高考数学一轮复习第三章导数及其应用课时跟踪训练16导数与函数的极值、最值文

课时跟踪训练(十六) 导数与函数的极值、最值
[基础巩固]
一、选择题
1．(2016·四川卷)已知a 为函数f (x )＝x 3
－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4
D ．2
[解析] 由题意得f ′(x )＝3x 2
－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，
f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈
(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.
[答案] D
2．设函数f (x )＝2
x
＋ln x ，则( )
A ．x ＝1
2为f (x )的极大值点
B ．x ＝1
2为f (x )的极小值点
C ．x ＝2为f (x )的极大值点
D ．x ＝2为f (x )的极小值点
[解析] ∵f (x )＝2x ＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2
x
2(x >0)，由f ′(x )＝0得x ＝2.当
x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，
∴x ＝2为f (x )的极小值点．
[答案] D
3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3
＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )
A ．1百万件
B ．2百万件
C ．3百万件
D ．4百万件
[解析] y ′＝－3x 2
＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0； 当x >3时，y ′<0.
故当x ＝3时，该商品的年利润最大． [答案] C
4.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
[解析] 由图可知当x <－2时，(1－x )f ′(x )>0；当－2<x <1时，(1－x )f ′(x )<0；当1<x <2时，(1－x )f ′(x )>0；当x >2时，(1－x )f ′(x )<0.所以x <－2或x >2时f ′(x )>0；－2<x <1或1<x <2时f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增；在(－2,1)和(1,2)上单调递减．所以当x ＝－2时函数f (x )取得极大值；当x ＝2时函数f (x )取得极小值．故D 正确．
[答案] D
5．(2017·河北三市二联)若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2
＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调
函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( )
A ．2b －4
3
B ．32b －23
C ．0
D ．b 2
－16
b 3
[解析] f ′(x )＝x 2
－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )·(x －2)，∵函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3<b <1，则由f ′(x )>0，得x <b 或x >2，由f ′(x )<0，得b <x <2，∴函数
f (x )的极小值为f (2)＝2b －4
3
.
[答案] A
6．若函数f (x )＝x 3
－3x 在(a,6－a 2
)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2,1)
D ．(－2,1)
[解析] 由f ′(x )＝3x 2
－3＝0，得x ＝±1，且x ＝－1为函数的极大值点，x ＝1为函数的极小值点．若函数f (x )在区间(a,6－a 2
)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间
(a,6－a 2
)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a
满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
a <1<6－a 2
，f a f ，
得
⎩⎨⎧
－5<a <1，
a 3
－3a ＋2≥0，
解得－2≤a <1，故选C. [答案] C 二、填空题
7．f (x )＝2x ＋1
x 2＋2的极小值为________．
[解析] f ′(x )＝
x 2＋
－2x x ＋
x 2＋
2
＝
－
x ＋x －
x 2＋
2
.
令f ′(x )<0，得x <－2或x >1. 令f ′(x )>0，得－2<x <1.
∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－1
2.
[答案] －1
2
8．函数f (x )＝e x
－x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． [解析] 因为f (x )＝e x
－x ，所以f ′(x )＝e x
－1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.且当x >0时，
f ′(x )＝e x －1>0，x <0时，f ′(x )＝e x －1<0，即函数在x ＝0处取得极小值，f (0)＝1，又f (－1)＝1
e
＋1，f (1)＝e －1，综合比较得函数f (x )＝e x －x 在区间[－1,1]上的最大值是e
－1.
[答案] e －1
9．若f (x )＝x (x －c )2
在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． [解析] f ′(x )＝(x －c )2
＋2(x －c )x ＝(x －c )(3x －c )， 因为函数f (x )在x ＝2处有极大值， 所以f ′(2)＝0，得c ＝6或c ＝2，
当c ＝6时，由f ′(x )>0，得x <2或x >6；由f ′(x )<0，得2<x <6，所以f (x )在x ＝2处取得极大值．
当c ＝2时，由f ′(x )>0，得x <23或x >2；由f ′(x )<0，得2
3<x <2，所以f (x )在x ＝2处
取得极小值．不合题意．
综上所述，c ＝6.
[答案] 6 三、解答题
10．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，
(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．
[解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x
. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2
x
(x >0)，
因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，
所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝
x －a
x
，x >0知：
①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .
又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，
从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；
当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．
[能力提升]
11．(2017·浙江金华、丽水、衢州十二校联考)如图，已知直线y ＝kx ＋m 与曲线y ＝
f (x )相切于两点，则F (x )＝f (x )－kx 有( )
A ．1个极大值点，2个极小值点
B ．2个极大值点，1个极小值点
C ．3个极大值点，无极小值点
D ．3个极小值点，无极大值点
[解析] F ′(x )＝f ′(x )－k ，如图所示，从而可知F ′(x )共有三个零点x 1，x 2，x 3，由图可知，F (x )在(－∞，x 1)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，在(x 2，x 3)上单调递减，在(x 3，＋∞)上单调递增，∴x 1，x 3为极小值点，x 2为极大值点，即F (x )有1个极大值点，2个极小值点，故选A.
[答案] A
12．(2018·河北唐山一模)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于A ，B ，则|AB |的最小值为( )
A ．3
B ．2
C ．324
D ．32
[解析] 当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，x ＝a
2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，
则|AB |＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪t －a
2＋1＝⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪t －
t ＋ln t
2
＋1＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪t 2－ln t 2＋1.设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －1
2t
，令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)，g ′(t )<0；t ∈(1，＋∞)，g ′(t )>0， 所以g (t )min ＝g (1)＝3
2
，
所以|AB |≥32，即|AB |的最小值为3
2.
[答案] D
13．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2
)e x
. (1)讨论f (x )的单调性；
(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝(1－2x －x 2
)e x
.
令f ′(x )＝0得x ＝－1－2，x ＝－1＋ 2.
当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0；当
x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.
所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．
(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x
.
当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x ，h ′(x )＝－x e x
<0(x >0)，因此h (x )在[0，＋∞)单调递减，而h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.
当0<a <1时，设函数g (x )＝e x －x －1，g ′(x )＝e x
－1>0(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)单调递增，而g (0)＝0，故e x
≥x ＋1.
当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2
，(1－x )(1＋x )2
－ax －1＝x (1－a －x －x 2
)，取x 0＝5－4a －12，则x 0∈(0,1)，(1－x 0)·(1＋x 0)2
－ax 0－1＝0，故f (x 0)>ax 0＋1.不合题意． 当a ≤0时，取x 0＝5－12
，则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2
＝1≥ax 0＋1.不合题意．
综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．
14．(2018·山东潍坊模拟)设f (x )＝x ln x －ax 2
＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． [解] (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax
x
.
当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增． 当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减． 所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)； 当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12a ，
单调减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，
所以，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．
②当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，
可得，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.
所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，1
2a
＝1，
f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤f ′(1)＝0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<1
2a <1，
当x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意．
综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. [延伸拓展]
(2017·海南华侨中学考前模拟)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c 在定义域x ∈[－2,2]上表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题 ：
①f (x )是奇函数；②若f (x )在[s ，t ]内递减，则|t －s |的最大值为4；③若f (x )的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝0；④若对∀x ∈[－2,2]，k ≤f ′(x )恒成立，则k 的最大值为2.
其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
[解析] 由题意得函数过原点，则c ＝0.又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
f
＝3＋2a ＋b ＝－1，f
－
＝3－2a ＋b ＝－1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝－4.
所以f (x )＝x 3
－4x ，f ′(x )＝3x 2
－4＝0.
①因为f (－x )＝－x 3
＋4x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数，①正确；
②由f ′(x )≥0得x ≥233或x ≤－233，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－233，233内单调递减．若f (x )
在[s ，t ]内递减，则t ≤233，s ≥－233时，|t －s |的最大值为43
3
，②错误；
③由奇函数的图象关于原点对称可知，最大值与最小值互为相反数，f (x )的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝0，③正确；
④若对∀x ∈[－2,2]，由于f ′(x )＝3x 2
－4∈[－4,8]，则k ≤f ′(x )恒成立，则k ≤－4，则k 的最大值为－4，④错误．故正确的个数为2，故选B.
[答案] B。