【优质文档】高一数学必修一第11周教案

S-ABCD ，求
2. 圆台的上下两个底面半径为 10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两 部分面积之比为 1：1，求截面的半径 . （变式： r 、R；比为 p:q）
3、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的
底面直径为
。
2
（答案：
3
3a m ）
4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。
2、棱台的两个底面面积分别是 的高为 35cm，求这个棱台的体积。
245c ㎡和 80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥 （答案： 2325cm3）
3. 已知圆锥的侧面积是底面积的 的体积 .
2 倍，它的轴截面的面积为 4，求圆锥
4. 高为 12cm 的圆台，它的中截面面积为 它的侧面积。
讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？ 列式 → 计算 → 变式训练：内外涂
② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为 440mm，高是 200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积 .
80mm、
三、巩固练习： 1. 已知底面为正方形， 侧棱长均是边长为
其表面积 .
5 的正三角形的四棱锥
二、讲授新课：
1. 教学表面积计算公式的推导： ① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形， 各面面积和）
② 练习：1.已知棱长为 a，各面均为等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积 .(教
材 P24 页例 1)
2.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为 求其表面积 .
4，侧棱与底面垂直，侧棱长 10,
③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→
侧→表）
圆柱 ：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）
，
S圆柱侧 =2 rl ，S 圆柱表 =2 r (r l ) ，其中为 r 圆柱底面半径， l 为母线长。
圆锥 ：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周
)
6
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
2
3
R
3
Ｖ球
4 R3 3
练习：一种空心钢球的质量是 142g, 外径是 5cm,求它的内径 ( 钢的密度
是 7.9g/cm 3)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量 , 它也是球半径 R 的函数 , 由于球面是
不可展的曲面 , 所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面
3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。 从而增强学习的积极性。 教学重点：运用公式解决问题 .
教学难点：理解计算公式之间的关系 .
教学用具：投影仪，三角板
教学方法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖
年月日 批注
析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝
4 π R3 3
和面积公式Ｓ＝４ πR2 的方法， 即“分割求近似值， 再由近似和转化为球的体
积和面积”的方法，体现了极限思想。
3.情感与价值观
通过学习， 使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，
提
高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
长 ，侧面 展开图 扇形中心角为
r
0
360 ， S 圆锥侧 = rl ，
l
S圆锥表 = r ( r l ) ，其
中为 r 圆锥底面半径， l 为母线长。
圆台 ：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，
外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环 中心角为
Rr
0
360
，
S
圆台侧
=
l
S圆台表 =
2
(r
rl
1 (S' 3
S ' S S ) h 1 ( r 2 rR R 2 ) h （ r、R 分别为圆台上底、
3
⑦ 比较与发现：柱、锥体上底缩为一点时，台成为锥；当台
体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令
S’=S 和 S’=0 便可以
教学重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
教学难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
教学用具：三角板，投影仪
教学方法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、
求近似值的和，再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方
法和步骤。
教学过程：
（一） 创设情景
③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表
示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。
在圆柱容球中， 球的体积是
2
2
圆柱体积的 ，球的表面积也是圆柱全面积的
.
3
3
五、课堂小结：
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决
相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确
课题： 柱、锥、台体的表面积与体积（一） 第 课时 总序第 个教案
课型： 新授课
编写时时间： 年 月 日
执行时间： 年 月 日
教学目标：
批注
1、知识与技能 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（ 2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与柱体和锥
体之间的转换关系。
原理）
② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
→给出柱体体积计算公式： V 柱 Sh （S 为底面面积， h 为柱体的高）→
2
V圆 柱 Sh
rh
③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 之间的体积关系？ ④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？
等底等高的圆锥、棱锥
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展
开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体
积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二） 探究新知
1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，
当距离很小之时得到很多 “小圆片”，
课型： 新授课
编写时时间： 年 月 日
执行时间：
教学目标：
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
（ 2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥
体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法
让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。
讨论： 六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关 系求个数？
→ 列式计算 → 小结：体积计算公式
② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形容器中，量得水面高度
为 6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，
求水面的高度 .
三、巩固练习： 1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，
积公式 , 所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推
导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为 R的球的表面积为
Ｓ＝４ πR2
练习： 长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5，是它的八个顶点都
在同一球面上，则这个球的表面积是
。 （答案 50 元）
（三）体积公式的实际应用：
n
如图：
n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似
得
2R
R3
i 12
Vi
ri
[1 ( ) ] ( i 1、２
n)
nn
n
第二步：求和 Ｖ 半球 ＝ v1 v2 v3 第三步：化为准确的和
vn
R3 [1
(1
1 n
)(
2
1 n
)
]
6
1
当 n→∞时， n →0 （同学们讨论得出）
所以
3
12
Ｖ 半球 ＝ R (1
→给出锥体的体积计算公式：
1
V锥
Sh
3
S 为底面面积， h 为高）
⑤ 讨论：台体的上底面积 S’，下底面积 S，高 h，由此如何计算切割前的锥体
的高？
→ 如何计算台体的体积？
⑥ 给出台体的体积公式：
V台
1' (S
3
积， h 为高）
'
'
S S S ) h （ S， S 分别上、下底面
→ V圆 台 下底半径）
从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体
的体积公式
讨论：侧面积公式是否也正确？ 如何统一？
圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可
公式记忆： V锥
V台
1 Sh
3
1' (S
3
'
S S S) h
V圆 台
1 (S' 3
S ' S S ) h 1 ( r 2 rR 3
R2 )h
2. 教学体积公式计算的运用： 例 1、一堆铁制六角螺帽， 共重 11.6kg, 底面六边形边长 12mm，内空直径 10mm， 高 10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度 7.8g/cm 3）
编写时时间： 年 月 日
执行时间：
年月 日 批注
⑴通过对球的体积和面积公式的推导， 了解推导过程中所用的基本数学思想方
法：“分割——求和——化为准确和” ，有利于同学们进一步学习微积分和近代
数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2.过程与方法
225π cm2, 体积为 2800cm3，求
5. 仓库一角有谷一堆， 呈 1/4 圆锥形， 量得底面弧长 2.8m ，母线长 2.2m， 这堆谷多重？ 720kg/m 3
四、小结 ：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用 五、作业：
教学后记：
课题： 球的体积和表面积
第 课时
总序第
个教案
课型： 新授课 教学目标： 1. 知识与技能
Rl
R2) .
(r R)l ，
④ 练习：一个圆台， 上、下底面半径分别为 10、20，母线与底面的夹角为
求圆台的表面积 .
（变式：求切割之前的圆锥的表面积）
60°，
2. 教学表面积公式的实际应用： ① 例 2P25：一圆台形花盆，盘口直径 20cm，盘底直径 15cm，底部渗水圆孔 直径 1.5cm，盘壁长 15cm.. 为美化外表而涂油漆， 若每平方米用 100 毫升油漆， 涂 200 个这样的花盘要多少油漆？
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。
3、情感与价值 通过学习， 使学生感受到几何体面积的求解过程，
对自己空间思维能力影
响。从而增强学习的积极性。
教学重点：运用公式解决问题 . 教学难点：理解计算公式的由来 . 教学用具：三角板，投影仪
例①：一种空心钢球的质量是 7.9g/cm 3）
142g，外径是
讨论：如何求空心钢球的体积？
→ 列式计算 → 小结：体积应用问题 .
5.0cm，求它的内径 . （钢密度
② 有一个倒圆锥形容器， 它的轴截面是一个正三角形， 在容器内 放入一个半径为 R 的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后 将球取出，求此时容器中水的深度 .
“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆 柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应 的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和” 的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作 n 等分，过这些等分点，用
一组平行于底面的平面把半球切割成 为 R ，底面是“小圆片”的底面。
3 ，求这个圆锥的表面积 .
5. 圆锥的底面半径为 2cm，高为 4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值 .
6. 面积为 2 的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？ 四 小结 ：表面积公式及推导；实际应用问题 五、作业： 教学后记：
课题： 柱、锥、台体的表面积与体积（二） 第 课时 总序第 个教案
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？ 2. 练习：正六棱锥的侧棱长为 6, 底面边长为 4, 求其表面积 . 3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？ 二、讲授新课：
1. 教学柱锥台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅
(gèng，祖冲之的儿子 )
和”的解题方法。
六、作业：
1 、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为
教学方法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖 析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 式？
正方体、长方体的表面积计算公
2. 讨论： 圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公 式？