四设计FIR滤波器的最优化方法

设误差函数值为δ，则

W
k



H
d
k


P
k


1k

k 0, r
r 1
其中： P k ncoskn
n0
Hˆ
d
k


1k Wˆ k

P
k

k 0, r
1 cos0 cos 20

1 cos1 cos 21

1 cosr cos 2r

cos r 10 cos r 11
cos r 1r
1
Wˆ
0



0

Wˆ
1
1




1

1r

r 1

1 2 3 r r1
使得 E i E i1 i 1,2, ,r
且
E i

max
A

E


设要求滤波器频率响应：
Hd
e j
1 0
0 c s
寻找一个 H e j 使其在通带和阻带内最佳地一致逼近 Hd e j
参数：c ，st，1，2，N
根据交错定理：
若 H e j Hd e j 最佳一致逼近 则 H e j 在通、阻带内具等波纹性
故又称等波纹逼近
极值点数目
E 最大极值点数 H 的极值点数＋E 单有极点
r 1
根据 H ncosn
n 0,1,..., N 1 2
b
1

b
0

1 2
b
1
b

n

1 2
b

n

b
n

1
b

N 2


1 2
b

N 2
1
由下而上由 bn 求 b n
n 2,3, , N 1 2
c
1

c
0

1 2
加权逼近误差：E




W




H
d



P


6）用Remez算法，求逼近问解的解
7）计算滤波器的单位抽样响应 hn
Remez算法
1）按等间隔设定 r 1个极值点频率的初始值
k k 0, r 其中： c l，st l1，0 l r
1）输入数据，滤波器性能要求，滤波器类型
2）根据类型和 hn的长度N，确定 cos 的个数r
3）在 0, 频率区间，用密集的格点表示离散频率

总格点数


格点密度

r
4）计算各格点频率上的 Hd 和 W 函数值
5）用公式表示逼近问题
将 Hd ，W 表示成 Hˆ d ，Wˆ
hn为偶对称时 L 0
N 1 2
N为奇数：H ancosn n0
N
N为偶数： H



2

n1
b
n

cos


n

1 2

H
e j
j N 1 j L
e 2 e 2 H
hn为奇对称时 L 1
即收敛于其上限
误差曲线每个格点频率上 E
(r+1)个极值点频率处 E ，且正负交错。
加权函数及其它参数的确定：
已知N、c 、st，求最佳 ，通、阻带加权误差相同
若1、2 已知，则可规定加权函数
W





1

1
2
当在通带内 当在阻带内
则经Remez解法迭代得 E 2
N 1
N为奇数：
H



2

c

n

sin
n

n1
N
N为偶数：
H



2

n1
d
n sin


n

1 2

利用三角恒等式将 H 表示成两项相乘形式 H Q P
H Q P Q
N为奇数
h n 偶对称

1d 2

N 2
1
n 2,3, , N 1 2
加权逼近误差函数：
E W Hd H
加权函数
逼近函数
W Hd P Q

W


Q



Hd Q

P

若1、2 已知，则固定c ，改变st 值，重复迭代 使1 、2 满足要求
计算滤波器的单位抽样响应
r 1
由 P ncosn
n0
n为实函数

Re

r n
1 0

n
e
j
n

Re
DTFT n
对 P 频域抽样得P(k)，L点
Wˆ

r




Hˆ Hˆ
d d

0 1






Hˆ d r
Hˆ
d
k


1k Wˆ k

P
k

k 0, r
r 1
其中： P k ncoskn
n0
可求 r 1 未知数： n和δ，但求解困难
n0
其它n
均方误差：
e2 1
2
E e j

2
d
1
2

Hd
e j
H
e j
2
d
N1 hd n h n 2 hd n 2
n0
其它n
当 hd n hn 0 0 n N 1时
e2 min e2
n0 知 H 的极值点数为：Nc r
hn 偶对称
N为奇数 r N 1
N为偶数 r N
2
2
hn 奇对称
N为奇数
r N 1 2
N为偶数
r N 2
E 单有的极值点是除 0, 外的频带端点处
如低通有2个，带通有4个
最优线性相位FIR滤波器的设计步骤
c
2
c
n


1 2
c
n

1

c
n

1
c
n


1 2
c
n

1
n 2,3, , N 5 2
n N 3, N 1 22 d Nhomakorabea1

d

0

1 2
d
1
d
n


1 2
d

n

1
-d
n

d

N 2





W




H
d



P


5）判断是否所有频率上皆有 E
若是，结束计算
P 为最佳逼近，为波纹极值
若否， 求
E

误差曲线的

r

1
个局部极值频率点
作为新的一组交错点组频率，返回步骤2）
重新计算 值，P，E
终止条件：前后两次迭代的 值相等，
N为偶数
1
cos
2
N为奇数 sin
h n 奇对称
N为偶数
sin
2
P
N 1 2
a ncosn
n0
N 1 2
b ncosn
n0
N 3 2
cncosn
n0
N 1 2
d ncosn
n0
其中：
an an
2）用解析法求
r
aiHˆ d i
r i0
1i ai Wˆ i
i0
其中：ai

r k 0
cosi
1
cosk
k i
3）求
P


值
Hˆ
d
k


1k Wˆ k

P
k

k 0,
r
ci

P i


Hˆ d
i

1i
即 hn hd n
0
0 n N 1
其它n
相当于矩形窗
∴矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则
2、最大误差最小化准则 （加权chebyshev等波纹逼近）
当 hn 为偶/奇对称，N为奇/偶数的四种情况
其频响
H
e j
j N 1 j L
e 2 e 2 H
n0
A是 0, 内的一个闭区间(包括各通带、阻带，但 不包括过渡带)， Hˆ d 是A上的一个连续函数,
则 P是Hˆ d 的唯一地和最佳的加权chebyshev
逼近的充分必要条件是：
加权逼近误差函数E 在A中至少有 r 1个极值 点，即A中至少有 r 1个点 i ，且
（L 2M N 时不混叠）
求 P k 的L点IDFT即得 ep n 而 n为实数，又在0 n r 1内不混叠，可得
0 ep n n 2ep n, 1 n r 1
xep (n) 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]RN (n)
四、设计FIR滤波器的最优化方法
1、均方误差最小准则
频率响应误差：
E e j Hd e j H e j
理想频响
实际频响

N 1
hd n e jn hne jn
n
n0
N 1
hd n hn e jn hd n e jn


E




W




H
d



P


加权chebyshev等波纹逼近：
求一组系数 n使各频带上E 的最大绝对值最小
E

min
各系数
maAx
E



A — 各通带和阻带
交错定理：若 P 是r个余弦函数的线性组合。即
r 1
P ncosn
由 n，求得hn n：a n、b n、c n、d n
如 hn 偶对称，N为奇数时
n=a n=a n
由
a
0

h

N 1 2
a
n

2h

N 2
1

n

可求得h(n)
n 1,
N 1 2
如 hn 偶对称，N为偶数时 n=b n bn h n
Wˆ

i

i 0,1,
,r 1
利用重心形式的拉格朗日内插公式得
P
r 1 i0

cos
i cosi
ci
r1
i0

cos
i cosi

其中： i

r 1 k 0
cosi
1
cosk
k i
4）求
E