动量定理与动量矩定_OK

设 F F F F 为静约束力; F为附加动约束力
由于 P Fa Fb F 0 得 F qV (vb va )
13
8.4 质心运动定理
8.4.1 质量中心
rC
m i m
ri ,
mmi
xC
m ix m
i
,
yC
mi m
y
i
,
zC
m iz m
i
14
例8-3 已知: 为常量,均质杆OA = AB = ,两杆l质量皆为 ,滑
p1z
I
(e) z
7
例8-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的
质量为 m,2转子质量为 m.定1 子和机壳质心 ,O转1 子质心
, O2 O1O,2角速e 度 为常量.求基础的水平及铅直约束力
.
8
解:
p m2 e
px m2 e cost
py m2 e sin t
由
dpx dt
Fx
]2 [
yc
]2 1
2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
16
系统动量沿x, y轴的投影为:
px mvCx mxC 2(m1 m2 )l sin t
py mvCy myC m1l cost
系统动量的大小为:
p
p
2 x
p
2 y
l
4(m1 m2 )2 sin 2 t m12 cos2 t
若 M O (F (e) ) 0 , 则 LO 常矢量； 若 M z (F (e) ) 0 , 则 Lz 常量。
例：面积速度定理
有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心.
由于 MO (F ) 0,有
M (mv) r mv 常矢量
33
（1）r 与 v 必在一固定平面内,即点M的运动
Lz1 2ma0a 2ma20
0 时,
由
Lz Lz1
2m(a
2
Lz2 ,
l sin
得
)2
(a
a 20
l sin
)
2
36
8.6 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩
8.6.1 刚体绕定轴转动的微分方程
主动力: F1, F2 , , Fn
约束力: FN1 , FN2
d dt
(J
z)
M
z
(Fi
)
称为质点系动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点
系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量
的矢量和.
动量定理微分形式的投影式
dp x dt
F (e) x
dp y dt
Fy(e)
动量定理积分形式的投影式
p2x
p1x
I
(e) x
p2y
p1y
I
(e) y
dp z dt
F (e) z
p2z
，得
1
M1 J1
M2
i12 J2 i122
43
1. 简单形状物体的转动惯量计算
n
J z mi ri2 i 1
单位：kg·m2
1)均质细直杆
J z
l 0
l x2dx
ll3
3
由 m ll ，得
Jz
1 ml 2 3
44
2）均质薄圆环
J z mi R 2 R 2 mi mR 2
3）均质圆板
质心运动守恒定律
若 F (e) 0
若
F (e) x
0
则 vC 常矢量
则 vCx 常矢量
22
e 例 8-5 地面水平,光滑,已知 m1, m2 , ,初始静止,
常量.
求:电机外壳的运动.
23
解:设
xC1 a
xC2
m1(a s) m2 (a e sin
m1 m2
s)
由 xC1 xC2 ,
I t2 Fdt t1
3
8.3 动量定理
8.3.1 质点的动量定理 d(mv) F dt
或 d(mv) Fdt
称为质点动量定理的微分形式,即质点动量的增量等于作
用于质点上的力的元冲量.
在 t1~ t2 内, 速度由 v1 ~ v2, 有
mv2 mv1
t2 Fdt I
t1
称为质点动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点动
17
8.4.2 质心运动定理
由
d dt
(mvC
)
n
Fi(e)
i 1
得
m dvC dt
n
F (e) i
i 1
n
或 maC Fi(e) i 1
称为质心运动定理,即:质点系的质量与质心加速度的乘积
等于作用于质点系外力的矢量和.
内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.
18
在直角坐标轴上的投影式为:
(mv
)
M
z
(F
)
29
2）质点系的动量矩定理
d dt
MO (mivi
)
MO
(Fi(i) )
M O (Fi(e) )
d dt
MO
(mivi
)
MO
( Fi (i )
)
MO
( Fi ( e )
)
由于 M O (Fi(i) ) 0
d dt
M
O
(mivi
)
d dt
M
O
(mivi
)
dLO dt
得
dLO dt
x 方向: m2e 2 sin t y 方向: m2e 2 cos t
10
8.3.3 质点系动量守恒定律
若 F (e) 0 , 则 p = 恒矢量
若
F (e) x
0,
则
px = 恒量
11
例8-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是定 常流动.求管壁的附加动约束力.
解:dt 内流过截面的质量及动量变化为
第8章 动量定理与动量矩定理
1
8.1 动量
质点的动量
mv
单位
kg m / s
n
质点系的动量
p mivi i 1
质心
rc
miri m
，
m
mi
m drc dt
mi
dri dt
mivi
即
p mvc
2
8.2 冲量
常力的冲量
I Ft
变力的元冲量
在 t1～t2内的冲量
单位： N·s
dI Fdt
ma
Cx
F (e) x
maCy Fy(e)
在自然轴上的投影式为:
maCz
F (e) z
m dvC dt
Ft(e)
m vC2
F (e) n
0
F (e) b
19
例8-4 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以 不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D, 如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在活塞 上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A 处的最大水平约束力Fx .
M O (Fi(e) )
称为质点系的动量矩定理:质点系对某定点O
的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的
外力对于同一点的矩的矢量和.
30
投影式:
dLx dt
M x (Fi(e) )
dLy dt
M y (Fi(e) )
dLz dt
M z (Fi(e) )
内力不能改变质点系的动量矩.
31
8.5.2 质点系的动量矩
对点的动量矩 对轴的动量矩
n
LO M O (mivi ) i 1
n
Lz M z (mivi ) i 1
[LO ]z Lz
即 LO Lxi Ly j Lzk
26
（1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心, 作为一个质点来计算.
LO MO (mvC ) , Lz M z (mvC )
dpy dt
Fy
m1g
m2 g
得 Fx m2e 2 sin t Fy (m1 m2 )g m2e 2 cost
9
电机不转时, Fx 0, Fy (m1 m2 )g称静约束力;
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
力.
动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为
5
得 dp Fi(e)dt dIi(e)
或
dp dt
F (e) i
称为质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量
等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.
6
在 t1~ t2 内,
动量 p1 ~ p2 有
n
p2
p1
I (e) i
i 1
dt
dt
其中: d (mv ) F dt dr v （O为定点） dt
v mv 0 28
因此
d dt
M
O
(mv
)
M
O
(F
)
称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对
时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.
投影式:
d dt
M
x
(mv )
M
x
(F)
d dt
M
y
(mv )
M
y
(F
)
d dt
M
z
求：制动所需时间 t .
41
解：
JO
d
dt
FR
f
FN R
0
t
0 JOd 0 fFN Rdt
t JO0
fFN R
42
例8-11
已知
J1, J 2 , i12
R2 R1
, M1, M 2
求：1.
解： J11 M 1 FtR1 J 2 2 Ft R2 M 2
因
Ft
Ft
， 1
2
i12
R2 R1
mi 2 ri dri A
式中：
A
m
R2
JO
R
(2
0
r Adr
r2)
2
A
R4 4
或
JO
1 2
mR 2
45
4）惯性半径（回转半径）
z
Jz m
或
8.6.3 平行轴定理
Jz
m
2 z
J z J zC md 2
式中 zC 轴为过质心且与 z 轴平行的轴， d为 z
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积.
p p0 pa1b1 pab ( pbb1 pa1b ) ( pa1b paa1 ) pbb1 paa1
qV dt(vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
12
qV dt(vb va ) (P Fa Fb F )dt 即 qV (vb va ) P Fa Fb F
轨迹是平面曲线.
(2) r mv r m dr b 常量 dt
即
r dr 常量
dt
由图, r d r 2d A
因此, dA 常量
dt
dA 称面积速度.
dt
面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.
34
例8-7 两小球质量皆为 m,初始角速度0
求：剪断绳后, 角时的.
35
解： 0 时,
20
解:如图所示
m1 m2 aCx Fx F
xC
m1
r 2
cos
m2 r
cos
b
m11 m2 NhomakorabeaaCx
d2 xC dt 2
r 2 m1
m1 m2 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r 2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2
m1 2
m2
21
8.4.3 质心运动守恒定律
例8-6 已知： R, J , M , , m ,小车不计摩擦. 求:小车的加速度a .
解: LO J m v R
M (e) O
M
mg
sin
R
d [J mvR] M mg sin R
dt
由 v , dv a ， 得
R dt
a MR mgR 2 sin
J mR 2
32
3）动量矩守恒定律
39
解：
d2
JO dt 2
mga sin
微小摆动时， sin
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga JO
0
通解为 O sin(
mga t )
JO
O 称角振幅， 称初相位，由初始条件确定.
周期 T 2 JO
mga
40
例8-10 已知： JO ,0 , FN , R，动滑动摩擦系数 f ，
量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.
4
8.3.2 质点系的动量定理
外力: Fi(e,)
内力:
F (i) i
内力性质:
（1）
F (i) i
0
（2） M O (Fi(i) ) 0
（3） Fi(i)dt 0
质 点: d(mivi ) Fi(e)dt Fi(i)dt
质点系: d(mivi ) Fi(e)dt Fi(i)dt
M
z
( FNi
)
即:
d
J z dt
M z (Fi )
M z (Fi )
或 J z M z (F )
或
Jz
d2
dt 2
Mz(F)
转动 微分 方程
37
例8-8 已知: R, J , F1, F2，求 .
解:
J (F1 F2 )R (F1 F2 )R
J
38
例8-9 物理摆（复摆），已知 m, JO , a ， 求微小摆动的周期 .
块 Bm质1 量 .
m2
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
15
解:设 t ，质心运动方程为
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m2l
2m1 m2
cos t
2(m1 m2 ) l cost
2m1 m2
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin t
m1 2m1
m2
l sin t
消去t 得轨迹方程
[
xc
得 s m2 e sin
m1 m2
24
8.5 动量矩定理
8.5.1 质点的动量矩
对点O的动量矩 MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
代数量,从 z 轴正向看,
逆时针为正,顺时针为 负.
25
[MO (mv)]z M z (mv)
单位:kg·m2/s
（2） 刚体绕定轴转动
Lz M z (mivi ) mi vi ri
mi ri ri mi ri2