九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案) (161)

九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全（含答案）
1．如图，一块含有30°的直角三角板的直角顶点和坐标原点O 重合，30°角的顶点A 在反比例函数k y x
=
的图象上，顶点B 在反比例函数2y x =的图象上，则k 的值为（ ）
A ．-4
B ．4
C ．-6
D ．6
【答案】C
【分析】
根据特殊锐角的三角函数值可得
tan 30OB OA =︒=再利用相似三角形的性
质，可得213
OBD
AOC S S ∆∆==，由反比例函数k 的几何意义可得1OBD S ∆=，进而得出33AOC OBD S S ∆∆==，再由反比例函数k 的的几何意义可得出k 的值．
【详解】
解：过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，
在Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，90AOB ∠=︒，
∴tan 303
OB OA =︒=， 90BOD OBD ∠+∠=︒，1809090BOD AOC ∠+∠=︒-︒=︒，
AO OBD C ∴∠=∠，
又90ACO ODB ∠=∠=︒，
AOC OBD ∴∆∆∽，
∴213
OBD AOC S S ∆∆==， 点B 在2y x =
的图象上， 1||12
OBD S k ∆∴==， 13313||2AOC OBD S S k ∆∆∴==⨯==
， 6k ∴=±， 又点A 在第二象限，
6k ∴=-，
故选：C ．
【点睛】
本题考查反比例函数k 的几何意义，特殊锐角的三角函数值，相似三角形的性质等知识，理解相似三角形的性质和锐角三角函数之间的关系是解决问题的关键．
2．计算3tan30︒的值等于( )
A ．3
B
．C
．D
【答案】D
【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
∵tan 30︒=，
∵3tan 30︒=.
故选：D ．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，下列式子不一定成立的是（ ）
A ．tan cot A
B =
B ．22sin cos 1A A +=
C ．22sin sin 1A B +=
D ．tan cot 1A B ⋅=
【答案】D
【分析】
可根据三角函数的定义解答；亦可运用互为余角的锐角三角函数关系式：tanA=cotB ；sin 2A+sin 2B=1（∵A+∵B=90°）解答．
【详解】
解：如图所示，
Rt ∵ABC 中，设AC=b ，BC=a ，AB=c ．
根据锐角三角函数的定义，得
A 、tanA=a b
=cotB ．正确； B 、sin 2A+cos 2A=(a c )2+(b c )2=222
b a
c +=1．正确；
C 、sin 2A+sin 2B=(a c )2+(b c )2=222
b a
c +=1．正确； D 、tanA •cotB=a b •a b
，只有当∵A=∵B=45°时，tanA •cotB=1．错误． 故选D ．
【点睛】
求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值；
或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
4．如图，Rt △ABC 中，△BAC=90°，AD △BC 于D ，设△ABC=α，则下列结论错误的是（ ）
A ．BC=sin AC
a B ．CD=ADtan α C ．BD=ABcos α D ．AC=ADcos α
【答案】D
【解析】
试题解析：A.在Rt ABC △中, sin AC BC
α=
， .sin AC BC α∴=故A 正确； B. 90,90B BAD CAD BAD ∠+∠=∠+∠=，
B CAD α∴∠=∠=，
在 Rt ADC 中, tan .CD AD
α= tan .CD AD α∴=⋅故B 正确；
C.在Rt △ABD 中，cos BD AB
α=， cos .BD AB α∴=⋅故C 正确；
D.在Rt ADC 中, cos AD AC
α=， cos .AD AC α∴=⋅故D 错误；
故选D.
5．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，且BE △AC 交于点F ，则下列结论中正确的是（ ）
A ．CF=3AF
B ．△DCF 是等边三角形
C ．图中与△AEF 相似的三角形共有4个
D ．tan △CAD=
2
【答案】D
【解析】 分析：由1122AE AD BC ==，又AD ∵BC ，所以1,2AE AF BC FC ==故A 错误，不符合题意；过D 作DM ∵BE 交AC 于N ，得到四边形BMDE 是平行四边形，求出12
BM DE BC ==，得到CN =NF ，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B 错误，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C 错误，不符合题意；由∵BAE ∵∵ADC ,得到CD 与AD 的大小关系，根据正切函数可求tan ∵CAD 的值，故D 正确，符合题意．
详解：A. ∵AD ∵BC ，
∵∵AEF ∵∵CBF ， ∵AE AF BC FC =， ∵1122
AE AD BC ==， ∵2FC AF =， 故A 错误，不符合题意；
B. 过D 作DM ∵BE 交AC 于N ，
∵DE ∵BM ,BE ∵DM ，
∵四边形BMDE 是平行四边形， ∵12
BM DE BC ==， ∵BM =CM ，
∵CN =NF ，
∵BE ∵AC 于点F ,DM ∵BE ，
∵DN ∵CF ，
∵DF =DC ，
∵DCF 是等腰三角形，无法判定是等边三角形，
故B 错误，不符合题意；
C. 图中与∵AEF 相似的三角形有∵ACD ，∵BAF ，∵CBF ，∵CAB ，∵BEA 共有5个，故C 错误，不符合题意；
D. 设AD =a ,AB =b 由∵BAE ∵∵ADC ,有
.2b a a b
=
∵tan 2CD b CAD AD a ∠=== 故D 正确，符合题意.
故选D.
点睛：属于综合题，考查相似三角形的判定，矩形的性质，解直角三角形等，掌握每个知识点是解题的关键.。