高中数学必修2课后限时训练35 点、直线、平面之间的位置关系章末检测卷

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高中数学必修二点直线平面间位置关系章末检测题答案解析版

必修二第二章点、直线、平面间位置关系检测试题(基础级)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题正确的是()A.没有公共点的两条直线是平行直线B.互相垂直的两条直线是相交直线C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线D.不在同一平面内的两条直线是异面直线【解析】没有公共点的两条直线还可能异面,所以A选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所以B选项不正确;D选项中,缺少任一平面内,所以D选项不正确;很明显C选项正确.【答案】C2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.【答案】D3.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得()A.a⊂α,b⊂αB.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α【解析】对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,但当a与b异面时,不存在平面α,使结论成立,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,但当a与b平行时,不存在平面α,使结论成立,D错误.【答案】B4.给出下列四个命题:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两个平面互相平行③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行其中不正确的个数是( )A.1B.2C.3D.0【解析】利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现①②③均不正确.故选C.【答案】C5.若l为直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β【解析】对于A,若l ∥α,l ∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A 错误;对于B,由线面垂直的性质可得,B 正确;对于C,若l ⊥α,l ∥β,应推出α⊥β,故C 错误;对于D,l 与β的位置关系不确定,l ∥β,l ⊂β,l 与β相交,都有可能,故D 错误.【答案】B6.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 是A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( )A .BDB .ACC .AD D .A 1D 1【解析】由BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1,AC ∩CC 1=C ,则BD ⊥平面ACC 1A 1.又CE ⊂平面ACC 1A 1,所以BD ⊥CE.【答案】A7.如图,点S 在平面ABC 外,SB ⊥AC ,SB=AC=2,E ,F 分别是SC 和AB 的中点,则EF 的长是( )A .1BCD .12【解析】取CB 的中点D ,连接ED ,DF ,则∠EDF (或其补角)为异面直线SB 与AC 所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF 中,ED=12SB=1,DF=12AC=1,所以=. 【答案】B 8.已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为( )A .75°B .60°C .45°D .30°【解析】如图,O 为底面ABCD 的中心,连接AC ,BD ,SO ,易得SO ⊥平面ABCD.所以∠OCS 为侧棱SC 与底面ABCD 所成的角.又由已知可求得OC=2.因为SC=1,所以∠OCS=45°. 【答案】C9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )A.AC ⊥βB.AC ⊥mC.AB ∥βD.AB ∥m【解析】如图,则有AB ∥l ∥m ;AC ⊥l ,m ∥l ⇒AC ⊥m ;AB ∥l ,AB ⊄β⇒AB ∥β.【答案】A10.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是线段A 1B 1,B 1C 1上与端点不重合的动点,A 1E=B 1F ,有下面四个结论:①EF ⊥AA 1; ②EF ∥AC ;③EF 与AC 异面; ④EF ∥平面ABCD.其中一定正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.①④【解析】如图,由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F 分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.【答案】D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.直线l1∥l2,在l1上取2个点,l2上取2个点,由这4个点能确定平面的个数是.【解析】因为l1∥l2,所以经过l1,l2有且只有一个平面.【答案】112.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC与平面DEF的位置关系是.【解析】因为AE∶EB=CF∶FB=1∶3,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AC∥平面DEF.【答案】平行13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小会.(填“变大”“变小”或“不变”)【解析】∵l⊥平面ABC,∴l⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴∠PCB=90°.故当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小不变.【答案】不变14.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,,底面对角线的长为,则A1B1与平面AB1C1所成角的大小为.【解析】由已知可求得长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,过点A1作A1E⊥AB1于点E,因为B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1E.因为AB1∩B1C1=B1,所以A1E⊥平面AB1C1.所以∠A 1B 1E 即为A 1B 1与平面AB 1C 1所成的角.因为AA 1A 1B 1=1,所以AB 1=2,A 1E=2. 因为sin ∠A 1B 1E=111A E A B , 所以∠A 1B 1E=60°.【答案】60°15.如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以CC 1⊥B 1D 1.要使得B 1D 1⊥A 1C ,只要B 1D 1⊥平面A 1C 1C ,即只要B 1D 1⊥A 1C 1.此题还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件.【答案】B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,PA ⊥正方形ABCD 所在的平面,经过点A 且垂直于PC 的平面分别交PB ,PC ,PD 于E ,F ,G ,求证:AE ⊥PB.【证明】因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥BC.又ABCD 是正方形,所以AB ⊥BC.而PA ∩AB=A ,所以BC ⊥平面PAB.因为AE ⊂平面PAB ,所以BC ⊥AE.由PC ⊥平面AEFG ,得PC ⊥AE.因为PC ∩BC=C ,所以AE ⊥平面PBC.所以AE ⊥PB.17.(8分)如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的底面为等边三角形,D 是AA'上的点,E 是B'C'的中点,且A'E ∥平面DBC'.试判断点D 在AA'上的位置,并给出证明.【解析】点D 为AA'的中点.证明如下:取BC 的中点F ,连接AF ,EF.设EF 与BC'交于点O ,连接DO ,易证A'E ∥AF ,A'E=AF,且A',E ,F ,A 共面于平面A'EFA.因为A'E ∥平面DBC',A'E ⊂平面A'EFA ,且平面DBC'∩平面A'EFA=DO ,所以A'E ∥DO.在平行四边形A'EFA 中,因为O 是EF 的中点(因为EC'∥BF ,且EC'=BF ),所以点D 为AA'的中点.18.(9分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,DC ⊥AC.(1)求证:DC ⊥平面PAC.(2)求证:平面PAB ⊥平面PAC.(3)设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F ,使得PA ∥平面CEF ?说明理由.(1)【证明】因为PC ⊥平面ABCD ,所以PC ⊥DC.又因为DC ⊥AC ,所以DC ⊥平面PAC.(2)【证明】因为AB ∥DC ,DC ⊥AC ,所以AB ⊥AC.因为PC ⊥平面ABCD ,所以PC ⊥AB.所以AB ⊥平面PAC.所以平面PAB ⊥平面PAC.(3)【解析】棱PB 上存在点F ,使得PA ∥平面CEF.证明如下:取PB 中点F ,连接EF ,CE ,CF.又因为E 为AB 的中点,所以EF ∥PA.又因为PA ⊄平面CEF ,所以PA ∥平面CEF.19.(10分)已知四面体A-BCD 的棱长都相等,Q 是AD 的中点,求CQ 与平面DBC 所成的角的正弦值.【解析】过点A 作AO ⊥平面BCD ,连接OD ,OB ,OC ,可知O 是△BCD 的中心.作QP ⊥OD ,如图.易知QP ∥AO ,所以QP ⊥平面BCD.连接CP ,则∠QCP 即为所求的角.设四面体的棱长为a ,因为在等边三角形ACD 中,Q 是AD 的中点,所以 a. 因为QP ∥AO ,Q 是AD 的中点,所以QP=1212==,即sin ∠QCP=QP CQ =.20.(10分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1=AC=2,BC=1,E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1;(2)求证:C 1F ∥平面ABE ;(3)求三棱锥E-ABC 的体积.(1)【证明】在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC.所以BB 1⊥AB. 又因为AB ⊥BC ,所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)【证明】取AB 的中点G ,连接EG ,FG.因为E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点,所以FG ∥AC ,且FG=12AC. 因为AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1, 所以FG ∥EC 1,且FG=EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ,C 1F ⊄平面ABE , 所以C 1F ∥平面ABE.(3)【解析】因为AA 1=AC=2,BC=1,AB ⊥BC ,所以=所以三棱锥E-ABC 的体积V=13S △ABC ·AA 1=111232⨯⨯=.。

人教课标版高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》章末综合测试B卷

《点、直线、平面之间的位置关系》章末综合测试B卷(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是()．4．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．相交成60°5．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°6．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小( ) A ．变大 B ．变小 C ．不变D ．有时变大有时变小8．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.11959．在等腰Rt △A ′BC 中，A ′B ＝BC ＝1，M 为A ′C 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C -BM -A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°10．如图，PC ⊥平面ABC ，CB ⊥AB ，P A 与平面ABC 所成的角为θ1，P A 与AB 所成的角为θ2，平面P AB 与平面ABC 所成的角为θ3，则( ) A ．cos θ1cos θ2＝cos θ3 B ．sin θ2sin θ3＝sin θ1 C ．sin θ1sin θ3＝sin θ2 D ．cos θ1cos θ3＝cos θ2二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．下列命题，正确的个数是________．①如果a 、b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面； ②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行； ③如果平面α的同侧有两点A ，B 到平面α的距离相等，则AB ∥α.12．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G 分别是棱BB1、AA1、AD的中点，则平面A1DE与平面BGF的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．13．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于点A，B，交β于点C，D，且P A＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．14．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．15．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C 为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分8分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB1，BC1上的点，且B1E＝C1F.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面ACD1∥平面A1BC1.17．(本小题满分8分)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积．18．(本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE.19．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求异面直线AC与EM所成角的大小；(2)求证：平面BDE⊥平面BCD.20．(本小题满分12分)已知等边三角形ABC的边长为a，AD为BC上的高，沿平行于BC 的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ.设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，x 为何值时，d2取得最小值，最小值是多少？参考答案一、选择题1.解析：选B.因为已知两条不相交的空间直线a 和b ，所以可以在直线a 上任取一点A ，则A ∉b ，过A 作直线c ∥b ，则过a ，c 必存在平面α且使得a ⊂α，b ∥α. 2.解析：选B.易知m ，n 所成的角与二面角的大小相等，故选B.3.解析：选B.分别考虑该六边形在左、右侧面，前、后侧面及上、下底面上的投影，即可发现选项B 正好是上、下底面上的投影．4.解析：选D.如图所示，△ABC 为正三角形，故AB ，CD 相交成60°.5.解析：选D.取BC 的中点H ，连接EH ，FH ，则∠EFH 为所求，可证△EFH 为直角三角形，EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1，从而可得∠EFH ＝30°.6.解析：选D.选项A 的已知条件中加上m ⊂β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B 错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C 错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D 正确，由n ⊥α，n ⊥β，可得α∥β，又因为m ⊥β，所以m ⊥α.7.解析：选C.由于直线l 垂直于平面ABC ，∴l ⊥BC ，又∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面APC ，∴BC ⊥PC ，即∠PCB 为直角，与点P 的位置无关，故选C.8.解析：选B.如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接PE . ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AE ， ∴BD ⊥PE .∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1，∴PE ＝1＋⎝⎛⎭⎫1252＝135. 9.解析：选C.如图所示，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝ 2.∵M 为A ′C 的中点，∴MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ，∴∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°.10.解析：选B.∵CB ⊥AB 且PC ⊥平面ABC ， ∴AB ⊥平面PBC ， ∴AB ⊥PB .∴∠P AC ＝θ1，∠P AB ＝θ2，∠PBC ＝θ3.∴sin θ1＝PC P A ，sin θ2＝PB P A ，sin θ3＝PCPB ，则有sin θ1sin θ2＝PC PB＝sin θ3.即sin θ1＝sin θ2sin θ3.二、填空题11.解析：在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AA ′∥BB ′，AA ′却在过BB ′的平面AB ′内，故命题①不正确；AA ′∥平面B ′C ，BC ⊂平面B ′C ，但AA ′不平行于BC ，故命题②不正确，③显然正确．答案：112.解析：在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是棱BB 1、AA 1、AD 的中点，所以FG ∥A 1D ，所以FG ∥平面A 1DE ，同理FB ∥平面A 1DE ，又FG ∩FB ＝F ，所以平面BGF ∥平面A 1DE . 答案：平行13.解析：若点P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB ∥CD ，则P A PC ＝ABCD ，可求得CD ＝20；若点P 在平面α，β之间，可求得CD ＝4. 答案：20或414.解析：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，易知AE ⊥面BB 1C 1C (图略)，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：60°15.解析：设AC ∩BD ＝O ，∵翻折后AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 即为二面角的平面角，则∠AOC ＝120°，且AO ＝1，∴d ＝1×sin 60°＝32.答案：32三、解答题16.证明：(1)过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线EM ，FN ，交AB ，BC 于M ，N ，连接MN .∵BB 1⊥平面ABC ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN .∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ， ∴AE ＝BF ，又∠B 1AB ＝45°＝∠C 1BC ，∴Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM ＝FN . ∴四边形MNFE 是平行四边形， ∴EF ∥MN ，而MN ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC . (2)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∵AD 1∥BC 1，CD 1∥A 1B ，又AD 1∩CD 1＝D 1，BC 1∩A 1B ＝B ， ∴平面ACD 1∥平面A 1BC 1.17.解：(1)证明：由已知得， △ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，则CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又因为CG ∩BG ＝G ，因此AD ⊥平面BCG .由题意，EF 为△DAC 的中位线，所以EF ∥AD .所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC 内作AO ⊥CB ，交CB 的延长线于O (图略)，由于平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，所以AO ⊥平面BCD . 又G 为AD 的中点，因此G 到平面BCD 的距离h ＝12AO .在△AOB 中，AO ＝AB sin 60°＝3，所以V D -BCG ＝V G -BCD＝13S △BCD×h ＝13×12BD ·BC sin 120°×h ＝12. 18.证明：(1)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC .又∵AD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AD .∵AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，且CC 1∩DE ＝E ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)法一：∵A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， ∴A 1F ⊥B 1C 1.又∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴CC 1⊥A 1F .又∵CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，且CC 1∩B 1C 1＝C 1， ∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知，AD ⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F ∥AD . 又∵AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， ∴直线A 1F ∥平面ADE .法二：由(1)知，AD ⊥平面BCC 1B 1， ∵BC ⊂平面BCC 1B 1，∴AD ⊥BC .∵A 1B 1＝A 1C 1，∴AB ＝AC .∴D 为BC 的中点．连接DF (图略)，∵F 是B 1C 1的中点， ∴DF 綊BB 1綊AA 1.∴四边形ADF A 1是平行四边形．∴A 1F ∥AD .∵AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， ∴A 1F ∥平面ADE .19.解：(1)∵M 为DB 的中点，如图，取BC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥DC ，且MN ＝12DC ，∴MN ∥AE ，且MN ＝AE ，∴四边形ANME 为平行四边形， ∴AN ∥EM ，∴EM 与AC 所成的角即为AN 与AC 所成的角．在Rt △ABC 中，∠CAN ＝45°，∴异面直线AC 与EM 所成的角为45°. (2)证明：由(1)知EM ∥AN ，又∵平面BCD ⊥底面ABC ，AN ⊥BC ， ∴AN ⊥平面BCD ，∴EM ⊥平面BCD .∵EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD . 20.解：∵平面APQ ⊥平面PBCQ ，又AR ⊥PQ ，∴AR ⊥平面PBCQ ，从而AR ⊥RB . 在直角三角形BRD 中，BR 2＝BD 2＋RD 2＝(12a )2＋(32a －x )2，AR 2＝x 2，故d 2＝BR 2＋AR 2＝2x 2－3ax ＋a 2(0<x <32a )，所以当x ＝34a 时，d 2取得最小值58a 2.。

高中数学必修二检测题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面Word版含答案

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面基础巩固1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的表示是( B )(A)A∈l,l?α(B)A∈l,l?α(C)A?l,l?α(D)A?l,l?α解析:点A在直线l上,应表示为A∈l,而直线l与平面α的关系应用l?α.故选B.2.若点A在直线b上,b在平面β内,则A,b,β之间的关系可以记作( B )(A)A∈b,b∈β(B)A∈b,b?β(C)A?b,b?β(D)A?b,b∈β解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.3.(2015唐山市高二(上)期中)下列图形中不一定是平面图形的是( D )(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形 (D)四边相等的四边形解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.4.(2015蚌埠高二(上)期中)经过空间任意三点作平面( D )(A)只有一个 (B)可作二个(C)可作无数多个(D)只有一个或有无数多个解析:当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个,故选D.5.在三棱锥A BCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF∩HG=P,则点P( B )(A)一定在直线BD上(B)一定在直线AC上(C)在直线AC或BD上(D)不在直线AC上,也不在直线BD上解析:如图所示,因为EF?平面ABC,HG?平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC,故选B.6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A?α,a?α.(2)α∩β=a,P?α且P?β.(3)a?α,a∩α=A .(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O .解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C (2)D (3)A (4)B7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是.解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.答案:08.求证:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:法一因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直线l1、l2、l3在同一平面内.法二因为l1∩l2=A,所以l1、l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2、l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.能力提升9.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)1或4 (D)无法确定解析:当四点在同一平面内时可确定一个,四点不共面时可确定4个,故选C.10.(2015蚌埠一中高二(上)期中)下列叙述中错误的是( B )(A)若P∈(α∩β)且α∩β=l,则P∈l(B)三点A,B,C确定一个平面(C)若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面(D)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l?α解析:选项A,点P是两平面的公共点,当然在交线上,故正确;选项B,只有不共线的三点才能确定一个平面,故错误;选项C,由公理的推论可知,两相交直线确定一个平面,故正确;选项D,由公理1,直线上有两点在一个平面内,则整条直线都在平面内.故选B.11.(2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点,O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.①A、C、O1、D1;②D、E、G、F;③A、E、F、D1;④G、E、O1、O2.解析:正方体ABCD A1B1C1D1中,若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点,O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,①所以O1是AD1的中点,所以O1是在平面ACD1;②因为E、G、F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D、E、G、F 不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A、E、F、D1共面;④连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G、E、O1、O2四点共面.答案:①③④12.如图所示,平面ABD∩平面CBD=BD,E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,求证:EH与FG的交点P与B,D三点共线.证明:因为直线EH∩直线FG=P,所以P∈直线EH,而EH?平面ABD,所以P∈平面ABD.同理P∈平面CBD,即点P是平面ABD与平面CBD的公共点.显然,点B,D是平面ABD和平面CBD的公共点.由公理3知,点B,D,P都在平面ABD和平面CBD的交线上,即点B,D,P共线.探究创新13.在正方体AC1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图(1)求证:D、B、E、F四点共面;(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.(1)证明:由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合.由此可证得DE∩BF=O,故D、B、F、E四点共面(设为α).(2)解:由于AA1∥CC1,所以A1、A、C、C1四点共面(设为β).P∈BD,而BD?α,故P∈α.又P∈AC,而AC?β,所以P∈β,所以P∈(α∩β).同理可证得Q∈(α∩β),从而有α∩β=PQ.又因为A1C?β,所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点.连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.。

点、直线、平面之间点位置关系测试题(含答案)

第二章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知，B正确．答案 B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交解析由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案 B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是()A．1个B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个解析当A，B，C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面．答案 D4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案 D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是()A．5 B．8C．10 D．6解析这些直角三角形是：△P AB，△P AD，△P AC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案 B6．下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析易知①与②正确，③不正确．答案 C7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是()A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案 B8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM()A．与AC，MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC，MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案 A9．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.答案 C10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析排除A、B、C，故选D.答案 D11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 答案 D12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E ，F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE .∵EF 在直线B 1D 1上，易知B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD ，V A －BEF ＝13×12×12×1×22＝224.∴A 、B 、C 选项都正确，由排除法即选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知A，B，C，D为空间四个点，且A，B，C，D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．解析如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．答案异面14．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．答案BD15．如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________；(2)∠BAC＝________.解析 (1)AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°，∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长为2a .∴BD ＝CD ＝22a .∴折叠后BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形．∴∠BAC ＝60°.答案 (1)BD ⊥CD (2)60°16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则：①四边形BFD ′E 一定是平行四边形；②四边形BFD ′E 有可能是正方形；③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解析如图所示：∵BE ＝FD ′，ED ′＝BF ，∴四边形BFD ′E 为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD ′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．答案①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．证明∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.∵BE∥C1H，且BE＝C1H，∴四边形EBC1H是平行四边形．∴EH∥BC1，∴GF∥EH.∴E，F，G，H四点共面．∵GF≠EH，故EF与HG必相交．设EF∩HG＝I.∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置，并说明理由；(2)求四棱锥P－ABCD的表面积．解 (1)点M 为PD 的中点．理由如下：连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，则点O 为BD 的中点，连接OM ，∵PB ∥平面ACM ，∴PB ∥OM .∴OM 为△PBD 的中位线，故点M 为PD 的中点．(2)∵P A ⊥底面ABCD ，又底面是边长为1的正方形，∴S 正方形ABCD ＝1，S △P AB ＝S △P AD ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12×1×2＝22，S △PCD ＝12×1×2＝22.故四棱锥P －ABCD 的表面积为S ＝1＋2×12＋22＋22＝2＋ 2.19．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ；(2)求MN 的长．解 (1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴AP AB ＝AN AC ＝A 1M A 1B ，∴MP ∥AA 1∥BB 1， ∴面MPN ∥面BB 1C 1C . MN ⊂面MPN ， ∴MN ∥面BB 1C 1C .(2)NP BC ＝AN AC ＝23a2a ＝13，NP ＝13a ，同理MP ＝23a . 又MP ∥BB 1，∴MP ⊥面ABCD ，MP ⊥PN . 在Rt △MPN 中MN ＝49a 2＋19a 2＝53a .20．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角，在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55.21．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD . 证明 (1)在△ABD 中，∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥平面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，P A垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的体积；(3)求证：AC⊥平面P AB.解(1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.又∵△PBC 为正三角形， ∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC ， ∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AE . ∴P A 2＝PE 2－AE 2＝2，即P A ＝ 2. 正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2.(2)由(1)可知，四棱锥P －ABCD 的高P A ＝2，底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝32，∴四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13S ·P A ＝13×32×2＝22. (3)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AC . ∵在直角三角形ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝2，在直角三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝2， ∴BC 2＝AA 2＋AC 2＝4，∴△BAC 是直角三角形． ∴AC ⊥AB .又∵AB ∩P A ＝A ，∴AC ⊥平面P AB .。

【优质文档】必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(含答案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
一、基础过关
1．下列命题： ①书桌面是平面；
②有一个平面的长是 50m，宽是 20m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为
()
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．0 个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 A ．三角形
B．菱形
()
C ．梯形
D ．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是
()
A ．两条直线
B ．一点和一条直线
C ．一个三角形
D ．三个点
4．已知平面 α与平面 β、 γ都相交，则这三个平面可能的交线有
()
A ． 1 条或 2 条
B． 2 条或 3 条
即点 S 在交线上，由于 AB>CD ，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示． ∵E∈ AC， AC? 平面 SAC， ∴E∈ 平面 SAC. 同理，可证 E∈ 平面 SBD. ∴ 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线． 8．证明 ∵ l 1? β， l2? β， l1D ∥ l 2， ∴ l 1、 l 2 交于一点，记交点为 P. ∵ P∈ l 1? α， P∈ l2? γ， ∴P∈ α∩ γ＝ l3， ∴ l 1， l 2， l3 交于一点． 9． C 10.C 11．③ 12．证明因为 AB∥ CD，所以 AB，CD 确定平面 AC，AD∩ α＝ H，因为 H ∈ 平面 AC，H ∈α，由公理 3 可知， H 必在平面 AC 与平面 α的交线上．同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上，因此 E， F ， G， H 必在同一直线上． 13．证明 (1)∵ C1、 O、 M ∈平面 BDC1，又 C1、 O、 M ∈ 平面 A1ACC1，由公理 3 知，点 C1、 O、 M 在平面 BDC 1 与平面 A1ACC1 的交线上， ∴ C1、 O、 M 三点共线． (2) ∵ E， F 分别是 AB， A1A 的中点， ∴ EF∥ A1B.∵ A1B∥CD 1， ∴ EF∥ CD 1. ∴ E、 C、 D1、 F 四点共面．

高中数学必修二点线面间的位置关系检测题及参考答案

高中数学必修二阶段质量检测（二）点、直线、平面之间的位置关系(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为()A．平行B．相交C．异面D．垂直【答案】B。

【解析】因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交．2．设BD1是正方体ABCDA1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有()A．0条B．4条C．6条D．12条【答案】C。

【解析】每个面中各有一条对角线与BD1异面，它们是：AC，A1C1，B1C，A1D，AB1，DC1.3．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【答案】D。

【解析】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直，而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是() A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D。

【解析】A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故正确．5．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于() A．AC B．BD C．A1D D．A1D1【答案】选B【解析】CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.6．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF ⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为()A．90°B．45°C．60°D．30°【答案】D【解析】取BC的中点G，连接EG，FG，则EG＝1，FG＝2，EF⊥EG，则EF与CD所成的角等于∠EFG，为30°.7.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是() A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线EC1与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥NADF的体积为37C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF【答案】C【解析】连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF.由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错；若在A1C1上存在点N，则V NADF＝V DAFN，当N与C1重合时，V DAFN取最小值为36，故B错；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF.又∵AD⊥平面CBB1C1，CM⊂平面CBB1C1，∴AD⊥CM.∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确；过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错．故选C.8．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为()A.12B.13C.33D.23【答案】C【解析】取AC 的中点E ，CD 的中点F ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32∴△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33.9.如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于()A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B【解析】连接AB ′，BA ′，则∠BAB ′＝45°，∠ABA ′＝30°.在Rt △ABB ′中，AB ＝12，可得BB ′＝6 2.在Rt △ABA ′中，可得BA ′＝6 3.故在Rt △BA ′B ′中，可得A ′B ′＝6.10．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为()A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3【答案】C【解析】球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝125π6.11．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 【答案】D【解析】易知△BCD 中，∠DBC ＝45°，∴∠BDC ＝90°，又平面ABD ⊥平面BCD ，而CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面ABD ，∴AB ⊥CD ，而AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴平面ABC ⊥平面ACD .12．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图，取CD 的中点F ，DF 的中点G ，连接EF ，FN ，MG ，GB .∵△ECD 是正三角形，∴EF ⊥CD .∵平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，EF ⊂平面ECD ，∴EF ⊥平面ABCD .∴EF ⊥FN .不妨设AB ＝2，则FN ＝1，EF ＝3，∴EN ＝FN 2＋EF 2＝2.∵EM ＝MD ，DG ＝GF ，∴MG ∥EF 且MG ＝12EF ，∴MG ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥BG .∵MG ＝12EF ＝32，BG ＝CG 2＋BC 2＝2235222⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴BM ＝MG 2＋BG 2＝7，∴BM ≠EN .连接BD ，BE ，∵点N 是正方形ABCD 的中心，∴点N 在BD 上，且BN ＝DN ，∴BM ，EN 是△DBE 的中线，∴BM ，EN 必相交．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设正三角形ABC 的边长为a ，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，则A 到平面PBC 的距离为________．【答案】217a 【解析】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，PE ，则AE ⊥BC ，又BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE .∴平面PAE ⊥平面PBC .在平面PAE 内过A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a .14．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．【答案】90°【解析】∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角．∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1，又MC 1⊂平面MB 1C 1，∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°.15．如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________．【答案】2【解析】连接PO ，则PO ∥SA ，∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角，且△OPD 为直角三角形，∠POD 为直角，∴tan ∠OPD ＝OD OP ＝22＝ 2.16．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．【答案】2【解析】如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC .又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝(3)2－12＝ 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)EF ∥平面ACD ；(2)平面EFC ⊥平面BCD .证明：(1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴EF ∥平面ACD .(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC .∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD .18．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ；(2)求点C 到平面C 1DE 的距离．解：(1)证明：连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1綊DC ，可得B 1C 綊A 1D ，故ME 綊ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED .又MN ⊄平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE .(2)过点C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥C 1C ，所以DE ⊥平面C 1CE ，故DE ⊥CH .从而CH ⊥平面C 1DE ，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.19．(本小题满分12分)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.证明：(1)取AB的中点G，连接EG、FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG、FG⊂平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF⊂平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE，且D1A⊂平面D1AE，∴BE⊥D1A.20．(本小题满分12分)在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角EBDC的大小．解：(1)证明：如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，∴BE⊥S C.又DE∩BE＝E，根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD.又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角EBDC的平面角，又△SAC ∽△DEC ，∴∠EDC ＝∠ASC .在Rt △SAB 中，∠SAB ＝90°，设SA ＝AB ＝1，则SB ＝ 2.由SA ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩SA ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，∴BC ⊥SB .在Rt △SBC 中，SB ＝BC ＝2，∠SBC ＝90°，则SC ＝2.在Rt △SAC 中，∠SAC ＝90°，SA ＝1，SC ＝2.∴cos ∠ASC ＝SA SC ＝12.∴∠ASC ＝60°，即二面角E BD C 的大小为60°.21．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE .证明：(1)设AC 与BD 交于点O ，连接EO ，∵EF ∥AC ，且EF ＝1，AO ＝12AC ＝1，∴四边形AOEF 为平行四边形，∴AF ∥OE .∵OE ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE .(2)连接FO ，∵EF ∥CO ，EF ＝CO ＝1，且CE ＝1，∴四边形CEFO 为菱形，∴CF ⊥EO .∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，∴BD ⊥平面ACEF ，∴CF ⊥BD .又BD ∩EO ＝O ，∴CF ⊥平面BDE .22．(本小题满分12分)如图，已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E ABC 的体积．解：(1)取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，EN ，EM ，则直线MN 即为所求．取BC 的中点H ，连接AH ，∵△ABC 为腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，∴AH ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AH ⊂平面ABC ，∴AH ⊥平面BCD ，同理，可证EN ⊥平面BCD ，∴EN ∥AH .∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴EN ∥平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 的中点，∴MN ∥BC .∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴平面EMN ∥平面ABC .又EF ⊂平面EMN ，∴EF ∥平面ABC .(2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，NG ＝12DH ，由(1)可知，EN ∥平面ABC ，∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等．又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC .又DH ＝3，∴NG ＝32.又AC ＝AB ＝3，BC ＝2，∴AH ＝22，∴S △ABC ＝12·BC ·AH ＝22，∴V E ABC ＝V N ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝63.。

必修二点、直线、平面之间的位置关系试题三套含答案

A（数学2必修）第二章点、直线、平面之间的位置关系[基础训练A 组]一、选择题1．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．32．下面列举的图形一定是平面图形的是（）A ．有一个角是直角的四边形B ．有两个角是直角的四边形C ．有三个角是直角的四边形D ．有四个角是直角的四边形 3．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能 4．如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,DEF 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（）A ．030 B ． 090 C ． 060 D ．随P 点的变化而变化。

5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（）个部分 A ．4 B ．5 C ．7 D ．86．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（）A ．90B ．60C ．45D ．30二、填空题1．已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系____________________。

2．直线l 与平面α所成角为030，,,l A m A m αα=⊂∉ ，则m 与l 所成角的取值范围是 _________3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为1234,,,d d d d ，则1234d d d d +++的值为。

4．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面,αβ内各有一条射线AB ，AC 与l 成045，,AB AC αβ⊂⊂，则BAC ∠= 。

高中数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关系》测试卷及答案解析

2019-2020学年高中数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关系》测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图所示，用符号语言可表达为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【分析】结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．【解答】解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选：A．【点评】本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示．2．下列命题是真命题的是（）A．空间中不同三点确定一个平面B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．梯形一定是平面图形【分析】利用公理三求解．【解答】解：空间中不同三点若共线，则确定无数个平面，故A错误；空间中两两相交的三条直线确定一个或三个平面，故B错误；一条直线和直线上一个点能确定无数个平面，故C错误；因为梯形有一级对边平行，所以梯形一定是平面图形，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．3．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（）A．60°B．120°C．30°D．60°或120°【分析】根据平行公理知道当空间两个角α与β的两边对应平行，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【解答】解：如图，∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α＝60°，∴β＝60°或120°．故选：D．【点评】本题考查平行公理，本题解题的关键是不要漏掉两个角互补这种情况，本题是一个基础题．4．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN ＝BC＝4，P A＝4，则异面直线P A与MN所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON，则∠ONM就是异面直线P A与MN 所成的角，由此能求出异面直线P A与MN所成的角．【解答】解：连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON则OM BC，ON P A，∴∠ONM就是异面直线P A与MN所成的角．由MN＝BC＝4，P A＝4，得OM＝2，ON＝2，MN＝4，cos∠ONM＝＝＝．∴∠ONM＝30°．即异面直线P A与MN成30°的角．故选：A．。

高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》测试卷及答案解析

2019-2020学年高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》参考答案与试题解析一．选择题（共37小题）1．如图所示，用符号语言可表达为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【分析】结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．【解答】解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选：A．【点评】本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示．2．两个平面能把空间分成几个部分（）A．2或3B．3或4C．3D．2或4【分析】根据平面之间的关系，即可得到结论．【解答】解：若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分，故选：B．【点评】本题主要考查平面的概念以及平面的基本性质的应用．3．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．【解答】解：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：A∈a，a⊂α，B∈α．故选：B．【点评】本题考查空间中，点、线、面的符号表示方法，基本知识的考查．4．若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A．B∈b∈βB．B∈b⊂βC．B⊂b⊂βD．B⊂b∈β【分析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选：B．【点评】本题考查平面的概念及表示，解题的关键是理解平面的概念及平面中点线面之间表示的符号，本题是基础概念考查题，对点线面间关系规范书写是解题的重点5．若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（）A．若A⊂α，B⊂α，则AB⊂αB．若A∈α，B∈α，则AB∈αC．若A∉a，a⊂α，则AB∉αD．若A∈a，a⊂α，则A∈α【分析】本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．【解答】解：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以答案A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，答案C错误；而A∈a，a⊂α，则A∈α，所以答案D正确．故选：D．【点评】立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．6．经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（）A．1B．4C．1或4D．1或3【分析】分四个点在一个面和三个点在一个面，另一个点在平面外三种情况讨论．【解答】解：当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子．故选：C．。

高中数学章末检测卷(二)点、直线、平面之间的位置关系新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试

章末检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1C1B＝60°，即直线AC 与直线BC1所成的角为60°.答案 B2.设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A.若a、b与α所成的角相等，则a∥bB.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则a∥βD.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行、相交或异面；C中的α、β可以平行或相交.答案 D3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m⊥α，则n⊥αD.若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误.故选C.答案 C4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E解析由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确.答案 C5.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误.故选B.答案 B6.(2015·某某高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确.答案 D7.(2014·某某高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析选项A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项B，若m∥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项C，若m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；选项D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交或m⊂α或m ∥α，错误.答案 C8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( )A.8B.9C.10D.11解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.答案 A9.正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°解析因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，A正确；因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确；易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合.故C 正确；因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角. 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误. 答案 D10.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6解析如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334， V ABC －A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3.又AO ＝33×3＝1，∴tan ∠PAO ＝PO AO ＝3，∴∠PAO ＝π3. 答案 B二、填空题11.矩形ABEF 和正方形ABCD 有公共边AB ，且它们所在的平面互相垂直，AB ＝BC ＝2a ，BE ＝a ，则DE ＝________，DE 与平面ABEF 所成的线面角的正弦值为________. 解析如图，在Rt △DBE 中，BD ＝22a ，BE ＝a ，∴DE ＝（22a ）2＋a 2＝3a ，∵DA ⊥平面ABEF ，∴∠DEA 即为DE 与平面ABEF 所成的角，在Rt △DAE 中，sin ∠DEA ＝DA DE ＝23. 答案 3a 2312.如图所示为一个正方体的一种表面展开图，图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对，成60°角的有________对.解析正方体如图AB 与CD ，AB 与GH ，GH 与EF 互为异面直线，AB 与CD ，AB 与EF ，AB 与GH ，CD 与GH ，EF 与GH 成60°角.答案 3 513.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________.解析 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1， ∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角. ∴B 1M ⊥MN 而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 答案 90°14.已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝________. (2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝________. 解析根据题意得AS SB ＝SCSD.当点S 在α，β之间时，有89＝CS 34－CS ，即CS ＝16；当点S 在α，β之外时，有89－8＝SC34，即SC ＝272. 答案 16 27215.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值X 围是________.解析由题意知：PA ⊥DE ，又PE ⊥DE ，PA ∩PE ＝P ，所以DE ⊥面PAE ，∴DE ⊥AE .易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD，即3a －x ＝x 3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6. 答案 a >616.在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 为A ′D ′中点，则异面直线EC 与BC ′所成角的余弦值为________，二面角A ′－BC ′－D 的平面角的正切值为________.解析如图，取BC ，CC ′中点F ，H ，连A ′F ，FH ，A ′H .∵A ′F ∥EC ，FH ∥BC ′，∴∠A ′FH 即为异面直线EC 与BC ′所成的角. 设正方体的棱长为2，FH ＝2，A ′F ＝3，A ′H ＝3， cos ∠A ′FH ＝223＝26，取BC ′的中点O ，连A ′O ，DO ，则A ′O ⊥BC ′，DO ⊥BC ′，∠A ′OD 即为二面角A ′－BC ′－D 的平面角， A ′O ＝DO ＝6，A ′D ＝22，cos ∠A ′OD ＝6＋6－826×6＝13，tan ∠A ′OD ＝2 2.答案262 2 17.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 解析由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错.答案①③三、解答题18.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D 是AB的中点.(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明(1)∵C1C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M 为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小.(1)证明如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin 60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，而PM ⊂平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角. ∴tan ∠PME ＝PE EM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20．(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．(1)证明由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积 V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.21．(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积．(1)证明由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)解由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92. 五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694. 所以五棱锥D ′－ABCFE 的体积 V ＝13×694×22＝2322. 22．(2016·某某高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由．(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB .CM ⊄平面PAB .所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD .从而PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。

高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：空间点、直线、平面之间的位置关系【含答案及解析】

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.3.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确.4.如果空间的三个平面两两相交,那么()A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点()A.有有限个B.有无数个C.不存在D.不存在或有无数个,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点.6.以下说法正确的是()A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行D.若点M∈l,点N∈l,N∉α,M∈α,则直线l与平面α相交a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N∉α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是.a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.关键能力提升练11.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b⊂α,或b与α相交.12.(多选题)以下结论中,正确的是()A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行①所示,过点P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错,B正确;如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错.13.(多选题)下列说法中正确的是()A.若直线a不在平面α内,则a∥αB.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αC.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交中,直线a也可能与平面α相交,故A错误;B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误;C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确;D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确.14.一个正方体的平面展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD异面,则在原来的正方体中,由异面直线的定义可知AB与CD异面.故选D.15.下列命题正确的有.(填序号)①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;④若直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β.显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a 与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的.16.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.∥b,a∥β.证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.学科素养创新练17.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是()A.平面α内的所有直线与a异面B.平面α内不存在与a平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a平行D.平面α内的直线与a都相交a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B.18.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a∥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以α∥β,故C正确;D中,直线a与平面β有可能平行,所以a,b可能相交,也可能平行,故D错误.。

2023年高一下数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关系》测试试卷及答案解析

2023年高一下数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关系》测试试卷一．选择题（共21小题）1．两个平面能把空间分成几个部分（）A．2或3B．3或4C．3D．2或42．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α3．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（）A．60°B．120°C．30°D．60°或120°4．下列命题正确的是（）A．一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B．一直线与平面平行，则平面内有且只有一条直线与已知直线平行C．一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D．一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面5．下列说法错误的是（）A．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C．经过两条相交直线，有且只有一个平面D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合6．下列说法错误的是（）A．如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补C．两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线可以确定一个平面D．底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥7．下列四个命题正确的是（）A．两两相交的三条直线必在同一平面内B．若四点不共面，则其中任意三点都不共线C．在空间中，四边相等的四边形是菱形D．在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和AA1的中点，则直线EF与直线AC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n⊆α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则n∥m D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β11．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是（）A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．直线CD⊥平面PAC12．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m∥α⇒n∥α②α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β③m⊥n，m⊥α⇒n∥α，或n⊂α④α⊥β，m∥α⇒m⊥β其中，正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．413．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CC1，点D，O分别是AB，BC1的中点，则下列结论错误的是（）A．AC1与平面ABC所成的角为60°B．AC1∥平面CDB1C．AC1与BB1所成的角为45°D．AC1∥OD14．已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l⊥m，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m∥α，则l∥m15．正方体A1C中，E、F为AB、B1B中点，则A1E、C1F所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．16．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2BC，∠A1B1C1＝∠B1C1D1＝120°，且BC∥AD，则直线AB1与直线A1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．17．直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为（）A．平行B．异面C．相交D．异面或相交18．已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是（）A．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥bB．若α∥β，a∥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b19．若平面α∥平面β，a⊊α，b⊊β，则直线a与b的位置关系是（）A．平行或异面B．相交C．异面D．平行20．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n⊥αD．若m⊥n，m∥α，则n∥α21．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n则α⊥βB．若m∥α，m⊥n则n⊥αC．若α∥m，β∥m则α∥βD．若α⊥m，β⊥m则α∥β二．填空题（共6小题）22．如图图形可用符号表示为．23．有下列判断：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形．其中正确的是（填序号）．24．下列四个命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点中有三点共线，则此四点必共面；③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；④空间四点不共面，则任意三点不共线．其中正确命题的序号是．25．在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是．26．已知直线L∥平面α，直线m⊂α，则直线L和m的位置关系是．27．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于三．解答题（共3小题）28．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，G，H分别是的B1C1，C1D1中点，求证：DH，BG，CC1延长后相交于一点．29．空间四边形ABCD中，点E、F、G、H为边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG，求证：EH∥BD．30．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC边的中点，AB＝AC＝2，BC＝1，AA1＝．（1）求证：AB1/∥平面BDC1；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．2023年高一下数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关系》测试试卷参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．两个平面能把空间分成几个部分（）A．2或3B．3或4C．3D．2或4【分析】根据平面之间的关系，即可得到结论．【解答】解：若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分，故选：B．【点评】本题主要考查平面的概念以及平面的基本性质的应用．2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．【解答】解：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：A∈a，a⊂α，B∈α．故选：B．【点评】本题考查空间中，点、线、面的符号表示方法，基本知识的考查．3．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（）A．60°B．120°C．30°D．60°或120°【分析】根据平行公理知道当空间两个角α与β的两边对应平行，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【解答】解：如图，∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α＝60°，∴β＝60°或120°．故选：D．【点评】本题考查平行公理，本题解题的关键是不要漏掉两个角互补这种情况，本题是一个基础题．4．下列命题正确的是（）A．一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B．一直线与平面平行，则平面内有且只有一条直线与已知直线平行C．一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D．一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面【分析】一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行或异面；一直线与平面平行，则平面内有无数条直线与已知直线平行；一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行；一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线平行或异面．【解答】解：一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行或异面，故A不正确；一直线与平面平行，则平面内有无数条直线与已知直线平行，故B不正确；一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行，故C正确；一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线平行或异面，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系及其运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．下列说法错误的是（）A．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C．经过两条相交直线，有且只有一个平面D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合【分析】本题考查的知识点是：①判断命题真假，②空间中平面与平面的位置关系．【解答】解：平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点．因此，平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点是错误的．故选：A．【点评】本题借助命题的真假性判断考查了学生对空间中面面位置关系的认识．6．下列说法错误的是（）A．如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补C．两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线可以确定一个平面D．底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥【分析】由公理一，可判断A；由平行角定理，可判断B；由公理二的推论可判断C；由正棱锥的定义，可判断D．【解答】解：由公理一得：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故A正确；由平行角定理得：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故B正确；由公理二的推论可得：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线可以确定一个平面，故C正确；底面是正三角形但侧棱不相等的三棱锥不是正三棱锥，故D错误；故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了平面的基本性质，平行角定理及正棱锥的几何特征，难度中档．7．下列四个命题正确的是（）A．两两相交的三条直线必在同一平面内B．若四点不共面，则其中任意三点都不共线C．在空间中，四边相等的四边形是菱形D．在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形【分析】空间中的三个公理对四个命题逐一判断，空间中三个公理公理一是线在面内的基础，公理二是确定平面的依据，公理三是证明两面交于一线的依据．【解答】解：对于选项A，如果三条直线交于一点，则此时三条直线不一定在同一平面内，故A不对；对选项B，若四点不共面，则一定不存在三点共线，若有三点共线，则第四点与此线确定一个平面，这样就会出现四点共面，与已知条件不符合，故B正确；对于选项C，在空间中四边相等的四边形可能是空间四边形，故C不对；对于选项D，空间四边形中也存在三个角是直角的情况，故D不对．故选：B．【点评】本题考点是空间图形的公理，考查用三个公理判断空间中点线面的关系．空间中三个公理与其推论是立体几何的基础，应好好理解掌握．8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和AA1的中点，则直线EF与直线AC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，利用向量法能求出直线EF与直线AC所成的角．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和AA1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（2，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），＝（0，﹣1，1），＝（﹣2，2，0），设直线EF与直线AC所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°．∴直线EF与直线AC所成的角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除．【解答】解：A不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行．B不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交．C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交．D正确，这就是异面直线的定义．故选：D．【点评】本题考查异面直线的定义，用举反例的方法判断一个命题是假命题，是一种简单有效的方法．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n⊆α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则n∥m D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在C 中，n与m相交、平行或异面；在D中，m与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，n⊆α，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；在C中，若m∥α，n∥α，则n与m相交、平行或异面，故C错误；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：B．知识，考查运空间想象能力和思维逻辑能力，是中档题．11．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是（）A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．直线CD⊥平面PAC【分析】在A中，由AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，得到PB与PA不垂直；在B中，过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符；在C中，若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交；在D中，由CD⊥PA，CD⊥AC，得到直线CD⊥平面PAC．【解答】解：在A中，因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A不正确．在B中，过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC．又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B不正确．在C中，若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C不正确．在D中，因为PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥PA，设AB＝1，则AD＝2，AC＝＝，所以AC2+CD2＝AD2，所以CD⊥AC，又PA∩AC＝A，所以直线CD⊥平面PAC，故D正确．故选：D．知识，考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题．12．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m∥α⇒n∥α②α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β③m⊥n，m⊥α⇒n∥α，或n⊂α④α⊥β，m∥α⇒m⊥β其中，正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】在①中，n∥α或n⊂α；在②中，由线面垂直的判定定理得n⊥β；在③中，由线面垂直的性质定理得n∥α或n⊂α；在④中，m与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在①中，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故①错误；在②中，α∥β，m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥β，故②正确；在③中，m⊥n，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得n∥α或n⊂α，故③正确；在④中，α⊥β，m∥α，则m与β相交、平行或m⊂β，故④正确．故选：B．【点评】本题考查命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CC1，点D，O分别是AB，BC1的中点，则下列结论错误的是（）A．AC1与平面ABC所成的角为60°B．AC1∥平面CDB1C．AC1与BB1所成的角为45°D．AC1∥OD【分析】在A中，∠C1AC是AC1与平面ABC所成的角，从而AC1与平面ABC所成的角为45°；在B中，连结OD，OD∥AC1，由此得到AC1∥平面CDB1；在C中，由CC1∥BB1，得∠AC1C是AC1与BB1所成的角，从而AC1与BB1所成的角为45°；在D中，连结OD，则OD∥AC1．【解答】解：由在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CC1，点D，O分别是AB，BC1的中点，知：在A中，∵CC1⊥平面ABC，∴∠C1AC是AC1与平面ABC所成的角，∵AC＝CC1，∴∠C1AC＝45°，∴AC1与平面ABC所成的角为45°，故A错误；在B中，连结OD，∵点D，O分别是AB，BC1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1，故B正确；在C中，∵CC1∥BB1，∴∠AC1C是AC1与BB1所成的角，∵AC＝CC1，∴∠AC1C＝45°，∴AC1与BB1所成的角为45°，故C正确；在D中，连结OD，∵点D，O分别是AB，BC1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1，故D正确．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14．已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l⊥m，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m∥α，则l∥m【分析】在A中，m与α平行或m⊂α；在B中，m∥β或m⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，l与m相交、平行或异面．【解答】解：由两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，知：在A中，若l∥α，l⊥m，则m与α平行或m⊂α，故A错误；在B中，若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若l⊥α，l∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．正方体A1C中，E、F为AB、B1B中点，则A1E、C1F所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，分别求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），F（2，2，1），则，，∴cos＜＞＝．∴A1E、C1F所成的角的正弦值为．故选：B．【点评】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．16．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2BC，∠A1B1C1＝∠B1C1D1＝120°，且BC∥AD，则直线AB1与直线A1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以A为原点，在平面ABCD中，过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与直线A1D所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABCD中，过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1＝AD＝2BC＝1，则A（0，0，0），B1（，，2），A1（0，0，2），D（0，2，0），＝（，，2），＝（0，2，﹣2），设直线AB1与直线A1D所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AB1与直线A1D所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为（）A．平行B．异面C．相交D．异面或相交【分析】两条直线的位置关系是异面，相交，平行，用反证法假设平行，推出矛盾，说明假设不成立，故而是异面或相交．【解答】解：假设l∥b，又l∥a，根据公理3可得a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故假设不成立，所以l与b异面或相交．故选：D．【点评】本题考查了异面直线的判定，属基础题．18．已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是（）A．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥bB．若α∥β，a∥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b【分析】根据空间中的线线、线面与面面之间的位置共线，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：对于A，若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b是正确的，因为两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的；对于B，若α∥β，a∥α，则a∥β是错误的，因为a也可能在β内；对于C，若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α是正确的，因为由面面垂直与线面垂直的性质与判定，即可得出a⊥α；对于D，若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b是正确的，因为线面平行的性质定理转化为线线平行，得出a∥b．故选：B．【点评】本题利用命题真假的判断，考查了空间中的平行与垂直的应用问题，是中档题．19．若平面α∥平面β，a⊊α，b⊊β，则直线a与b的位置关系是（）A．平行或异面B．相交C．异面D．平行【分析】以正方体为载体，列举出所成情况，由此能判断直线a与b的位置关系．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AD⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，AD∥A1D1；AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，AB与A1D1异面．∴若平面α∥平面β，a⊊α，b⊊β，则直线a与b的位置关系是平行或异面．故选：A．【点评】本题考查两条直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n⊥αD．若m⊥n，m∥α，则n∥α【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在C中，n∥α或n⊂α；在D中，n与α相交、平行或n⊂α．【解答】解：由m，n表示两条不同直线，α表示平面，得：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m⊥n，m∥α，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n则α⊥βB．若m∥α，m⊥n则n⊥αC．若α∥m，β∥m则α∥βD．若α⊥m，β⊥m则α∥β【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，n与α相交、平行或n⊂α；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；在C中，若α∥m，β∥m，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若α⊥m，β⊥m，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二．填空题（共6小题）22．如图图形可用符号表示为α∩β＝AB．【分析】点与直线及点与平面的位置关系可以看成是元素与集合的关系，用集合符号“∩”、“∈”和“∉”等表示，图中表示两个平面相交于直线AB，利用集合的符号来表示即可．【解答】解：根据题中的图形可知，它表示两个平面相交于直线AB，利用集合的符号来表示就是：α∩β＝AB．故答案为：α∩β＝AB．【点评】本题以点与直线及平面的位置关系为载体考查了空间中点、线、面位置关系的符号表示，其中理解点与直线及点与平面的位置关系可以看成是元素与集合的关系，是解答本题的关键．23．有下列判断：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形．其中正确的是④（填序号）．【分析】主要根据公理2以及推论判断①②③④，利用空间图形和几何体进行判断⑤⑥．【解答】解：①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，又因三角形的三个顶点不共线，故④对；⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；故答案为：④．【点评】本题的考点是平面公理2以及推论的应用，主要利用公理2的作用和公理中的关键条件进行判断，考查了空间想象能力．24．下列四个命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点中有三点共线，则此四点必共面；③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；④空间四点不共面，则任意三点不共线．其中正确命题的序号是②④．【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答．【解答】解：对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；顾①错误；对于②，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故②正确；对于③，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故③错误；对于④，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故④正确；故答案为：②④【点评】本题考查了空间四个点是否共面的判断；依据确定平面的条件．25．在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是平行．【分析】根据平行公理可以证明．【解答】解：根据平行公理可知：在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是平行的．故答案为：平行．【点评】本题主要考查空间直线的位置关系的判断，利用平行公理是解决本题的关键，比较基础．26．已知直线L∥平面α，直线m⊂α，则直线L和m的位置关系是平行或异面．【分析】根据线面平行的性质定理得到直线与平面α内的所有直线没有公共点，得到直线l与m的位置关系．【解答】解：因为直线l∥平面α，直线m⊂α，所以直线l与平面α内的所有直线没有公共点，则直线l和m的位置关系是：平行或异面；故答案为：平行或异面．【点评】题考查了线面平行的性质定理的运用，熟记线面平行的性质定理是关键；属于基础题．27．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于90°【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与C1E所成角．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则A1（0，0，2），B（2，0，0），C1（2，2，2），E（0，1，0），＝（2，0，﹣2），＝（﹣2，﹣1，﹣2），设异面直线A1B与C1E所成角为θ，则cosθ＝＝＝0，∴θ＝90°．∴异面直线A1B与C1E所成角等于90°．故答案为：90°．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三．解答题（共3小题）28．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，G，H分别是的B1C1，C1D1中点，求证：DH，BG，CC1延长后相交于一点．【分析】证明四边形GHDB是梯形，得出BG，DH相交，假设交点为P，则P为平面BC1和平面DC1的公共点，故P在直线CC1上，结论得证．【解答】证明：∵G，H分别是的B1C1，C1D1中点，∴GH∥B1D1，GH＝B1D1，∵BD∥B1D1，BD＝B1D1，∴四边形GHDB是梯形，DB∥GH，∴BG，DH是相交直线，设BG∩DH＝P，则P∈BG，P∈DH，∵BG⊂平面BC1，DH⊂平面DC1，∴P∈平面BC1，P∈平面DC1，∵平面BC1∩平面DC1＝CC1，∴P∈CC1，即BG，DH，CC1交于一点．【点评】本题考查了平面的基本性质，属于基础题．29．空间四边形ABCD中，点E、F、G、H为边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG，求证：EH∥BD．【分析】根据一条直线在平面上，一条直线与这条直线平行，根据这两个条件得到直线与平面平行，根据线与面平行的性质，得到线与线平行，得到结论．【解答】证明：∵点E、F、G、H为空间四边形边AB．BC．CD．DA上的点。

高中数学人教A版必修二点、直线、平面之间的位置关系章末综合测评-含答案解析

人教A版必修二点、直线、平面之间的位置关系章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．异面或相交2．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是() A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b5．如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β7．如图2，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．将正方形ABCD 沿BD 折成直二面角，M 为CD 的中点，则∠AMD 的大小是( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°10．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( ) A.292 B.135 C.175 D.119511．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°12．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH ⊥平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.14．如图3，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.图315．如图4所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．图416．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△P AB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面SBC.图5【证明】∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，∵SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD.又∵SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC.18．(本小题满分12分)如图6，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图7所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC.图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.②连接PO，由三视图知，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.20．(本小题满分12分)如图8，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.图8(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.【证明】(1)如图，设AC与BD交于点G.因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，∴四边形CEFG 为平行四边形，又∵CE ＝EF ＝1，∴▱CEFG 为菱形，∴EG ⊥CF .在正方形ABCD 中，AC ⊥BD .∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，∴BD ⊥平面CEFG .∴BD ⊥CF .又∵EG ∩BD ＝G ，∴CF ⊥平面BDE .21．(本小题满分12分)如图9，三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．图9(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .【解】 (1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点．又H为BC的中点，所以MH∥BD.又MH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF ＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.22．(本小题满分12分)如图10所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE，如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥P A.∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE.∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面P AC.又∵BD⊂平面BDE，∴平面P AC⊥平面BDE.(2)取OC中点F，连接EF.∵E为PC中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD .∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.人教A 版必修二点、直线、平面之间的位置关系章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．异面或相交【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行．【答案】 D2．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A、B、C显然正确．易知过一条直线有无数个平面与已知平面垂直．选D.【答案】 D3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解析】对于A，通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错；对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B.【答案】 B4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是() A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b【解析】A中，a、b可以平行、相交或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，α、β可以平行或相交．【答案】 D5．如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图，连接A1B、BC1、A1C1，则A1B＝BC1＝A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.【答案】 B6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.【答案】 B7．如图2，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC，又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB＝AC，BD＝DC＝22AB.又∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝2BD，所以∠BDC＝90°，即BD⊥DC.所以BD⊥平面ADC，同理DC⊥平面ABD.所以A、B、C项均正确．选D.【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为() A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan θ＝3 (设θ为所求平面角)，所以二面角为60°，选C.【答案】 C9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD 的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】如图，设正方形边长为a ，作AO ⊥BD ，则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a ，又AD ＝a ，DM ＝a 2，∴AD 2＝DM 2＋AM 2，∴∠AMD ＝90°.【答案】 D10．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.1195【解析】如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接PE .∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AE ，∴BD ⊥PE .∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1，∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135. 【答案】 B11．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A ．75°B ．60°C．45°D．30°【解析】如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC 的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠P AO即为P A与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3，则S＝34×(3)2＝334，VABC-A1B1C1＝S×PO＝94，∴PO＝ 3.又AO＝33×3＝1，∴tan ∠P AO＝POAO＝3，∴∠P AO＝60°.【答案】 B12．正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BD，BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH .又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A .所以BD ⊥平面AA 1H .又A 1H ⊂平面AA 1H .所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，A 正确．因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角．因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CS SD ，解得SD ＝9.【答案】 914．如图3，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：________时，SC ∥平面EBD .图3【解析】当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD.【答案】E是SA的中点15．如图4所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角，∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面MB1C1，又MC1⊂平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.【答案】90°16．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△P AB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)【解析】由条件可得AB⊥平面P AD，∴AB⊥PD，故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而P A∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD＝12CD·PD，S△P AB＝12AB·P A，由AB＝CD，PD>P A知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．【答案】①③。

数学必修二空间点_直线_平面的位置关系练习题含答案

数学必修二空间点、直线、平面的位置关系学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，平面不能用( )表示．A.平面αB.平面ABC.平面ACD.平面ABCD2. 已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若m⊥l，n⊥l，则m // nB.若m // α，n // α，则m // nC.若m⊥α，n⊥α，则m // nD.若α⊥γ，β⊥γ，则α // β3. 对于不同点A、B，不同直线a、b、l，不同平面α，β，下面推理错误的是（）A.若A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=直线ABC.若l⊄α，A∈l，则A∉αD.a∩b=Φ，a不平行于b，则a、b为异面直线4. 若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A.B∈b∈βB.B∈b⊂βC.B⊂b⊂βD.B⊂b∈β5. 直线a、b为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在a、b上的任何一点，可作一个平面与a、b都平行B.过不在a、b上的任一点，可作一直线与a、b都相交C.过不在a、b上任一点，可作一直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行6. 如图所示，平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l=R．设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ=（）A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上均不正确7. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定8. 若点P为两条异面直线a，b外的任意一点，则下列说法一定正确的是( )A.过点P有且仅有一条直线与a，b都平行B.过点P有且仅有一条直线与a，b都垂直C.过点P有且仅有一条直线与a，b都相交D.过点P有且仅有一条直线与a，b都异面9. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为()A.√1144B.√1122C.3√1144D.√111110. 空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（）A.相等B.互补C.相等或互补D.互余11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB和CC1的距离为________．12. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为________．13. 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是________．14. 已知a // β，a⊂α，α∩β=b，则a和b的位置关系是________．15. 设a、b为两条直线，α、β为两个平面，有下列四个命题：①若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α // β；②若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β；③若a // α，b⊂α，则a // b；④若a⊥α，b⊥α，则a // b；其中正确命题的序号为________．16. 设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________（用代号表示）．17. 在空间直角坐标系O−xyz中，经过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三个点的平面方程为________．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，则平面DEF与平面ACC1A1的位置关系是________．19. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB // CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．20. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直干同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中真命题是________（写出所有真命题的序号）21. 已知直线a，b，c，且a∩b＝A，a∩c＝B，b和c异面，试画出图形表示它们之间的关系．22. 举几对既不相交也不平行的直线的例子．23. 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形（四条线段首尾相接，且连接点不在同一个平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和HG交于点P，求证：点B，D，P在同一条直线上．24. 如图，过直线l外一点P，作直线a，b，c分别交直线l于点A，B，C，求证：直线a、b、c共面．25. 如图，已知E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．26. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，若AC1=3,BC1=√5，则异面直线BC1与AD所成的角的正切值为________.27. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）判断BD1与平面AEC的位置关系，并证明你的结论．（2）若AB=BC=√3，CC1=2，求异面直线AE、BD1所成的角的余弦值．28. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，求异面直线A1B与B1C夹角的余弦值．29. 如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．（1）求BC与A′C′，A′D与BC′所成角的余弦值；（2）求AA′与BC，AA′与CC′所成角的大小．30. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α // β；（2）若m // α，m // β，则α // β；（3）若m // α，n // α，则m // n；（4）若m⊥α，n⊥α，则m // n．上述命题中正确的为________．31. 如图，已知ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD，求证：BD⊥AC．32. 已知三条直线a、b、c，若这三条直线两两相交，且交点分别为A、B、C，试判断这三条直线是否共面．33. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，SA⊥平面ABC，E、F分别为点A在SC、SB上的射影．（1）求证：BC⊥SB；（2）求证：EF⊥SC．34. 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．(Ⅰ)求证：MN // 平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：MN⊥平面A1B1C．35. 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（写出画法步骤，并在图中画出）（2）说明所画的线与平面AC的位置关系．36. 直线a // b，a与平面α相交，判定b与平面α的位置关系，并证明你的结论．37. 如图，在四棱锥P−ABCD中，有同学说平面PAD∩平面PBC=P，这句话对吗？请说明理由．38.（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积．39. 如图，a，b是异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的两点，直线a // 平面a，直线b // 平面a，AB∩a=M，CD∩a=N，若AM=BM，求证：CN=DN．40. 如图，已知平面α、β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD // BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．参考答案与试题解析数学必修二空间点、直线、平面的位置关系一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】利用平面的表示方法，对每个选项逐一判断即可.【解答】解：A．平面可用希腊字母α，β，γ表示，故A正确；B．平面不可用平行四边形的某条边表示，故B错误；C．平面可用平行四边形的对角的两个字母表示，故C正确；D．平面可用平行四边形的顶点表示，故D正确.故选B.2.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据空间线面位置关系的情况举出反例判断或根据性质说明．【解答】对于A，当l⊥α，m⊂α，n⊂α时，显然有m⊥l，n⊥l，单m与n可能平行，也可能相交，故A错误．对于B，若α // β，m⊂β，n⊂β，则m // α，n // α，但m，n可能平行也可能相交，故B错误．对于C，由线面平行的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知C正确．对于D，当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论错误．3.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】在A中，由直线a上有两个点A，B都在β内，知a⊂β；在B中，由不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，知α∩β=直线AB；在C中，由l⊄α，A∈l，知A有可能是l与α的交点；在D中，因a∩b=Φ，a不平行于b，知a、b为异面直线．【解答】解：在A中，∵直线a上有两个点A，B都在β内，∴a⊂β，故A正确；在B中，∵不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，∴α∩β=直线AB，故B正确；在C中，∵l⊄α，A∈l，∴A有可能是l与α的交点，故C错误；在D中，∵a∩b=Φ，a不平行于b，∴a、b为异面直线，故D正确．故选C．4.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选B5.【答案】D【考点】异面直线的判定【解析】若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，可得a⊂β，可判断A的真假；结合空间中直线关系的定义及几何特征，可判断B的真假；依据平行公理，即可判断C的真假；由公理2及其推论，我们可以判断D的真假．【解答】解：A中：若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，此时直线a在已知平面上，并非与已知平面平行，故A错误；B中：由①可得，当此点在β平面上时，结论B不成立；C中：若存在这样的直线l，则l // a，l // b，有平行公理知，必有a // b，与已知矛盾，故C错误；D中：在直线a上取A、B点，过A、B分别作直线c、d与直线b平行，c、d可确定平面α，即b平行于α，此时a在α平面上，故D正确；故答案为D6.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴ R ∈l ，l ⊂β，R ∈AB ，∴ R ∈β．又∵ A ，B ，C 三点确定的平面为γ，∴ C ∈γ，AB ⊂γ，∴ R ∈γ．又∵ C ∈β，∴ C ，R 是平面β和γ的公共点，∴ β∩γ=CR ．故选C ．7.【答案】D【考点】平行公理【解析】根据题意，可在正方体中，举例说明，得到答案【解答】如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，二面角D −AA 1−F 与二面角D 1−DC −A 的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，所以这两个二面角不一定相等或互补．．AB例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90∘，所以这两个二面角不一定相等或互补．8.【答案】B【考点】异面直线的判定【解析】A 通过反证法可以判定；B 由异面直线公垂线的唯一性可以判定；C 、D 利用常见的图形举出反例即可．【解答】解：设过点P 的直线为n ，且{n//a,n//b,， ∴ a // b ，这与a ，b 异面矛盾，选项A 错误；∵ 异面直线a ，b 有唯一的公垂线，∴ 过点P 与公垂线平行的直线有且只有一条，选项B 正确；如图所示的正方体中，设AD 为直线a ，A′B′为直线b ，若点P 在P 1点处，则无法作出直线与两直线都相交， ∴ 选项C 错误；如图所示的正方体中，若P 在P 2点，则由图中可知直线CC′及D′P 2均与a ，b 异面， ∴ 选项D 错误.故选B .9.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】本题考查建立适当的空间直角坐标系，利用向量方法求解即可.【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，E (1,1,23)，A 1(0,0,1)，B(1,0,0),∴ AE →=(1,1,23)，A 1B →=(1,0,−1),∴ cos <AE →,A 1B →>=AE →⋅A 1B →|AE||A 1B|=1−2 3√12+12+(23)2⋅√12+(−1)2=√1122.故选B．10.【答案】C【考点】平行公理【解析】根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等，从而易知本题答案．【解答】解：根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等．本题的条件是：一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，由于没有指出角的对应两边的方向情况，故两个角可能相等或互补．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC，即可得出结论．【解答】解：由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC=2．故答案为：2．12.【答案】√105【考点】异面直线及其所成的角【解析】建立空间坐标系，分别求出两条异面直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间坐标坐标系．取正方体的棱长为2．则B(1, 2, 0)，A(2, 2, 1)，D(2, 0, 2)，C(2, 1, 0)．∴ BA →=(1, 0, 1)，CD →=(0, −1, 2)．∴ cos <BA →，CD →>=|BA →|⋅|CD →|˙=2√2⋅√5=√105． ∴ 异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为√105．故答案为：√105． 13. 【答案】平行或相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用直线与平面的位置关系求解．【解答】解：∵ 直线与平面的位置关系有三种：平行、相交或直线在平面内，∴ 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是平行或相交．故答案为：平行或相交．14.【答案】平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据线面平行的性质定理判断出a // b ．【解答】解：∵ a // β，a ⊂α，α∩β=b ，∴ 由线面平行的性质定理得，a // b ，故答案为：平行．15.【答案】④【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间中面面平行的判定方法，面面垂直的判定方法，线面平行的性质及线面垂直的性质，我们对已知中四个结论逐一进行判断即可得到结论．【解答】解：若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α与β可能平行与可能相交，故①错误；若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α与β可能平行与可能相交，故②错误；若a // α，b⊂α，则a与b可能平行与可能异面，故③错误；若a⊥α，b⊥α，则a // b，故④正确；故答案为：④16.【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】分析本题中的条件，四个条件取三个，有四种组合，由于本题是一开放式题答案不唯一，故选取其一即可．【解答】解：观察发现，①③④⇒②与②③④⇒①是正确的命题，证明如下：证①③④⇒②，即证若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β，因为m⊥n，n⊥β，则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得α⊥β，命题正确；证②③④⇒①，即证若n⊥β，m⊥α，α⊥β，则m⊥n，因为m⊥α，α⊥β则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得m⊥n，命题正确．故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①）．17.【答案】4x+3y+z＝6【考点】平面的概念、画法及表示【解析】设过A、B、C三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，把点的坐标代入方程求得A、B、C的值，从而求得平面方程．【解答】设过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，则A+2C＝D①，A+B−C＝D②，2A−B+C＝D③，由①②③组成方程组，解得A=2D3，B=D2，C=D6；∴2D3x+D2y+D6z＝D，化简得4x+3y+z＝（6）18.【答案】平行【考点】空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据面面平行的判定定理，判断两个平面平行即可．【解答】解：因为D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，所以BD // A1C1，BE // C1C，所以BD // 面A1B1C1，BE // 面A1B1C1，因为DB∩BE=E，所以平面DEF // ACC1A1．故答案为：平行．19.【答案】4【考点】平面的基本性质及推论【解析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．20.【答案】②④【考点】平面的基本性质及推论【解析】利用两个平面平行的判断判断出①错；利用两个平面垂直的判断判断出②对；利用垂直于同一条直线的直线的位置关系判断出③错；利用两个平面垂直的性质判断出④对．【解答】解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对故答案为：②④．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．【考点】异面直线的判定【解析】根据直线a ，b ，c 的关系，画出图形即可．【解答】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．22.【答案】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．【考点】异面直线的判定【解析】可知，既不相交也不平行的直线是异面直线，可画出一个正方体，找出几对上面的异面直线即可．【解答】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．23.【答案】证明：∵ E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，AD ，CB ，CD 上的点， ∴ 由公理一，得EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∵ 面ABD ∩面CBD =BD ，直线EF 和HG 交于点P ，∴ 由公理三得P ∈BD ，∴ 点B ，D ，P 在同一条直线上．．【考点】平面的基本性质及推论【解析】由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，由公理三得P∈BD，由此能证明点B，D，P在同一条直线上．．【解答】证明：∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，AD，CB，CD上的点，∴由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∵面ABD∩面CBD=BD，直线EF和HG交于点P，∴由公理三得P∈BD，∴点B，D，P在同一条直线上．．24.【答案】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．【考点】平面的基本性质及推论【解析】先设直线l与l外一点P确定一个平面α，再证明直线a⊂平面α，同理得出直线b、c⊂平面α即可．【解答】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．25.【答案】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．【考点】平行公理【解析】根据菱形的定义直接证明即可．【解答】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．26.【答案】12【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：设AB=a，因为ABCD是正方形，所以AC=√2a.所以CC1⊥AC,CC1⊥BC，所以CC12=AC12−AC2=BC12−BC2，即9−2a2=5−a2，解得a=2.所以CC1=1，因为AD//BC，所以∠CBC1即异面直线BC1与AD所成的角，tan∠CBC1=CC1BC =12.故答案为：12.27.【答案】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）连接BD，设交AC于O，连接EO，便可说明BD1 // OE，由线面平行的判定定理即（2）由上面BD1 // OE即可得到异面直线AE、BD1所成的角为∠AEO，而通过条件可说明OE⊥AC，并且可求出AE，OE，从而根据直角三角形的边角关系cos∠AEO=EOAE，这样即可求出异面直线AE，BD1所成角的余弦值．【解答】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．28.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答29.【答案】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22；连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5 设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=2×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35；（2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘．【考点】异面直线及其所成的角【解析】（1）根据长方体的性质，可得∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角，在Rt △A ′B ′C ′中，利用三角函数的定义可得cos ∠A ′C ′B ′=√22，即为BC 与A′C′所成角的余弦值．同理可得直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角，结合余弦定理加以计算即可得到A′D 与BC′所成角的余弦值；（2）根据长方体的性质可得AA ′ // BB ′，因此矩形BB ′C ′C 中，∠B ′BC =90∘就是AA′与BC 所成的角；再由AA′ // CC′，得到AA′与CC′所成角为0∘．【解答】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22；连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=5+5−162×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35；（2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′ ∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘． 30.【答案】（4）．【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据题意，分析4个命题：（1）由α⊥γ，β⊥γ，得α // β，或α∩β；（2）由m // α，m // β，得α // β，或α∩β；（3）由m // α，n // α，得m // n ，或m ∩n ，或m ，n 异面；（4）由m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质，得m // n ．进而可得答案．【解答】解：（1）命题不一定成立，因为α⊥γ，β⊥γ时，α，β可能平行，也可能相交；（2）命题不一定成立，因为m // α，m // β时，α，β可能平行，也可能相交；（3）命题不一定成立，因为m // α，n // α时，直线m ，n 可能平行，也可能相交，也可能异面；（4）命题是正确的，因为m ⊥α，n ⊥α时，由垂直于同一平面的两条直线平行，得m // n ．所以，上述正确的命题只有（4）． 31.【答案】证明：取BD 的中点O ，连接AO ，CO ． ∵ AB =AD ，∴ AO ⊥BD ， ∵ CB =CD ，∴ CO ⊥BD ，又AO ∩CO =O ， ∴ BD ⊥平面ACO ， AC ⊂平面ACO ，∴BD⊥AC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】取BD的中点O，连接AO，CO．由等腰三角形的三线合一，得到AO⊥BD，CO⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACO，运用线面垂直的性质即可得证．【解答】证明：取BD的中点O，连接AO，CO．∵AB=AD，∴AO⊥BD，∵CB=CD，∴CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面ACO，AC⊂平面ACO，∴BD⊥AC．32.【答案】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用设a，b确定一个平面α，由已知条件利用公理二能推导出c⊂α，从而这三条直线a，b，c共面于α．【解答】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．33.【答案】证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】（1）证明BC ⊥平面SAB ，然后，从而得到BC ⊥SB ；（2）对于EF ⊥SC 的证明，可以先证明SC ⊥平面EF ，然后，很容易得到EF ⊥SC ．【解答】证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ． 34.【答案】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1．又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)．设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】(Ⅰ)欲证MN||平面BCC 1B 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN 与平面BCC 1B 1内一直线平行即可，而连接BC 1，AC 1．根据中位线定理可知MN||BC 1，又MN ⊄平面BCC 1B 1满足定理所需条件；(Ⅱ)以B 1为原点，A 1B 1为x 轴，B 1B 为y 轴，B 1C 1为z 轴建立空间直角坐标系B 1−xyz ，求出平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)，而n =NM →，根据法向量的意义可知MN ⊥平面A 1B 1C ．【解答】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1．又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)．设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0 ⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．35.【答案】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）注意到棱BC平行于面A′C′，故过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；（2）易知BE，CF与平面AC的相交，可证EF // 平面AC．【解答】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．36.【答案】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，可用反证法给出证明：如图所示，由于a // b，可以经过直线a，b确定一个平面β．由于a∩α=P，可得α∩β=l．可得b与直线l必然相交，否则b // l，得出矛盾．【解答】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．37.【答案】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确．【考点】平面的基本性质及推论空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用平面的基本性质判断即可．【解答】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确． 38.【答案】解：（1）如图所示，取A 1A 4的三等分点p 2，p 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4，的中点N ，过三点A 2，P 2，M ，作平面α2，过三点A 3，P 3，N 作平面α3，因为A 2P 2 // NP 3，A 3P 3 // MP 2，所以平面α2 // α3，再过点A 1，A 4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，由线段A 1A 4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A 1A 2A 3A 4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a ，以△A 2A 3A 4的中心O 为坐标原点，以直线A 4O 为y 轴，直线OA 1为Z 轴建立如图所示的右手直角坐标系，则A 1(0, 0, √63a)，A 2(−a 2, √36a, 0)，A 3(a 2, √36a, 0)，A 4(0, −√33a, 0)．令P 2，P 3为．A 1A 4的三等分点，N 为A 2A 4的中点，有P 3(0, −2√39a, √69a)，N(−a 4, −√312a, 0)，所以P 3N →=(−a 4, 5√336a, −√69a)，NA 3→=(34a, √34a, 0)，A 4N →=(−a 4, √34a, 0)。

高中数学必修二检测题直线与平面、平面与平面之间的位置关系答案解析

高中数学必修二课时跟踪检测（九）空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系一、基础级对点练一直线与平面的位置关系1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交 D.以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2．在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A．2个B．3个C．4个 D.5个解析：选B如图所示，结合图形可知：AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.3．若直线a⊄平面α，则下列结论中成立的个数是()①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线．A．0B．1C．2 D.3解析：选A∵直线a⊄平面α，∴直线a与平面α可能相交或平行．若a与α平行，则α内与a平行的直线有无数条；若a与α相交，则α内的直线可以与a相交，也可以与a异面．故①②③④都不正确．4．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．解析：当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．答案：平行或相交5．简述下列问题的结论，并画图说明：(1)直线a⊂平面α，直线b∩a＝A，则b和α的位置关系如何？(2)直线a⊂α，直线b∥a，则直线b和α的位置关系如何？解：(1)由图①可知：b⊂α或b∩α＝A.(2)由图②可知：b⊂α或b∥α.对点练二平面与平面的位置关系6．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线()A．平行B．异面C．相交 D.平行或异面解析：选D两直线分别在两个平行平面内，则这两条直线没有公共点，所以分别在两个平行平面内的直线平行或异面．故选D.7．如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝l B．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄α D.α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.8．平面α与平面β平行，且a⊂α，下列四种说法中①a与β内的所有直线都平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确的个数是()A．1B．2C．3 D.4解析：选B如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′⊂平面A′B′C′D′，AB⊂平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，所以①③错．9．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.二、提高级1．若一条直线上有两点在已知平面外，则下列结论正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内解析：选B一条直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交．相交时有且只有一个点在平面内，故A、C不对；直线与平面平行时，直线上没有一个点在平面内，故D不对．2．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面 D.以上都有可能解析：选D如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面ABCD，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M，N，连接MN，则MN∥平面ABCD，有A1B1与MN异面．故选D.3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点解析：选D三个平面两两相交，有三条交线，三条交线两两平行或交于一点．如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是相互平行的；但有时三条交线交于一点，如长方体的三个相邻的表面两两相交，交线交于一点，此点就是长方体的顶点．4．a，b是两条异面直线，A是不在直线a，b上的点，则下列结论成立的是()A．过A有且只有一个平面同时平行于直线a，bB．过A至少有一个平面同时平行于直线a，bC．过A有无数个平面同时平行于直线a，bD．过A且同时平行于直线a，b的平面可能不存在解析：选D直线a和点A确定一个平面，若b平行于这个平面，则a含于这个平面，故不存在过A且同时平行于直线a，b的平面，选D.5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.答案：66．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCDA1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．答案：①②7．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？解：三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为B1C1、A1D1的中点．求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交．证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为B1C1的中点，∴EC与B1B不平行，延长CE与BB1，延长线相交于一点H，∴H∈EC，H∈B1B，又知B1B⊂平面ABB1A1，CE⊂平面CDFE，∴H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE，故平面ABB1A1与平面CDFE相交．。

2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业：章末质量检测第二章点、直线、平面之间的位置关系

章末质量检测(二)点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l与平面α不平行，则()A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对解析：直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.答案：C2．若直线a、b异面，直线b、c异面，则直线a、c的位置关系是()A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．以上都有可能解析：如图，当c为AD、A1B1、A1D1的位置时，均满足b，c异面，则c与a的位置关系分别为相交、平行、异面．故选D.答案：D3．若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．不确定解析：若直线a与平面α不垂直，则当直线a∥平面α时，平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．所以，若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．答案：C4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：当直线a⊂平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.答案：A5．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为() A．16和12 B．15和13C．17和11 D．18和10解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，∴x2－81＝(28－x)2－25，∴x＝15,28－x＝13.答案：B6．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A′D′D．AA′解析：连接B′D′(图略)，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.答案：B7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面EFGH交平面ABCD 于GH，交平面A1B1C1D1于EF，则有GH∥EF，同理EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形．答案：A8．对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m∥α，n⊥m，则n⊥α；②若m⊥α，n⊥m，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1B．2 C．3D．4解析：①中n与α位置关系不确定；②中n可能在α内；③中α与γ位置关系不确定；由面面垂直的判定定理可知④正确．故选A.答案：A9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝25，则异面直线BD与AC所成的角为() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD ＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．[2019·贵阳市监测考试]如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面P AC，BC⊥PCA．30°B．60°C．90°D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.MC＝AM＝22，且BM－A的平面角．于E，连接PE 平面ABCD，－A1B1C1D1中，点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点．故EF＝12AC＝ 2.答案： 2－A1B1C1D1中，是正方形，不在平面ABC内)，都有解析：tan∠PCA＝P AAC＝13＝33，∴∠PCA＝30°.答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)ABCD中，E，分别为，AD的中点，BG：GC＝DH：HC＝：2.四点共面；的交点在直线AC上．BG：GC DH：HC分别为AB的中点，H四点共面．不是BC，的中点，－ABCD中，P，M为线段AD3如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，2，连接AE.，AE＝AB2－的距离为5，证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.20．(12分)如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面MDF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.21．(12分)[2019·菏泽检测]如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC ＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.在平面D1DCC1中作中，因为平面ABCD⊥平面在平面DBC中作OF。

高中数学必修二点直线平面间位置关系---平面部分检测题附答案解析(人教版)

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面（课时过关·能力提升）基础巩固1.下列说法正确的是()A.镜面是一个平面B.一个平面长10m,宽5mC.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D.所有的平面都是无限延展的2.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系成立的是()A.l⊂αB.l∈αC.l∩α=AD.l∩α=B3.圆上任意三点可确定的平面有()A.0个B.1个C.2个D.1个或无数个4.两个平面若有三个公共点,则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对5.空间中的四点可确定的平面有()A.1个B.3个C.4个D.1个或4个或无数个6.两个相交平面把空间分成了部分.7.用符号语言和文字语言分别表示下面的图形.8.用文字语言表示下列符号语言,并画图表示(其中P是点,a,b,m是直线,α,β是平面):α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩m=P,b∩m=P.9.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.(1)求作直线AB与平面α的交点P;(2)求证:D,E,P三点共线.二、能力提升1.已知空间中有A,B,C,D,E五个点,如果点A,B,C,D在同一个平面内,点B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点()A.共面B.不一定共面C.不共面D.以上都不对2.下列命题正确的是()A.空间三点可以确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合D.四条边都相等的四边形是平面图形★3.下列结论不正确的是()A.Aaαα∈⎫⎬⊂⎭⇒A∈αB.,A Aaαβαβ∈∈⎫⎬=⎭⇒A∈aC.AAαβ∈⎫⎬∈⎭⇒α∩β=A D.ABαα∈⎫⎬∈⎭⇒AB⊂α4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)AC∩BD=;(2)平面AB1∩平面A1C1=;(3)A1B1∩B1B∩B1C1=.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是.(只填序号)①直线AC1在平面CC1B1B内;②若正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;③由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;④由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面.6.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B∉α;(2)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.7.如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.★8.如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.参考答案一、基础巩固,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D.1或画图可知l⊂α.,则可确定一个平面.,则这两个平面相交或重合;若三点不共线,则这两个平面重合.,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定1个平面;当这,其中任意三点可确定1个平面,此时可确定4个平面.:l⊂α,m∩α=M,M∉l.文字语言:直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点M,点M不在直线l上.:分别在两个相交平面α,β内的两条直线a和b相交,且交点P在平面m上.图形如图所示(画法不唯一).延长AB交平面α于点P,如图所示.ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上,即P∈DE.故D,E,P三点共线.二、能力提升B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面.2,所以选项A不正确;选项C中,当A,B,C,D共线时,平面α和平面β可能相交,所以选项C不正确;选项D中,四条边都相等的四边形可能不共面,所以选项D不正确;由于三角形的三个顶点不共线,则确定一个平面,所以三角形是平面图形,故选项B正确.,则有且仅有一条公共直线,而不是仅有一个公共点.O(2)A1B1(3)B1错误.如图所示,点A∉平面CC1B1B,所以直线AC1⊄平面CC1B1B.②正确.如图所示,连接AC,BD,A1C1,B1D1,因为O∈直线AC,AC⊂平面AA1C1C,O∈直线BD,BD⊂平面BB1D1D,O1∈直线A1C1,A1C1⊂平面AA1C1C,O1∈直线B1D1,B1D1⊂平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.③④都正确,因为AD∥B1C1,且AD=B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以1,D共面.A在平面α内,点B不在平面α内.图形如图①所示.l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形如图②所示.7.由题知点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在两个平面的交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD并交于点E,如图所示.因为E∈AC,AC⊂平面SAC,所以E∈平面SAC.同理可得,E∈平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上.连接SE,直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.,再证这点也在第三条直线上.ABB'A'中,A'B'∥AB,所以AA',BB'在同一平面A'B内.设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.同理BB',CC'同在平面BC'内,CC',AA'同在平面A'C内.因为P∈AA',AA'⊂平面A'C,所以P∈平面A'C.同理点P∈平面BC',所以点P在平面A'C与平面BC'的交线上,而平面A'C∩平面BC'=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.。

高二数学必修二暑假衔接课精品作业第二章点、直线、平面之间的位置关系正文

高中数学必修2新课标(RJA) 第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的上述关系可记为()A．M∈α，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α2．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．M不在直线AC上，也不在直线BD上3．下列图形中不一定是平面图形的是()A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形4．下列说法中正确的是()A．经过不同的三点确定一个平面B．一点和一条直线确定一个平面C．四边形一定是平面图形D．梯形一定是平面图形5．已知空间四点A，B，C，D确定唯一一个平面，那么这四个点中()A．必定只有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线6．空间不共线的四点可以确定平面的个数是()A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定7．空间中有A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一个平面内，B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点()A．共面B．不一定共面C．不共面D．以上都不对二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．如图L211所示的图形可用符号表示为________．图L2119．A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个．10．若直线l上有两个点在平面α内，则下列说法正确的序号为________．①直线l上至少有一个点在平面α外；②直线l上有无穷多个点在平面α外；③直线l上所有点都在平面α内；④直线l上至多有两个点在平面α内．11．已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知直线b ∥c ，且直线a 与直线b ，c 都相交，求证：直线a ，b ，c 共面．13．(13分)已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且BF BC ＝DG DC ＝23，求证：直线FE ，GH ，AC 交于一点．图L212得分14．(5分)________个平面．15．(15分)如图L213所示，E ，F 分别是正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点．试判断四边形EBFD 1的形状．图L2132.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交2．两等角的一组对应边平行，则()A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A．2对B．3对C．6对D．12对4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能5．若a和b异面，b和c异面，则()A．a∥c B．a和c异面C．a和c相交D．a与c平行或相交或异面6．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则()A．1<MN<5 B．2<MN<10 C．1≤MN≤5 D．2<MN<57．在如图L214所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为()图L214A．30°B．45°C．90°D．60°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为________．9．如图L215所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：图L215①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(填序号)．10．一个正方体纸盒展开后如图L216所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确结论的序号是________．图L21611．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为________．三、解答题(12．(12分) 2.(1)求直线BC和EG所成的角；(2)求直线AE和BG所成的角．图L21713．(13分)已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别是AC，BC，DB，DA的中点，若AB＝12 2，CD＝4 3，且HG·HE·sin∠EHG＝12 3，求直线AB和CD所成的角．14．(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1上有一只蚂蚁从A点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2018条棱之后的位置可能在() A．点A1处B．点A处C．点D处D．点B1处15．(15分)在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2 3，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．直线在平面外是指()A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多只有一个公共点2．下列说法正确的是()A．如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行B．两个平面相交于唯一的公共点C．如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点D．平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α4．棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定5．若平面α与β的公共点多于两个，则()A．α，β可能只有三个公共点B．α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C．α，β一定有无数个公共点D．以上均不正确6．平行于同一个平面的两条直线的位置关系为()A．平行B．相交C．异面D．以上三种均有可能7．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与m都异面B．α内的所有直线与m都相交C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内不存在与m平行的直线二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．下列命题中为真命题的是__________(只写序号)．①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定异面；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b共面或异面；⑤若两个平面α∥β，a⊂α，则a与β一定相交．9．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．10．下列说法中正确的是________(填序号)．①若直线a不在平面α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两条直线可以相交．11．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是__________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)如图L218所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？图L21813．(13分)已知a，b是两条直线，α是一个平面，a∥b，a∩α＝P.求证：b与α相交．14．(5分)两个平面可以把空间分成________部分，三个平面可以把空间分成__________________部分．15．(15分)如图L219所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出l的位置；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．图L2192.2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面平行的判定2．2.2平面与平面平行的判定一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．下列条件中，能使α∥β成立的是()A．平面α内有无数条直线平行于平面βB．平面α与平面β平行于同一条直线C．平面α内有两条直线平行于平面βD．平面α内有两条相交直线平行于平面β2．下列条件中能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m与平面α内所有直线平行B．直线m与平面α内无数条直线平行C．直线m与平面α没有公共点D．直线m与平面α内的一条直线平行3．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有()A．2条B．3条C．4条D．6条4．已知α，β是两个不同的平面，下列条件中可以判断平面α与β平行的是()(1)α内存在不共线的三点到β的距离相等；(2)l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；(3)l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.A．(1)(2) B．(1)(3)C．(3) D．(1)(2)(3)5．已知长方体ABCD -A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，则与EF平行的长方体的面有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是()图L221A．①③B．①④C．②③D．②④7．如图L222所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若AECE＝BFFC＝BGGD，则与平面EFGH平行的直线有()图L222A．0条B．1条C．2条D．3条二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．用符号语言表述面面平行的判定定理如下：a⊂α，b⊂α，________，a∥β，b∥β⇒α∥β.其中，横线处还差的一个条件是________．9．若E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱有________条．10．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下面三个命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若α∥β，l∥α，则l∥β；③若l∥α，m∥l，则m∥α.其中所有假命题的序号是________．11．如图L223所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C 的平面的位置关系是______________．图L223三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)如图L22-4所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1.图L22413．(13分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.图L225得分14．(5分)如图L226所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足______________时，有MN∥平面B1BDD1.图L22615．(15分)如图L227所示，已知α∥β，异面直线AB，CD和平面α，β分别交于A，B，C，D四点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)平面EFGH∥平面α.图L2272.2.3直线与平面平行的性质一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．不确定2．直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面()A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个3．已知a，b表示直线，α表示平面，给出下列说法：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α.其中正确说法的个数是()A．0 B．1C．2 D．34．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．有无数条，不一定在平面α内B．只有一条，不在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．只有一条，且在平面α内5．如图L228所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()图L228A．8 B．9C．10 D．116．如图L229所示，棱柱ABC -A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为()图L229A．1 B．2C．3 D．47．如图L2210所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()图L2210A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．已知α，β，γ是三个不重合的平面，a ，b 是两条不重合的直线．若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且α∥γ，则a 与b 的位置关系是________.9．已知l ，m ，n 是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中所有真命题的序号为________．10．一个正四面体木块如图L2211所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面PDEF 平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为________．图L221111．有一木块如图L2212所示，点P 在平面A ′C ′内，棱BC 平行于平面A ′C ′，要经过点P 和棱BC 将木块锯开，锯开的面必须平整，有N 种锯法，则N ＝________．图L2212三、解答题(12．(12分)如图L2213所示，在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，AD 上的点，若AMMB ＝ANND，P 为线段CD 上的一点(P 与D 不重合)，过M ，N ，P 的平面交平面BCD 于点Q ，求证：BD ∥PQ .图L221313．(13分)如图L2214所示，已知三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，若D 是棱CC 1的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？并证明你的结论．图L221414．(5分)如图L2215所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于点A′，B′，C′.若P A′∶AA′＝3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．图L221515．(15分)在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E 在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面P AB∩平面PCD＝l.(1)证明：l∥CD.(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．图L2216滚动习题(二)[范围2.1～2.2]一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是() A．异面B．相交C．平行D．不能确定2．如图G21是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()图G213．直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．可能是平行直线D．可能是异面直线，也可能是相交直线4．如果三个平面将空间分成6部分，则这三个平面的位置关系是()A．两两相交于三条交线B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交C．两两相交于同一条直线D．B中情况或C中情况都可能发生5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是()A．若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1∥l3B．若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3C．若l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面D．若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面6．如图G22所示，三棱锥A -BCD的棱长都相等，E，F分别是棱AB，CD的中点，则EF与BC所成的角是()图G22A．30°B．45°C．60°D．90°7．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是()A．菱形B．梯形C．正方形D ．空间四边形8．如图G23所示，在四面体A - BCD 中，AC 与BD 互相垂直，且长度分别为2和3，平行于这两条棱的平面与边AB ，BC ，CD ，DA 分别相交于点E ，F ，G ，H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEAB ＝x ，则( )图G2-3A ．函数y ＝f (x )的值域为(0，1]B ．函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (2－x )C ．函数y ＝f (x )的最大值为2D ．函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9．空间三个平面之间的交线条数为n ，则n 的可能值为________． 10．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．11．如图G24所示，在棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 的长度的取值范围是________．图G24三、解答题(12．(15分)上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过点E ，F ，G 的平面交AD 于H ，连接EH .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH ，FG ，BD 三线共点．图G2513．(15分)如图G26所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．图G2-614．(15分)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点．(1)求证：AC1∥平面BDE；(2)求异面直线A1E与BD所成角的大小．图G272.3直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的任意一条直线垂直D．l与平面α内的某一条直线垂直2．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①l垂直于α内五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内无数条直线；④l垂直于α内正六边形的三条边．其中能得出l⊥α的所有条件的序号是()A．②B．①③C．②④D．③3．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．异面直线AD与CB1所成的角为45°4．设PH⊥平面ABC，且P A，PB，PC均相等，则H是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心5．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°6．如图L231所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1＝2∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为()图L231A．45°B．60°C．30°D．75°7．如图L232所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()图L232A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．如图L233所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件______________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)图L2339．如图L234所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为________．图L23410．如图L235所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G.给出下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF.其中正确的结论是________(填序号)．图L23511．在三棱锥P-ABC中，P A⊥PB，P A⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面上的投影是底面△ABC的________心．三、解答题(12．(12分)＝2，P A＝2，PD ＝2 2，求证：AD⊥平面P AB.图L23613．(13分)如图L237所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC上的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.图L237得分14．(5分)如图L238所示，△ABC是等腰三角形，BA＝BC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，若AC＝2，且BE⊥AD，则()图L238A．AB·BC＝1 B．AB·BC＝2C．AE·CD＝1 D．AE·CD＝215．(15分)如图L239所示，已知点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，A1B1的中点，P 是底面ABCD的中心．求证：(1)MN∥平面PB1C；(2)D1B⊥平面PB1C.图L2392.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．下面不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n ⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A．0 B．1C．2 D．33．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β4．如图L2310所示，在立体图形DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()图L2310A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，平面ADC⊥平面BDE5．在四面体A -BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，ABDC为直二面角，E 是CD的中点，则∠AED＝()A．45°B．90°C．60°D．30°6．如图L2311所示，在四棱锥P -ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()图L2311A．平面P AB⊥平面P ADB．平面P AB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面P AD7．如图L2312所示，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD⊥平面CEFB，CE＝1，∠BCD＝60°，若二面角D -CE -F的大小为α，则tan α＝()图L2312A. 3B.233C.12D.22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2 6，则侧面与底面所成的二面角等于________． 9．已知两条不同的直线m ，n ，两个不同的平面α，β，给出下列结论： ①若m 垂直于α内的两条相交直线，则m ⊥α； ②若m ∥α，则m 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，n ⊂β，且α∥β，则m ∥n ； ④若n ⊂β，n ⊥α，则α⊥β.其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)10．给出下列角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有________个．11．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线．给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个推论：________．三、解答题(12．(12分)如图L2313所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 为BB 1的中点，求证：截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.图L231313．(13分)如图L2314所示，在三棱锥A - BCD 中，AB ⊥平面BCD ，M ，N 分别是AC ，AD 的中点，BC ⊥CD .(1)求异面直线MN 与BC 所成的角； (2)求证：平面ACD ⊥平面ABC .图L231414．(5分)已知二面角α -l -β的大小为60°，A∈α，B∈β，且A，B两点在l上的射影分别为A′，B′，其中BB′＝1，AA′＝2，A′B′＝3，点C是l上任一点，则AC＋BC的最小值为() A．4 2 B．3 3C．2 3 D．3 215．(15分)如图L2315，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D.(2)AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为45°？图L23152.3.3直线与平面垂直的性质一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线2．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直3．如图L2316所示，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在()图L2316A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部4．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则下列说法正确的是()A．若α⊥β，则l∥mB．若l⊥m，则α∥βC．若l∥β，则m⊥αD．若α∥β，则l⊥m5．如图L2317所示，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，P A⊥平面ABC，则四面体P -ABC的四个面中，直角三角形的个数为()图L2317A．4 B．3C．2 D．16．如图L2318所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝2AB，AB＝BC，则下列结论中正确的是()图L2318A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C7．如图L2319所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在()图L2319A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号是________．9．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中所有真命题的序号是________．10．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．11．如图L2320所示，PD⊥矩形ABCD所在的平面，则图中相互垂直的平面有________对．图L2320三、解答题(12．(12分)如图L2321所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A ＝AB，G为PD的中点，求证：AG⊥平面PCD.图L232113．(13分)如图L2322所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，且P A ⊥AC ，P A ＝3，BC ＝4，DF ＝52.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .图L232214．(5分)[2017·湖北咸宁高二期中] 如图L 2323所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF(如图①)．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE(如图②)．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( )①AC ∥平面BEF ；②B ，C ，E ，F 四点不可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直．图L 2323A ．0B ．1C ．2D ．315．(15分)如图L 2324(1)所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图L 2324(2)所示．(1)求证：DE ∥平面A 1CB. (2)求证：A 1F ⊥BE.(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ? 请说明理由．图L2324滚动习题(三)[范围2.1～2.3]一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．如图G31所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则表示直线PQ与RS是异面直线的图形的是()A B C D图G312．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中真命题的序号是()A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④3．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是()A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n4．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，下列结论错误的是()A．AC∥平面A1BC1B．BC1⊥平面A1B1CDC．AD1⊥B1CD．异面直线CD1与BC1所成的角是45°5．如图G32，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，则异面直线A1C与B1C1所成的角为()图G32A．30°B．45°C．60°D．90°6．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值是()A.33 B.22C.32 D. 37．如图G33所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()图G33A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为1 38．在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是()图G34A．4 B．2＋ 2C．3＋ 5 D．2＋ 5二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9．下列四个命题中，真命题的个数为________．①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若点M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．10．已知点E，F分别在正方体ABCD -A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．11．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝BD＝a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积是________．三、解答题(本大题共3小题，共45分)12．(15分)如图G35所示，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，P A＝AD＝a.(1)求证：MN∥平面P AD；(2)求证：MN⊥平面PCD.图G3513．(15分)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A -BCF，其中BC＝2 2.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF.图G3614．(15分)如图G37，在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA ＝AB＝BC＝2，AD＝1.(1)求证：平面SAB⊥平面SBC；(2)求SC与底面ABCD所成角的正切值．图G37全品学练考 | 高中数学必修2 新课标(RJA)第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1 平面1．B2．A [解析] 由题意得EF 在平面ABC 内，HG 在平面ACD 内，EF 与HG 交于点M ，∴M 一定落在平面ABC 与平面ACD 的交线AC 上．3．D [解析] 四边相等的四边形有可能是空间四边形，故选D .4．D [解析] 经过不共线的三点确定一个平面，故A 错误；直线与直线外一点确定一个平面，故B 错误；四边形有可能是空间四边形，故C 错误；梯形中有一组对边平行，故梯形一定是平面图形，故D 正确．故选D .5．B6．C [解析] 若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面的个数为1；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点可以确定平面的个数是4.故选C .7．B [解析] 当B ，C ，D 三点共线时，B ，C ，D 三点不能确定平面．A ，B ，C ，D 所在的平面和B ，C ，D ，E 所在的平面可能不同，所以A ，B ，C ，D ，E 五点不一定共面.8．α∩β＝AB [解析] 根据题中的图形可知，它表示两个平面相交于直线AB ，可用符号表示为α∩β＝AB.9．1或无数 [解析] 当A ，B ，C 三点不共线时可唯一确定1个平面，当A ，B ，C 三点共线时，有无数个平面．10．③ [解析] 若直线l 上有两个点在平面α内，则直线l 在平面α内，所以直线l 上所有点都在平面α内，所以正确的说法是③.11．6 [解析] 当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P 与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面．12．证明：∵b ∥c ，∴直线b ，c 可以确定一个平面α.设a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，则A ∈a ，B ∈a ，A ∈α，B ∈α，即a ⊂α，故直线a ，b ，c 共面．13．证明：∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD.又∵BF BC ＝DG DC ＝23，∴FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，且EH ≠FG ，故四边形EFGH 是梯形，∴EF ，HG 相交．设EF ∩HG ＝K ，∵K ∈EF ，EF ⊂平面ABC ，∴K ∈平面ABC ，同理K ∈平面ACD. 又平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴K ∈AC ，故直线FE ，GH ，AC 交于一点．14．1或4 [解析] 当这四点在同一平面内时，可以确定1个平面；当这四点不共面时，则任意三点可确定1个平面，一共可确定4个平面．15.解：如图所示，取BB 1的中点M ，连接A 1M ，MF. ∵M ，F 分别是BB 1，CC 1的中点，∴MF ∥B 1C 1. 在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1∥B 1C 1，∴MF ∥A 1D 1，又MF ＝A 1D 1， ∴四边形A 1MFD 1是平行四边形，∴A 1M 綊D 1F. 又E ，M 分别是AA 1，BB 1的中点，∴A 1E 綊BM ， ∴四边形A 1EBM 为平行四边形，∴EB 綊A 1M ， ∴EB 綊D 1F ，∴四边形EBFD 1是平行四边形．又Rt △EAB ≌Rt △FCB ，∴BE ＝BF ，∴四边形EBFD 1为菱形．2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1．C [解析] 在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C.。

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高中数学必修2课后限时训练35点、直线、平面之间的位置关系章末检测卷时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若l⊄α，A∈l，则A∉α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．则上述命题中，正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：根据公理1可知①正确；根据公理3可知②正确，根据公理2可知④正确；当点A为直线l与平面α的交点时，可知③错误．2．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则P A与对角线BD的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．相交垂直D．异面垂直答案：D解析：∵PC⊥平面α，∴PC⊥BD，又在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴BD⊥平面P AC.又P A⊂平面P AC，∴BD⊥P A.显然P A与BD异面，故P A与BD异面垂直．3．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且P A，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心答案：B解析：由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圆圆心．4．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为() A．30° B．60°C．90° D．120°答案：B解析：易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.5．已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a∩α，b∩α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C解析：可借助正方体模型解决．如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ.又平面A1B1CD∩DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．因为a，b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．a∥b时，由题知l垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l ⊥α，④错误．6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 答案：D解析：由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则交线平行于l ，故选D.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 答案：D 解析：如右图所示．由于AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EF ⊥AA 1，所以①正确；当E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1的中点时，EF ∥A 1C 1，又AC ∥A 1C 1，则EF ∥AC ，所以③不正确；当E ，F 分别不是线段A 1B 1，B 1C 1的中点时，EF 与AC 异面，所以②不正确；由于平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以EF ∥平面ABCD ，所以④正确．8．如图，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台答案：D解析：因为EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，所以EH ∥B 1C 1，又EH ⊄平面BCC 1B 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1，又EH ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BCC 1B 1＝FG ，所以EH ∥FG ，又EH ∥B 1C 1，所以Ω是棱柱，所以A ，C 正确；因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，EH ∥A 1D 1，所以EH ⊥平面ABB 1A 1，又EF ⊂平面ABB 1A 1，故EH ⊥EF ，所以B 正确，故选D.9．)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A ．－45 D ．35C ．34D ．－35答案：B解析：首先根据已知条件，连接DF ，然后则∠DFD 1即为异面直线所成的角，设棱长为2，则可以求解得到5＝DF ＝D 1F ，DD 1＝2，结合余弦定理得到结论．10．如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E ，F ，H ，K 分别为AC ′，CB ′，A ′B ，B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心，从K ，H ，G ，B ′中取一点作为P ，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则点P 为( )A ．KB ．HC ．GD ．B ′ 答案：C 解析：应用验证法：选G 点为P 时，EF ∥A ′B ′且EF ∥AB ，此时恰有A ′B ′和AB 平行于平面PEF ，故选C.11．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 答案：D 解析：由平面图形易知∠BDC ＝90°.∵平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面ABD .∴CD ⊥AB .又AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ADC .又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .12．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A ．23B ．33C ．23D ．13答案：A解析：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H ，⎭⎪⎬⎪⎫BD ⊥ACAA 1⊥BD AC ∩AA 1＝A ⇒⎭⎪⎬⎪⎫BD ⊥面ACC 1A 1CH ⊂面ACC 1A 1⇒⎭⎪⎬⎪⎫BD ⊥HCOC 1⊥HC BD ∩OC 1＝O ⇒CH ⊥面BDC 1， ∴∠HDC 为CD 与面BDC 1所成的角，设AA1＝2AB ＝2，OC ＝22，CC 1＝2，OC 1＝322，CH ＝OC ·CC 1OG ＝23，∴sin ∠HDC ＝CH CD ＝23，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13．直线l 与平面α所成角为30°，l ∩α＝A ，m ⊂α，A ∉m ，则m 与l 所成角的取值范围是________．答案：[30°，90°]解析：直线l 与平面α所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在α内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的最大值为90°.14．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC )解析：连接AC ，则BD ⊥AC ，由P A ⊥底面ABCD ，可知BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC .故当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，平面MBD ⊥平面PCD .15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为________．答案：22解析：三棱锥的直观图如右图．AB ⊥面BCD ，△BCD 为等腰直角三角形． AB ＝2，BD ＝2，BC ＝CD ＝2， AC ＝AB 2＋BC 2＝6，AD ＝AB 2＋BD 2＝22＋22＝2 2.16．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段CC 1上的动点，过A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①当0<CQ <12时，S 为四边形②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1交点R 满足C 1R 1＝13④当34<CQ <1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62.答案：①②③⑤解析：设截面与DD 1相交于T ，则AT ∥PQ ，且AT ＝2PQ ⇒DT ＝2CQ .对于①，当0<CQ <12时，则0<DT <1，所以截面S 为四边形，且S 为梯形，所以为真．对于②，当CQ ＝12时，DT ＝1，T 与D 重合，截面S 为四边形APQO 1，所以AP ＝D 1Q ，截面为等腰梯形，所以为真．对于③，当CQ ＝34，QC 1＝14，DT ＝2，D 1T ＝12，利用三角形相似解得，C 1R 1＝13，所以为真．对于④，当34<CQ <1时，32<DT <2，截面S 与线段A 1D 1，D 1C 1相交，所以四边形S 为五边形，所以为假．对于⑤，当CQ ＝1时，Q 与C 1重合，截面S 与线段A 1D 1相交于中点G ，即即为菱形APC 1G ，对角线长度为2和3，S 的面积为62，所以为真，综上，选①②③⑤.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如右图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.证明：(1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面 A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解析：(1)在平面ABC 内，过点P 作直线l 和BC 平行．理由如下：由于直线l 不在平面A 1BC 内，l ∥BC ，故直线l 与平面A 1BC 平行．在△ABC 中，∵AB ＝AC ，D 是线段AC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴l ⊥AD .又∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥l .而AA 1∩AD ＝A ，∴直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过点D 作DE ⊥AC 于点E .∵侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，则易得DE ⊥平面AA 1C 1C .在Rt △ACD 中，∵AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴AD ＝AC ·cos60°＝1，∴DE ＝AD ·sin60°＝32.∴S △QA 1C 1＝12·A 1C 1·AA 1＝12×2×1＝1，∴三棱锥A 1－QC 1D 的体积VA 1－QC 1D ＝VD －QA 1C 1＝13·S △QA 1C 1·DE ＝13×1×32＝36.19．(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．解析：(1)证明：如下图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE . (2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF .由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE . 由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BFPB，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.20．(本小题满分12分)如图三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，(1)证明AB ⊥A 1C ；(2)若AC 1＝6，AB ＝CB ＝2，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积S .解析：(1)证明：取AB 中点E ，连接CE ，A 1B ，A 1E ， ∵AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，∴△BAA 1是等边三角形， ∴A 1E ⊥AB ，∵CA ＝CB ，∴CE ⊥AB ，∵CE ∩A 1E ＝E ，∴AB ⊥面CEA 1，∴AB ⊥A 1C .(2)由于△CAB 为等边三角形，∴CE ＝3，A 1E ＝3，在△A 1CE 中A 1C ＝ 6.即有A 1C 2＝CE 2＋A 1E 2，故A 1E ⊥CE ，S 底面积＝12×AB ×CE ＝12×2×23＝23，A 1E ⊥AB ，A 1E ⊥CE ，∴h ＝A 1E ＝3，V ＝Sh ＝23×3＝6.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向为从A 到D 的方向时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； (3)求三棱锥D －PBC 的体积．解析：(1)如图1，在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E . 由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依据勾股定理得BE ＝3，从而AB ＝6. 又由PD ⊥平面ABCD 得，PD ⊥AD ，从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠P AD ＝60°，得PD ＝4 3.正视图如图2所示：(2)方法一：如图3，取PB 的中点N ，连接MN ，CN . 在△P AB 中，∵M 是P A 的中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3，又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN . 又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ， ∴DM ∥平面PBC .方法二：如图4，取AB 的中点E ，连接ME ，DE . 在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ， ∴四边形BCDE 为平行四边形，∴DE ∥BC .又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .又在△P AB 中，ME ∥PB ，ME ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，∴ME ∥平面PBC . 又DE ∩ME ＝E ，∴平面DME ∥平面 PBC . 又DM ⊂平面DME ，∴DM ∥平面PBC .(3)V D －PBC ＝V P －DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝43，所以V D －PBC ＝8 3.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB ＝3，AD ＝2，P A ＝2，PD ＝22，∠P AB ＝60°.(1)求证：AD ⊥平面P AB ；(2)求异面直线PC 与AD 所成的角的正切值； (3)求二面角P －BD －A 的正切值．解析：(1)证明：在△P AD 中，∵P A ＝2，AD ＝2，PD ＝22， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2，∴AD ⊥P A . 在矩形ABCD 中，AD ⊥AB .∵P A ∩AB ＝A ，∴AD ⊥平面P AB .(2)∵BC ∥AD ，∴∠PCB 是异面直线PC 与AD 所成的角．在△P AB 中，由余弦定理得 PB ＝P A 2＋AB 2－2P A ·AB ·cos ∠P AB ＝7.由(1)知AD ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ， ∴AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，则△PBC 是直角三角形，故tan ∠PCB ＝PB BC ＝72.∴异面直线PC 与AD 所成的角的正切值为72. (3)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作HE ⊥BD 于点E ，连结PE . ∵AD ⊥平面P AB ，PH ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥PH . 又∵AD ∩AB ＝A ，∴PH ⊥平面ABCD .又∵PH ⊂平面PHE ，∴平面PHE ⊥平面ABCD . 又∵平面PHE ∩平面ABCD ＝HE ，BD ⊥HE ， ∴BD ⊥平面PHE .而PE ⊂平面PHE ，∴BD ⊥PE ，故∠PEH 是二面角P －BD －A 的平面角．由题设可得，PH ＝P A ·sin60°＝3， AH ＝P A ·cos60°＝1，BH ＝AB －AH ＝2，BD ＝AB 2＋AD 2＝13，HE ＝AD BD ·BH ＝413.∴在Rt △PHE 中，tan ∠PEH ＝PH HE ＝394.∴二面角P －BD －A 的正切值为394.。