-∞单调递减，在[ln 2,)x a ∈+∞单调递增
121111(ln 2)21ln 20,0,ln 2222a f a a a f e x a a a a -'
'⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--<-=>∃∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
使()10f x '=又(0)0f '= A 当()1,x x ∈-∞和(0,)+∞时,()0,
()f x f x '
≥单调递增,
B 当[]1,0x x ∈时,()0,
()f x f x '
<单调递减;
(ii)若1,()02a f x '=
≥恒成立,()f x 在(0,)+∞上单调递增；
(iii)若1,()2
a f x '>
在(,ln 2]x a ∈-∞单调递减，在[ln 2,)x a ∈+∞单调递增;
()()
(
)()()2222
2ln 41
(ln 2)0,ln 41410,ln 2,ln 412a f a f a a x a a a ''⎛⎫
+ ⎪=<+=-
>∃∈+ ⎪
⎝
⎭
使()2
0f x '=,又(0)0f '
=，
A 当(,0)x ∈-∞和()2,x +∞时,()0,
()f x f x '
>单调递增;
B 当[]20,x x ∈时,()0,
()f x f x '<单调递减;
综上所述：当0a ≤时()f x 在区间[0,)+∞上单调递增;在区间(,0)-∞上单调递减; 当1
02
a <<时,()f x 在区间()1,x -∞和(0,)+∞上单调递增:()f x 在区间[]1,0x 上单调递减;
当1
2
a =时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增; 当1
2
a >
时，()f x 在区间(,0)-∞和()2,x +∞上单调递增;在区间[]20,x 上单调递减. 【例17】(2014•广东)设函数3
)2(2)2()(2
2
2
-+++++=k x x k x x x f ，其中2-<k ．
（1）讨论)(x f 的定义域D (用区间表示)； （2）讨论)(x f 在D 单调性．
【解析】(1)设2
2t x x k =++,则()f x 等价为21()23
y g t t t ==
+-,要使函数有意义，则2
230t t +->,
解得1t >或3t <-即221x x k ++>或2
23x x k ++<-,则2
(1)2x k +>-①，或者2(1)2x k +<--②,
因为2k <-所以22k k ->--,由1解得12x k +>-或12x k +<--,即21x k >--或
12.x k <---由②解得212k x k ---<+<--,即1212k x k ----<<-+--,
综上函数的定义域为(21,)(,12)(12,12)k k k k --+∞⋃-∞---⋃-----+--. (2)()
(
)
()
()
(
)
()
22
3
3
2
2
2222222(22)21(22)
()222232223x x k x x
x k x f x x x k
x x k x x k
x x k '
⎡⎤++++++++⎣⎦=-
=-
⎡⎤
⎛⎫
+++++-+++++- ⎪
⎢⎥
⎣
⎦
⎝
⎭
()()())
23
2
2
2
221(1)
2223
x x k x x
x k x x k ++++=-
⎛+++++- ⎝
,易知分子二次函数判别式大于0,由()0f x '
=,
得1231,12,12x x k x k =-=-+--=----；
①当(,12)x k ∈-∞---和(1,12)x k ∈--+--时,()0f x '
>,函数单调递增； ②当(12,1)x k ∈-----和(12,)x k ∈-+-+∞时,()0f x '
<,函数单调递减；
综上所述：函数的单调递增区间为:(,12),(1,12)k k -∞-----+--, 函数的单调递减区间为:(12,1),(12,)k k ------+-+∞.。