巧用函数的单调性解题

巧用函数的单调性解题
【知识回顾】
1. 函数的单调性是研究函数随自变量变化的一种趋势,它是函数的一个非常基本而又非常重要的性质。

运用函数的单调性可以比较函数值的大小,可以求函数的最值。

除此之外,我们还可以利用函数的单调性解不等式，解方程和求参数的范围。

如果在解题中能充分巧用好函数的单调性这一基本性质，可以很快解决一些高考小题。

2.熟知的初等函数图像与性质：
（1）一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; （2）反比例函)0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; （3）二次函数c bx ax x f ++=2
)()0(≠a :定义域R 值域：当0>a
时，⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧
-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2
（4）指数函数的图象与性质
y ＝a x
a >1
0<a <1
图象
定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质
过定点(0,1)
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
a >1
0<a <1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
x
k
x f =
)(
（6）对勾函数b y ax x
=+)0,0(>>b a 的图像与性质：
函数
b
y ax x
=+)0,0(>>b a 图象
定义域 ),0()0,(+∞⋃-∞ 值域 ),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab
奇偶性：
在定义域内为奇函数．
性质
在（∞+,a
b ），（a b -∞-,）,
上是增函数
在（0，a b ），（a b -,0）
上是减函数
定义
形如α
x y =（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.
图像
性质
过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象
限内，图象无限接近x 轴与y 轴．
函数的单调性是一类常考问题，这种问题通常以选择和填空出现,难度较小,但是需要的是细心读题，往往与不等式的性质同时考查。

主要考查一些常见函数的图象与性质，利用函数的单调性比较大小，通常的思路方法是先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性。

研究函数的单调性时,可灵活采用定义法、图象法、导数法，了解函数在定义域内的区间上的单调性,在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等,模拟画出函数的图象,最后利用数形结合思想,达到求最值,比较大小。

高考真题精讲】
考点1在定义域内利用函数的单调性比较大小，先分类：可以分成正数和负数或分成大于1和1的数，比较两个对数大小若同底可利用对数函数的单调性，若不同底可以借助常数为媒介搭桥比较也可以借助对数函数图象来确定对数值的取值范围进行比较。

（1）)(x f y =是单调增函数⇔由2121)()(x x x f x f <⇔<； （2）)(x f y =是单调减函数⇔由2121)()(x x x f x f <⇔>。

1. 若不等式(1
2)x
2−2ax
<23x+a 2
恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. (0,−1)
B. (3
4,+∞)
C. (0,3
4)
D. (−∞,3
4)
2. 如果log a 8>log b 8>0，那么a ，b 的关系是( )
A. 0<a <b <1
B. 1<a <b
C. 0<b <a <1
D. 1<b <a
3. 已知
<
，
<
.设a =
3，b =
5，c =
8，则( )
A. a <b <c
B. b <a <c
C. b <c <a
D. c <a <b
4. 已知实数a 、b ，满足a =log 23+log 64，3a +4a =5b ，则关于a 、b 下列判断正
确的是（ ）A. a <b <2 B. b <a <2 C. 2<a <b D. 2<b <
a
5. 设a =log 0.50.8，b =log 0.60.8，c =1.10.8，则a 、b 、c 的大小关系为( )
A. a <b <c
B. b <a <c
C. b <c <a
D. a <c <b
6. 已知a =1.90.4,b =1og 0.41.9,c =0.41.9，则( )
A. a >b >c
B. b >c >a
C. a >c >b
D. c >a >b
7. 已知a =3−1
3，
，
，则( )
A. a >b >c
B. a >c >b
C. c >a >b
D. c >b >a
8. 设a =log 13
1
4，b =(14
)1
4，c =(1
3
)1
3，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A.
B.
C. D.
9. 已知a =(5
3)0.2，b =(2
3)10，c =log 0.36，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. a >b >c
B. b >a >c
C. b >c >a
D. a >c >b
10. 已知奇函数f(x)在
上是增函数，若
，b =f(log 24.1)，c =f(20.8)，
则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a <b <c
B. b <a <c
C. c <b <a
D. c <a <b
11. 已知a =20180.2，b =0.22018，c =log 20180.2，则( )
A. c >b >a
B. b >a >c
C. a >b >c
D. a >c >b
12. 设a =log 131
4，b =(1
4)14
，c =(1
3
)1
3
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A. a <b <c
B. c <b <a
C. b <c <a
D. c <a <b
13. 设a =log 0.80.9，b =log 1.10.9，c =1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. b <a <c
B. a <c <b
C. a <b <c
D. c <a <b
14. a =log 0.70.8 , b =log 1.10.9 , c =1.10.9的大小关系是( )
A. c >a >b
B. a >b >c
C. b >c >a
D. c >b >a
15. 若a =(3
5)4，b =(3
5)3，c =log 33
5，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A. c >b >a
B. c >a >b
C. a >b >c
D. b >a >c
16. 已知a =π1
3,b =log π3,c =ln(√3−1)，则a,b,c 的大小关系是( )
A. a <b <c
B. b <c <a
C. c <b <a
D. b <a <c
考点2利用函数的单调性比较函数值的大小较为复杂，无法通过计算求解,此时,我们可以考虑构造新的函数,利用函数的单调性来比较两个函数值的大小. 1.（2020全国1卷）若242log 42log a b a b +=+，则（ ）
A. a>2b
B. a<2b
C. b>2a
D. b<2a
2.（2015全国1卷）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )
A. 2x <3y <5z
B. 5z <2x <3y
C. 3y <5z <2x
D. 3y <2x <5z
3.已知t >1，x =log 2t ，y =log 3t ，z =log 5t ，则( )
A. 2x <3y <5z
B. 5z <2x <3y
C. 3y <5z <2x
D. 3y <2x <5z
4.若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是（ ）
A. 2x >x 1
2>lgx
B. 2x >lgx >x 1
2
C. x 12>2x >lgx
D. lgx >2x >x 1
2
5.已知f(x)=1
2x 2+ln |x |.若a =f(0.30.2)，b =f(0.20.3)，
c =f(log 0.31
0.2)，则（ ） A. c <a <b B. c <b <a C. a <b <c D. b <a <c
6.已知正数x ，y ，z 满足2x =3y =6z ，则下列结论正确的是( )
A. 1x +1y >1
z
B. 1x +1y <1
z
C. x +y <4z
D. x +y >4z
7.设函数x x x f )41(log )(4-=，x
x x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41log )(4
1的零点分别为21x x 、，则( )
A. 121=x x
B. 0＜21x x ＜1
C.1＜21x x ＜2
D. 21x x 2≥
8.设方程5−x =|lg x|的两个根分别为x 1,x 2，则( )
A. x1x2<0
B. x1x2=1
C. x1x2>1
D. 0<x1x2<1。