初中数学人教版八年级上册 完全平方公式

a+b+C=a+(b+c); a-b-C=a-(b+c).
添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括 号里的各项都不变号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号(简记为“负 变正不变”).
探究新知
素养考点4添括号法则的应用 例运用乘法公式计算：
(1)(x+2y-3)(x-2y+3);
(2)(a+b+c)².
解：(1)原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x²-(2y-3)²
=x²-(4y²-12y+9) =x²-4y²+12y-9.
(2)原式=[(a+b)+d²
=(a+b)²+2(a+b)c+c² =a²+2ab+b²+2ac+2bc+c2
计算：(1)(a-b+c²; (2)(1-2x+)(1+2x-y). 解：(1)原式=[(a-b)+c]2
则 x²+y²=52 .
(2)如果x²+kx+81 是运用完全平方式得到的结果， 则k= 18 或-18
(3)已知ab=2,(a+b)²=9, 则(a-b)²的值为1 .
知 识 点 2 添括号法则 去括号：
a+(b+c)=a+b+c
a-(b+c)=a-b-C.
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
A.(a-b)²
B.(-a-b)²
C.-(a+b)²
D.-(a-b)²
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3.运用完全平方公式计算：
(1)(6a+5b)²=36a²+60ab+25b²;(2)(4x-3y)²=16 x²-24xy+9y²;
(3)(2m-1)2=
4m²-4m+1 ;(4)(-2m-1)2= 4m²+4m+1
4.由完全平方公式可知：32+2×3×5+5²=(3+5)²=64 , 运用这一方法计算：4.321²+8.642×0.679+0.6792=
探究新知
想一想下面 各 式 的 计 算 是 否 正 确 ? 如 果 不 正 确 ， 应 当 怎
样改正?
(1)(x+y)²=x²+y² × (x+y)²=x²+2xy+J² (2)(x-y)²=x²-y² × (x-y)²=x²-2xy+y (3)(-x+y)²=x²+2xy+y²× (-x+y)²=x²-2xy+y² (4)(2x+y)²=4x²+2xy+J²× (2x+y)²=4x²+4xy+y²
n)(x-y+m-
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1.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b²,a²-ab+b².
解：a²+b²=(a+b)²-2ab=5²-2×(-6)=37;
a²-ab+b²=a²+b²-ab=37-(-6)=43.
2.已知x+y=8,x-y=4, 求xy. 解：∵X+y=8,∴(x+y)²=64, 即x²+y²+2xy=64①;
(1)(p+1)²=(p+1)(p+ 1)
1
(2)(m+2)²=(m+2 2 (3)(p-1)²=(p-1)(p(4)(m-2)²=(m-2)( 2)
4m+4 +1
4m+4
问题2:根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗?
完全平方公式
(a+b)²=a
b2
(a-b) 二
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和， 加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方 公式.
∴x²+y² -y +2x y
-1 20 ;
(2)∵x²+y²=20,xy=-8,
∴(x+y)²=x²+y²+2xy
=20-16=4.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x²+y²=(x-y)²+2xy=(x+y)²-2xy,(x-y)²=(x+y)²-4xy .
巩固练习
对应训练 . (1)已知x+y=10,xy=24,
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
探究新知 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
探究新知 证明
设大正方形ABCD 的面积为S.
b a
探究新知
几何解释
二
十
a
和的完全平方公式：
探究新知
几何解释
差的完全平方公式：
问题4:观察下面两个完全平方式，比 一 比，回答下列问题：
(a+b)²=a2+2ab+b². (a-b)²=a²-2ab+b2.
探究新知 知 识 点 1 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边 长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如 图).用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.
直接求：总面积=(a
间接求：总面积=a2 你发现了什么?
(a+b)²=a²+2ab+b²
探究新知
问题1:计算下列多项式的积，你能发现什么规律?
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能力提升题
计算：(1)(3a+b-2)(3a-b+2);(2)(x-y-m+
n · 解：(1)原式=[3a+(b-2)][3a-(b-2)]
=(3a)²-(b-2)²
=9a²-b²+4b-4.
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+
(m-n)]=(x-y)²-(m-n)²
=x²-2xy+J²-m²+2mn-n².
C.9.5²=10²-2×10×0.5+0.5²
D.9.5²=9²+9×0.5+0.5²
2.若x²+2(m-3)x+16 是关于x 的完全平方式，则m=-1 或7
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1.运用乘法公式计算(a-2)²的结果是(A )
A.a²-4a+4
B.a²-2a+4
C.a²-4
D.a²-4a-4
2.下列计算结果为2ab-a-b²的是(D)
常用 结论
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
人教版数学八年级上册
14.2乘法公式 14.2.2完全平方公式
一块边长为a 米的正方形实验田，因实际需要 将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同
的新品种. (如图)用不同的形式表示实验田的总面积 ， 并进行比较.你有什么发现呢?
素养目标
3.体验归纳添括号法则. 2.灵活应用完全平方公式进行计算. 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.
探究新知
素养考点① 利用完全平方公式进行计
算 例1运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)²;
解：(4m+n)²t4m)²+2 · (4m)+m2 解
(a+1b)²=a² +2ab +b
=16m²+8mn +n²;
巩固练习
利用完全平方公式计算： (1)(5-a)²; (3)(-3a+b)².
(2)(-3m-4n)²;
(1)说一说积的次数和项数. (2)两个完全平方式的积有相同的项吗?与a,b 有什么关系? (3)两个完全平方式的积中不同的是哪一项?与a,b 有什么 关系?它的符号与什么有关?
◆公式特征： 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和；
3 3一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 4 公式中的字母a,b 可以表示数、单项式和多项式.
99²=(100-1)² =10000-200+1 =9801.
方法总结：当一个数具备与整十、整百……相差一个正整数时求 它的平方，我们可以通过变形运用完1×99;
(2)2016²-2016×4030+
解0153原式=(100-2)²-(100+1)(100-1)
解：(1)(5-a)²=25-10a+a2;
(2)(-3m-4n)²=9m²+24mn+16n²;
(3)(-3a+b)²=9a²-6ab+b².
探究新知
利用完全平方公式进行简便计算
例2运用完全平方公式计算：
(1)1022; 解：102²=(100+2)²
=10000+400+4
=10404.
(2)992.
=(a-b)²+c²+2(a-b)c =a²-2ab+b²+c²+2ac-2bc;
(2)原式=[1-(2x-y)][1+(2x-y] =1²-(2x-y)²
=1-4x²+4xy-y².
链接中考
1.将9.5²变形正确的是(C )
A.9.5²=9²+0.5²
B.9.5²=(10+0.5)(10-0.5)
∵X-y=4,∴(x-y)²=16, 即x+J²-2xy=16②;
由①-②得4xy=48..xy=12.
课堂小结
法则
完全平 注 意 方公式
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
=100²-400+4-100²+1=-395;
(2)原式=2016²-2×2016×2015+20152
=(2016-2015)²=1.
探究新知
利用完全平方公式的变形求整式的值
例3 已知x-y=6,xy=-8.
求：(1)x²+y² 的值；(2)(x+y)²的值.
解：(1):x-y=6,xy=-8, (x-y)²=x²+y²-2xy,