2019-2020学年广西南宁市第二中学高二上学期期中考试(文)数学试题(解析版)

2019-2020学年广西南宁市第二中学高二上学期期中考试
数学（文）试题
一、单选题
1．集合{
}2
2,A y y x x R ==+∈，{
}
2
40,B x x x R =-≥∈，则A B =I ( ) A ．{}2 B ．[]22-, C ．[)2,+∞
D ．(][),22,-∞-+∞U
【答案】C
【解析】求出集合,A B ，再用交集的概念进行运算即可. 【详解】
解：{}
[)2
2,2,A y y x x R ==+∈=+∞，{}
(][)2
40,,22,B x x x R =-≥∈=-∞-⋃+∞，
故[)2,A B =+∞I ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查交集的概念及运算，是基础题．
2．“5m >”是“方程22
113
x y m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据椭圆的定义和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
方程22
113
x y m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆.
则13m ->，即4m >.
所以当5m >时，方程22
113
x y m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆.
取 4.5m =时，方程22
113
x y m +=-也表示焦点在x 轴上的椭圆，而此时不满5m >.
所以“5m >”是“方程22
113
x y m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆”充分不必要条件.
故选：A 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的方程和性质是解决本题的关键．属于 基础题.
3．已知p ：m R ∀∈，210x mx --=有解，q ：0N x ∃∈，02
0210x x --≤，则下列选项中是假命题的为( ) A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∨
D ．()p q ⌝∨
【答案】B
【解析】先判断命题,p q 的真假，然后利用复合命题的真假判断来得答案． 【详解】
解：p ：m R ∀∈，210x mx --=有解， 因为240m +>恒成立，故p 为真命题； q ：0N x ∃∈，02
0210x x --≤， 因为448∆=+=，故q 为真命题，
所以A. p q ∧为真命题，B. ()p q ∧⌝为假命题，C. p q ∨为真命题，D. ()p q ⌝∨为真命题． 故选：B ． 【点睛】
本题考查命题的真假判断，以及复合命题的真假判断，是基础题．
4．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且2520a a +=，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．30 B ．40
C ．50
D ．60
【答案】D
【解析】由等差数列的性质有251620a a a a +==+，则16
662
a a S +=⨯可求解. 【详解】
数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且2520a a +=。

所以251620a a a a +=+=， 则16620
666022
a a S +=
⨯=⨯= 故选：D 【点睛】
本题考查等差数列的选择和前n 项和公式的和的应用，属于基础题.
5．已知实数ln 22a =，2ln 2b =+，()2
ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b c a << B ．c b a << C ．a c b << D ．c a b <<
【答案】D
【解析】利用对数函数的单调性，确定a ，b ，c 的大致范围，进而比较出大小． 【详解】 解：ln 2
ln1ln 2ln 2
21,222e a a =>==<<，则12a <<；
2ln 22ln12b =+>+=， ()()2
2
ln 2ln 1c e =<=，
所以c a b <<． 故选：D ． 【点睛】
本题考查对数式的大小比较，充分利用对数函数的单调性，找到中间量进行搭桥，是基础题． 6．已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为2的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．5π
【答案】B
【解析】由已知可得，该几何体为三棱锥，将之补成正方体，则原三棱锥的外接球与该正方体的外接球是同一个球，进而得到答案． 【详解】
由已知可得，该几何体为三棱锥，如图.
从点出发的三条棱两两垂直且长度相等.则可以将之补成正方体. 则原三棱锥的外接球与该正方体的外接球是同一个球. 所以正方体的对角线长为外接球的直径. 故球半径R 满足23R =
.
故球的表面积243S R ππ==， 故选：B ．
【点睛】
本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，属于基础题．
7．若圆心坐标为()2,1-的圆被直线10x y --=截得的弦长为22（ ）
A ．()()22
212x y -++= B ．()()22
218x y -++= C ．()()2
2
214x y -++= D ．()()2
2
2112x y -++=
【答案】C
【解析】设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足的勾股定理，求出圆的半径，得到圆的方程． 【详解】
由题意得这个设圆的方程为: ()()22
221x y R -++= 圆心到弦的距离为(
)()
2
211211d ---=
=+-.
因为圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理. 所以()()
2
2
2
2
2r =
+=.
所以圆的方程为：()()2
2
214x y -++= 故选：C 【点睛】
本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，注意点到直线的距离公式的应用．属于基础题.
8．已知实数x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3-
D ．4-
【答案】B
【解析】作出可行域，平移目标直线可得取最值时的条件，求交点代入目标函数即可． 【详解】
作出不等式组020x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
满足的平面区域.
目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+.
其中z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，当截距最大时，z 值最大.
由图可知，当直线2y x z =-+过点A 时，在y 轴上截距最大. 所以z 的最大为2204z =⨯+=. 故选：B 【点睛】
本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中基础题． 9．已知实数x ，y
=
，则点(),P x y 的运动轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
【答案】A
【解析】先证明：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)e e <<时，这个点的轨迹是椭圆，然后转化已知条件为动点与定点和定直线的距离问题，然后判断即可． 【详解】
先证明：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)e e <<时，这个点的轨迹是椭圆．
设点()M x y ，与定点()0F c ，
的距离和它到定直线2
:a l x c
=的距离的比是常数(0)c a c a >>， 设d 是点M 到直线l 的距离，
根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪
==⎨
⎬⎪⎪⎩⎭
|c a =
．
将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．
设222a c b -=，就可化成22221(0)x y
a b a b
+=>>，这是椭圆的标准方程．
故当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)e e <<时，这个点的轨迹是椭圆．
由已知实数,x
y
=
，
12=
，
表达式的含义是点(,)P x y 到定点(1,3)与到直线10x y ++=的距离的比为1
2
，由上述证明的结论可得，轨迹是椭圆． 故选：A ． 【点睛】
本题考查椭圆的轨迹方程，考查转化思想，注意点是否在直线上是解题的关键之一．
10．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A ．2 B ．3
C ．
31
2
+ D ．
51
2
+ 【答案】D
【解析】设该双曲线方程为22
22100x y a b a b
-=（＞，＞），
得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为b
c
-
,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率. 【详解】
设该双曲线方程为22
22100x y a b a b
-=（＞，＞），
可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b b k c c
-==--， ∵直线FB 与直线b y x a =互相垂直，1b b
c a
∴-⨯=-, 2b ac ∴=,
22222b c a c a ac =-∴-=Q ，, 210e e ∴--=,
15
e ±∴=
, 双曲线的离心率e ＞1， ∴e=51
2
+,
故选D.
【考点】双曲线的简单性质
11．已知函数2,01,
()1,
1.x x f x x x
⎧⎪
=⎨>⎪⎩剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互
异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．59,44⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．59,{1}44⎛⎤
⎥⎝⎦
U D ．59,{1}44
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
U
【答案】D
【解析】画出()f x 图象及直线1
4
y x a =-+，借助图象分析．
【详解】
如图，当直线1
4y x a =-+位于B 点及其上方且位于A 点及其下方，
或者直线14
y x a =-+与曲线1
y x =相切在第一象限时符合要求．
即1124a ≤-
+≤，即59
44a ≤≤， 或者2114x -=-，得2x =，12y =，即11
224
a =-⨯+，得1a =，
所以a 的取值范围是{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦
U ．
故选D ．
【点睛】
根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．
12．已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） A
B C D 【答案】B
【解析】设A 关于对称点为(3,1)A '- ,22
13a PA PB A B e a =+≥==
≤=
' ，选B.
二、填空题
13．已知π
(0)2a ∈，，tanα=2，则πcos ()4
α-=______________．
【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，所以2
1
cos 5
α=
，因为
(0,)2
πα∈，所以cos 5
5
αα==，因为cos()cos cos sin sin 44
4
πππααα-=+，
所以cos()4
π
α-
=
22+=
． 14．已知圆1C ：2
2
2x y +=关于直线l 对称的圆为圆2C ：222430x y x y ++-+=，则直线l 的方程为______. 【答案】2450x y -+=
【解析】分别求出两圆的圆心坐标，则两圆心关于直线l 对称，由直线方程的点斜式求解． 【详解】
圆2C ：2
2
2430x y x y ++-+=化为()()22
122x y ++-=.
由题意可知圆1C 的圆心为()10,0C ，圆2C 的圆心为()21,2C -
圆1C 与圆2C 关于直线l 对称. 则两圆心1C ，2C 关于直线l 对称.
12
20210
C C k -=
=---,且1C ，2C 的中点为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
所以直线l 的方程为：111
()22
y x -=+,即2450x y -+=. 故答案为：2450x y -+= 【点睛】
题考查圆关于直线的对称圆的关系，求对称直线l 的方程,考查计算能力，是基础题．
15．已知向量a r ，b r
满足1a =r ，2b =r ，a b -=
r r ，则2a b +=r r
______.
【解析】由向量的和与差的模的运算得：2()5a b -=r r ，则0a b ⋅=r r ，所以由
|2|a b +=r r
【详解】
解：因为向量a r ，b r
满足1a =r ，2b =r ，a b -=r r ，
所以2
()5a b -=r r ，
又222()21245a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+=r r r r
r r r r ，
0a b ∴⋅=r
r ，
所以|2|a b +===r
r
【点睛】
本题考查了向量的和与差的模的运算，属中档题．
16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．
【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为
11B D 中点时，NA
三、解答题
17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 2B b
C a c
=-+． （1）求B 的大小；
（2）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）23
B π
=
（2）1sin 2ABC S ac B ∆=
= 【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出3ac =，再利用三角形的面积公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）由
cos cos 2B b C a c =-+ cos sin cos 2sin sin B B
C A C
⇒=-+ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒=--
()2sin cos sin A B B C ⇒=-+ 2sin cos sin A B A ⇒=- 1
cos 2
B ⇒=-
又0πB <<，所以2π
3
B =
. （Ⅱ）由余弦定理有()2
2
2
2
2π
2cos 22cos
3
b a
c ac B a c ac ac =+-=+-- ，解得3ac =，
所以1sin 2ABC S ac B V =
=
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
()2
2222π
2cos 22cos
3
b a
c ac B a c ac ac =+-=+--.
18．已知数列{}n a 的前n 项和2*
10()n S n n n N =-∈,又*
()n n b a n N =∈．
（1）求数列{}n a ；
（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）
；（2）
【解析】【详解】试题分析：（1）由得到数列的通项公式（注意检验
首项
是否适合通项）；（2）由（1）可知数列{}n b 的通项公式，根据绝对值的意义可知数列的
前5项为等差数列，从第六项开始也是一等差数列，由等差数列的求和公式可得到数列{}n b 的前n 项和． 试题解析：（1）
时,
时,
也适合上式
（2）
时,
,
时,
2521050n S S n n =-=-+
．
【考点】1．数列的通项与前n 项和；2．数列的求和
19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11A ADD ⊥底面ABCD ，112D A D D ==底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点.
（1）求证：1
//AO 平面1AB C ； （2）求凸多面体11ABOC D 的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）
1
3
【解析】(1)连接CO 、1A O 、AC 、1AB ，推导出四边形11A B CO 为平行四边形，从而11//A O B C ，
由此能证明1
//AO 平面1AB C ． （2）推导出1D O AD ⊥，从而1D O ⊥底面ABCD ,再证明OC ⊥底面11ADD A ，又11ABOC D V
111C ABO C AD O V V --=+1
111
33
ABO AD O S D O S CO =⋅⋅+⋅⋅，则凸多面体11ABOC D 的体积可求.
【详解】
（1）证明：如图，连接CO 、1A O 、AC 、1AB ，
则四边形ABCO 为正方形，所以11OC AB A B ==， 所以四边形11A B CO 为平行四边形， 所以11//A O B C ，
又1
AO ⊄平面1AB C ，1B C ⊆平面1AB C ，
所以1
//AO 平面1AB C （2）解法一：因为11D A D D =，O 为AD 中点，所以1D O AD ⊥， 又侧面11A ADD ⊥底面ABCD ，所以1D O ⊥底面ABCD
因为112D A D D ==，2AD =所以1ADD ∆是等腰直角三角形，所以11D O =. 易证OC AD ⊥，又侧面11A ADD ⊥底面ABCD ，所以OC ⊥底面11ADD A
11ABOC D V
111C ABO C AD O V V --=+
1111
33
ABO AD O S D O S CO =⋅⋅+⋅⋅ 1111113232AB AO D O D O AO CO ⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111111113232⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
13
=
解法二：因为11D A D D =，O 为AD 中点，所以1D O AD ⊥， 又侧面11A ADD ⊥底面ABCD ，所以1D O ⊥底面ABCD 因为BO CD P 且BO CD =，所以11BO C D ∥且11BO C D = 所以四边形11C D OB 为平行四边形，又1D O OB ⊥
所以四边形11C D OB 为矩形
作AE BO ⊥于点E ，因为1D O ⊥底面ABCD ，所以1AE D O ⊥， 且1BO D O O =I ，所以AE ⊥面11C D OB
所以四棱锥11111
11111
213333
2A C D OB C D OB V S AE OB OD AE -=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=矩形
【点睛】
本题考查线面平行的证明和分割法求多面体的体积，属于中档题.
20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)，且离心率2
2
e =.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9
(,0)4
G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)22
142
x y += (2) 点G 在以AB 为直径的圆外
【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得
222{
,
b c a a b c ===+
解得2
{a b c ===所以椭圆E 的方程为22
142
x y +=．
（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．
由222
2
1
{(2)230,142
x my m y my x y =-+--=+=得 所以12122223+=
,=22m y y y y m m ++，从而0
22
y m 2
=+. 所以2222222
00000095525GH|()()(+1)++
44216
x y my y m y my =++=++=. 2222
2121212()()(+1)()|AB|444x x y y m y y -+--==
22221212012(+1)[()4](+1)()4
m y y y y m y y y +-==-,
故22222
2
012222|AB|52553(+1)25172|GH|(+1)042162(2)21616(2)
m m m my m y y m m m +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>
2，故G 9
(4
-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299
GA (,),(,).44x y GB x y =+=+u u u r u u u r
由222
2
1
{(2)230,1
42x my m y my x y =-+--=+=得所以12122223
+=,=22m y y y y m m ++， 从而121212129955
GA GB ()()()()4444
x x y y my my y y ⋅=+++=+++u u u r u u u r
222
12122252553(+1)25(+1)()4162(2)216m m m y y m y y m m =+++=-+++22172
016(2)
m m +=>+
所以cos GA,GB 0,GA GB 〈〉>u u u r u u u r u u u r u u u r
又，不共线，所以AGB ∠为锐角.
故点G 9(4
-,0)在以AB 为直径的圆外．
【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．
21．已知奇函数()log 1a
b ax
f x ax
+=- （1）求b 的值，并求出函数的定义域
（2）若存在区间[],m n ，使得[],x m n ∈时，()f x 的取值范围为[]log 6,log 6a a m n ，求a 的取值范围
【答案】（1）1b =
（2）118a <<-【解析】（1）由函数为奇函数且函数在0x =处有意义，则()00f =，即可求得1b =，再检验即可得解，然后再求函数的定义域；
（2）分类讨论函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最值，再根据方程的解的个数求a 的取值范围即可得解. 【详解】
解：（1）由函数()log 1a
b ax
f x ax
+=-为奇函数，显然函数在0x =处有意义， 则()00f =，则log 0a b =，即1b =，
检验当1b =时，()1log 1a ax
f x ax
+=-显然为奇函数，故1b =； 由
101ax ax +>-且0a >，解得11x a a -<<，故函数的定义域为11,a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
;
（2）由()12
log log (1)11a
a ax f x ax ax
+==---，
①当01a <<时，函数()12log log (1)11a
a ax f x ax ax +==---在11,a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为减函数，
又存在区间[],m n ，使得[],x m n ∈时，()f x 的取值范围为[]log 6,log 6a a m n ， 则2log (
1)log 61a a n am -=-，2log (1)log 61a a m an -=-，即2
161n am -=-，
2161m an -=-，又211am -<-2
11an
--，则66n m <，即n m <，不合题意，
②当1a >时，函数()12log log (1)11a
a ax f x ax ax +==---在11,a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为增函数，
又存在区间[],m n ，使得[],x m n ∈时，()f x 的取值范围为[]log 6,log 6a a m n ， 则2log (
1)log 61a a m am -=-，2
log (1)log 61a a n an
-=-，
即
2161x ax -=-在11,a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
有两个不等实数解， 即2
6(6)10ax a x +-+=在11,a a ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭有两个不等实数解， 设2
()6(6)1g x ax a x =+-+，11,x a a ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
， 则0161121
()01()0a a a a g a g a
∆>⎧⎪-⎪-<-<⎪⎪
⎨->⎪⎪
⎪>⎪⎩，则23636061812020
a a a a ⎧-+>⎪
-<<⎪⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩，解得018122a <<-， 又1a >，即118122a <<-，
综合①②可得：a 的取值范围为118122a <<-. 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，主要考查了函数单调性的应用，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 22． 已知函数（其中
）的最小正周期为
（1）求当为偶函数时的值； （2）若
的图像过点
，求
的单调递增区间
【答案】（1）；（2）单调递增区间为
.
【解析】试题分析：（1）由最小正周期为，可求出
，由于函数为偶函数，结合三角函数的
知识，得.（2）将点代入，得
，故，
，
将
代入区间
，可求得函数的增区间为
.
试题解析：的最小正周期为，∴.
.
（1）当为偶函数时，，，
将上式展开整理得，由已知上式对都成立，
.
（2）由的图像过点
，得
，即
. 又，
.
令
，得
，
的单调递增区间为.
23．已知函数()1f x x a x a
=
--+
（1）当1a =，求函数()f x 的定义域； （2）当[]
1,2a ∈时，求证：()2
215f x f x ⎛⎫
+-
≤ ⎪⎝⎭
【答案】(1)0x ≤. (2)证明见解析.
【解析】分析：（1）函数有意义，则110x x --+≥，据此可得0x ≤. （2）由题意结合绝对值三角不等式的性质证得题中的结论即可. 详解：（1）当1a =时，()11f x x x =--+所以110x x --+≥，
得()()22
11x x -≥+，解得0x ≤. （2）()2
2111111
2f
x f x a x a a x a x x a a ⎛⎫+-
=--++----+≤+ ⎪
⎝⎭
125a a ⎛
⎫=+≤ ⎪⎝
⎭，当且仅当2a =时等号成立.
点睛：绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。