数形结合思想在初中数学教学中的应用

数形结合思想在初中数学教学中的应用
广西南宁市第二十一中学（530031）黄昌献
［摘要］数学教师将数形结合思想融入教学之中，可以将抽象的数学概念转换为直观的图形，增强学生对数学
知识的认知，降低数学学习难度，激发学生的学习兴趣，提升课堂教学效率。

文章对数形结合思想在实数运算、整式运算、全等三角形、一次函数、二元一次方程中的应用进行分析探讨。

［关键词］数形结合思想；初中数学；应用［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A ［文章编号］1674-6058（2023）05-0017-03
数学学科具有很强的抽象性，致使学生对一些数学知识认识不到位，对基本的数学概念理解不深入，从而对数学学习缺乏兴趣，甚至产生厌学的情绪，导致数学学习成绩不理想，这十分不利于学生的长远发展。

数学教师将数形结合思想融入初中数学教学中，可以让抽象的数学概念转化为直观的图形，从而增强学生对数学知识的认知，降低数学学习难度，激发学生的学习兴趣，提升课堂教学效率。

数形结合思想将几何与代数进行结合，将抽象思维与形象思维相结合，以此来增强学生对数学知识的认知。

将数形结合思想融入初中数学教学中，可以引导学生从不同角度去看待数学问题，寻找数学问题的多种解决方法，从中选择最佳解决办法，从而更好地培养学生的数学思维，提高学生的解题能力。

然而在初中数学教学中，教师对数形结合思想的认识不到位，在基本概念知识的讲解过程中未能很好地将数形结合思想融入，致使概念教学的启发性不强，学生很难将基础知识运用到实际解题中，为学生后续的学习带来了困难。

除此之外，教师未能将数形结合思想与实际教学相结合，对学生数形结合思想的培养不到位，学生未能深入理解数形结合思想的内涵及其应用价值。

在初中数学教学中，教材中的典型例题主要是引导学生将基础知识运用到实际解题当中，例题的形式是丰富且多样的，但其考查的根本知识点及其方法是没有变化的。

但是，有的教师在教学中对于例题的讲解并不深入，未能将数形结合思想运用到例题讲解中，最大限度地发挥例题的价值，帮助学生形成良好的解题思路。

那么如何在初中数学教学中有效应用数形结合思想呢？
一、数形结合思想的应用案例分析
在初中数学教学中，数形结合思想的应用十分广泛，本文主要介绍数形结合思想在实数运算、整式运算、全等三角形、一次函数、二元一次方程中的应用。

（一）数形结合思想在实数运算中的应用
［例1］如图1所示，在数轴上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，其中哪个点的位置最接近34-4
？
图1
数轴上的每一个点必定表示一个实数，反过来，每个实数都可以用数轴上的点来表示，二者是一一对应的关系。

因此，关于数轴上点的问题可以转化为实数的运算问题，本题的具体解题过程如下。

因为52<34<62，所以5<
34<6，即1<
34-4<2，所以D 点与34-4最接近。

（二）数形结合思想在整式运算中的应用
［例2］如图2所示，在边长为x 的正方形中，剪去一个边长为y 的小正方形（x >y ），将剩下的部分拼成一个梯形，根据两个图形白色部分的面积关系，写出一个关于x 、
y
的关系式。

图2
通过图形观察比较直观，但是需要以“数”解“形”。

对于多个图形，教师应引导学生从多个维度进行分析，进而找到其中隐含的等量关系。

对于例2，利用数形结合思想的解题过程如下：
对于第一个图形，其空白部分面积可以表示为
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大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的
面积为x2，小正方形的面积为y2，所以第一个图形
空白部分的面积为x2-y2。

第二梯形的面积可利
用梯形面积公式进行求解，由于梯形的上底是2y，
下底是2x，高为（x-y），因此梯形的面积为S=
（2y+2x）×（x-y）÷2=（x+y）（x-y）。

由于两个
图形的空白部分面积相等，因此可以得到x2-y2=
（x+y）（x-y）。

上述关系式的推导过程为平方差
公式的推导过程。

（三）数形结合思想在全等三角形中的
应用
［例3］如图3所示，在
三角形ABC中，AB=AC
点E、F在边BC上
，连接
AE、AF，∠BAF=∠CAE，延
长AF到点D，使AD=AC，
连接CD。

若∠ACF=30°，∠AEB=130°，求∠ADC
的度数。

在解答本题的过程中，需将数形结合思想与全
等三角形进行有机结合，进而求得∠ADC的度数。

具体解题过程如下：
∵∠BAF=∠CAE，
∴∠CAF=∠BAE，
∵AB=AC，
∴∠ACF=∠ABE，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠AFC=∠AEB=130°，
∵∠ACF=30°，
∴∠CAF=180°-130°-30°=20°，
又∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=80°，
故∠ADC的度数为80°。

（四）数形结合思想在一次函数中的应用
［例4］如图4所示，一
次函数y1=ax+b与一次
函数y2=kx+4的图象相
交于点P（1，3），则下列说
法：①x=1是方程ax+b=
3的一个解；②方程组
ì
í
î
y=ax+b，
y=kx+4
的解是
ì
í
î
x=3，
y=1；③不等式ax+b>kx+
4的解集是x>1；④不等式ax+b<kx+4<4的
解集是0<x<1。

其中正确的个数是（）。

A.1
B.2
C.3
D.4
一次函数涉及函数表达式及相应的图形，在解
决一次函数问题的过程中，数形结合思想的应用尤
为重要。

在解答本题的过程中充分运用数形结合
思想，其解题过程如下：
分析图象可知，①点P（1，3）在图象y1=ax+b
上，所以x=1是方程ax+b=3的一个解，故①说
法正确。

②因为两个函数的交点为P（1，3），所以方
程组
ì
í
î
y=ax+b，
y=kx+4
的解是
ì
í
î
x=1，
y=3，故②说法错误。

③当ax+b>kx+4时，即y1>y2，由图象可得知y1
的图象在y2的上方，则x的取值范围应是x>1，所
以该不等式的解集应为x>1，故③说法正确。

④
不等式ax+b<kx+4<4可以看作y1<y2<4，直
线y2=kx+4与y轴的交点为（0，4），所以通过图象
可得知不等式ax+b<kx+4<4的解集应为0<
x<1，故④说法正确。

因此，正确结论有3个，选择
C选项。

（五）数形结合思想在一元二次方程中的
应用
［例5］如图5所示，在某小区内部有一块长方
形空地，其长为18m，宽为6m。

规划在其内部修
建两块相同的长方形绿地，且它们的面积之和为
60m2，在两块绿地之间及周边留有宽度相等的人
行通道，问人行通道的宽度是多少？
图5
根据题干可知，本题考查的是一元二次方程，
通过列方程的形式来解决此几何问题，具体解题过
程如下：
假设人行通道的宽度为x米，将长方形内部的
两块绿地进行平移得到一个新的长方形，则该长方
形的长为（18-3x）米，宽为（6-2x）米，则可列方
程（18-3x）（6-2x）=60，化简得x2-9x+8=0，
解得x1=8，x2=1。

当x1=8时，人行通道的宽度
大于长方形空地的宽度，不符合题意，舍去，最终可
得到人行通道的宽度为1米。

二、数形结合思想的应用反思
（一）以形助数
初中数学教材融合了几何与代数基本知识，教
图3
b
+4
图4
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材中的一些概念、定义会涉及大量的数学语言，学
生理解起来有很大难度，致使学生未能透彻理解，进而导致学生在后期学习应用中错误频出，从而打击学生学习的积极性。

因此，教师在初中数学教学中应加强数形结合思想的应用，将抽象的数学概念转化为直观的数学图象，以加强学生对数学概念知识的认识与理解。

例如，在讲解“函数”概念时，教材上有关函数的定义为：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。

此定义学生理解起来会很吃力，教师可以将其中的函数关系用图象来表示，以便学生深入地了解其中的对应关系。

在初中数学教学中，教师应注重培养学生的数形结合思想，教师应引导学生自主探索利用数学结合思想解决数学问题的方法，将题干中的代数信息转化为图形，结合图形特点进行求解。

通过不断地训练，提升学生解决数学问题的能力。

例如，在讲解二次函数时，教师可利用多媒体将二次函数的图象呈现出来。

对于二次函数增减性的变化、图象变换等知识点，教师可通过几何画板制成动态图象，以加深学生对相关知识的理解。

总之，在初中数学教学中，教师应以形助数，增强学生对抽象知识的理解。

（二）以数解形
在题目涉及较多几何图形时，学生在解题过程中往往束手无策。

对此，教师应引导学生利用代数思维来理解图形内容，以解决问题。

例如，在求解几何动点问题中某图形的最大面积时，由于其动点变化情况多样，教师在讲解时可以结合代数思维将其进行分类，分别求解各种情况下图形的面积并加以比较。

将以数解形的思想运用到几何动点问题中，可以帮助学生更好地理解题目，找到合适的解题方法，求出正确的答案。

在几何探究中，教师可以引导学生将图形放置到平面直角坐标系中，将相关问题的求解转化为代数问题，使得求解过程更加简便，以此增强学生对相关知识的认知。

在初中数学教学中，教师应培养学生以数解形的思维，引导学生将复杂图形简单化，降低学生的解题难度，更好地培养学生的数学思维，提高学生的数学学习水平。

（三）数形结合
在初中数学教学中，教师应将数形结合思想贯
穿整个数学教学中，加大对学生数形结合思想的培养。

在课前预习环节中，教师可引导学生利用数形结合思想去预习相关知识，记录预习中遇到的问题，以便上课时带着问题听讲，加深学生对数学知识的理解。

在课上，教师在讲解数学概念、经典例题时，可将代数思维与几何思维进行有机结合。

对于同一道题，教师可向学生讲解多种解题方法，如只采用几何方法、只采用代数方法、代数方法与几何方法相结合等。

通过多种解题方法的对比学习，可以强化学生对数形结合思想的掌握。

学生在掌握数形结合思想之后，还需不断地加强训练，真正地将其理论知识应用于实践当中。

在课下，教师可以给学生布置适当的数学练习题，要求学生采用数形结合思想来解答。

在反复练习中，加强学生对数形结合思想的运用，进而更好地培养学生的数学思维能力。

综上所述，在初中数学教学中教师应引导学生充分利用数形结合思想来解题，提高学生的学习效率，培养学生的数学思维。

教师还应充分发挥数形结合思想中以形助数、以数解形的作用，将数形结合思想应用到教学全过程，以提高学生的数学学习水平。

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（责任编辑黄桂坚）
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