2021-2022学年陕西省咸阳市泾阳县高一(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年陕西省咸阳市泾阳县高一（上）期中数学
试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={0,1,2}，B ={x|−1≤x <1,x ∈Z}，则A ∪B =( )
A. {0}
B. {−1,0,1,2}
C. [−1,2]
D. [−1,2) 2. 若函数y =a x −12(a >0，且a ≠1)恒过定点P ，则点P 的坐标是( )
A. (1,32)
B. (−1,0)
C. (0,12)
D. (2,72) 3. 下列函数中，在区间(−∞,0)上单调递减的是( )
A. y =2x
B. y =3x −7
C. y =−2x 2
D. y =−|x|
4. 函数y =log 5x 的图像与函数y =log 0.2x 的图像关于( )
A. 原点对称
B. x 轴对称
C. y 轴对称
D. 直线y =x 对称
5. 函数y =log 2(2x +1)的值域是( ) A. [1,+∞) B. (0,1)
C. (−∞,0)
D. (0,+∞) 6. 用二分法求方程log 8x −13x =0近似解时，所取的第一个区间可以是( )
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (2,4)
7. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个
函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最合适的是( )
A. y =2x −2
B. y =12(x 2−1)
C. y =log 2x
D. y =e x
8. 若幂函数y =(m 2−3m +3)x m+1在R 上单调递增，则( )
A. 1≤m ≤2
B. m =1或m =2
C. m =2
D. m =1
9. 已知函数f(x)={2x −x,x ≥0x 2+1,x <0
，则f(f(−1))=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 在同一直角坐标系中，函数y =1a x ，y =log a (x +1
2)(a >0且a ≠1)的图象可能是
( ) A. B.
C. D.
11. 设函数f(x)=x 2+x +a(a >0)，且f(m)<0，则( )
A. f(m +1)≥0
B. f(m +1)≤0
C. f(m +1)>0
D. f(m +1)<0
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其
名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x]称为高斯函数．例如：[−0.1]=−1，[1.9]=1，[2]=2.若函数f(x)=x −[x]，则函数f(x)是( )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 单调递增函数
D. 非奇非偶函数
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f(x)=12x−1的定义域是______．
14. 若函数f(2x +1)=x +1，则f(1−x)=______．
15. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x 2−4x +1，则函
数f(x)的零点个数是______．
16. 已知a ，b ∈R ，且2a =3b ，给出如下关系：
①a >b >0；②a <b <0；③a =b =0；④b <a <0．
其中所有可能成立的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 计算下列各式的值：
(Ⅰ)(√2)×20.5+π0+(127)−13；
(Ⅱ)lg5−log23×log32+e ln2+lg2．
18.已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|3<x<6}，全集U=R．
(Ⅰ)求∁U(A∩B)；
(Ⅱ)求(∁U A)∩(∁U B)．
19.已知函数f(x)=a−2
．
2x+1
(Ⅰ)若f(x)为奇函数，求实数a的值；
(Ⅱ)判断f(x)的单调性，并证明你的结论．
20.已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)的图像过点(4,2)．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求不等式f(1+x)<f(1−x)的解集．
21.已知函数f(x)=x2−2ax+3，x∈[−2,3]．
(Ⅰ)当a=2时，求函数f(x)的值域；
(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为a，求实数a的值．
22.在刚刷完漆的室内放置空气净化器，净化过程中有害气体含量P单位：mg/L)与时
间t(单位：ℎ)的关系为：P=P0e−kt，其中P0，k是正的常数，如果在前5ℎ消除了10%的有害气体，那么：
(1)10ℎ后还剩百分之几的有害气体？
(2)有害气体减少50%需要花多少时间？(精确到1ℎ)
(参考数据：ln2≈0.6931，ln0.9≈−0.1054)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={0,1,2}，
B={x|−1≤x<1,x∈Z}={−1,0}，
∴A∪B={−1,0,1,2}．
故选：B．
利用列举法求出集合B，再由并集定义能求出A∪B．
本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C
【解析】解：对于函数y=a x−1
2(a>0，且a≠1)，令x=0，求得y=1
2
，
可得它的图象恒过定点P(0,1
2
)，
故选：C．
由题意令幂指数等于零，求得x、y的值，可得指数函数的图象经过定点的坐标．
本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据反比例函数的性质可知A显然满足题意；
根据一次函数的性质可知y=3x−7在(−∞,0)上单调递增，B不符合题意；
根据二次函数性质可知，y=−2x2在(−∞,0)上单调递增，C不符合题意；
根据一次函数及函数图象变换可知，y=−|x|在(−∞,0)上单调递增，D不符合题意．故选：A．
结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的单调性判断，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数y=log0.2x=−log5x，函数的图像与函数y=log5x的图像关于x轴对称．
故选：B．
化简函数的解析式，然后判断两个函数的图像的位置关系即可．
本题考查对数函数的图象与性质，函数的图象的变换，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：令u(x)=2x+1，则y=log2u，u>1，根据对数函数性质，
函数y=log2(2x+1)的值域是：(0,+∞)，
故选：D．
将2x+1看作整体，求出2x+1的取值范围，再求函数值域．
本题考查对数函数值域，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，设f(x)=log8x−1
3x
，(x>0)，
有f(1)=0−1
3<0，f(2)=log82−1
6
=1
3
−1
6
=1
6
>0，f(3)=log83−1
9
>0，f(4)=
log84−1
12
>0，
有f(1)f(2)<0，
即方程log8x−1
3x
=0近似解在区间(1,2)上，所取的第一个区间可以是(1,2)，
故选：B．
根据题意，设f(x)=log8x−1
3x
，(x>0)，由二分法分析其零点所在区间，即可得答案．本题考查函数的零点判定定理，涉及二分法的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得，表中数据y随着x的变化趋势，
函数在(0,+∞)上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快，
对于A，一次函数是线性增加的函数，增长率固定，不符合题意，故A错误，
对于C ，对数函数增长率比线性函数低，不符合题意，故C 错误，
对于D ，指数函数以爆炸性增长，增长率过快，不符合题意，故D 错误，
对于B ，二次函数符合题意，故B 正确．
故选：B ．
由题意可得，表中数据y 随着x 的变化趋势，函数在(0,+∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快，再结合选项函数的特性，即可求解．
本题主要考查函数类型的判断，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵幂函数y =(m 2−3m +3)x m+1在R 上单调递增，
∴m 2−3m +3=1，且m +1为奇数，
求得m =2，
故选：C ．
由题意利用幂函数的定义和性质，求得m 的范围，可得结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】A 解：因为f(x)={2x −x,x ≥0x 2+1,x <0
， ∴f(−1)=(−1)2+1=2；
所以：f(f(−1))=f(2)=22−2=2．
故选：A ．
根据分段函数的解析式，先求出f(−1)的值，再求f(f(−1))的值．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于中档题．
对a 进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；
【解答】
解：由函数y =1a x ，y =log a (x +12)，
当a >1时，可得y =1a x 是递减函数，图象恒过(0,1)点，
函数y =log a (x +12)，是递增函数，图象恒过(12,0)；
当0<a <1时，可得y =1a x 是递增函数，图象恒过(0,1)点，
函数y =log a (x +12)，是递减函数，图象恒过(12,0)；
∴满足要求的图象为：D ．
故选D ．
11.【答案】C
【解析】解：∵f(m)<0，∴f(x)有两个不同的零点，
∴△=1−4a >0，解得0<a <14．
设f(x)的零点为x 1，x 2.且x 1<x 2.则x 1<m <x 2
f(x)在(x 2,+∞)上单调递增，
∵x 1=−1−√1−4a 2，x 2=−1+√1−4a 2．
∴x 2−x 1=√1−4a ，
∵0<a <14
， ∴√1−4a <1．
∴m +1>x 2．
∴f(m +1)>f(x 2)=0．
故选：C ．
根据f(x)的零点个数得出a 的取值范围，计算f(x)的零点间的距离，判断m +1与f(x)的最大零点的关系．
本题考查了二次函数的图象与性质，根与系数的关系，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：由于[x]={ …
−2,−2≤x <−1
−1,−1≤x <0
0,0≤x <11,1≤x <22,2≤x <3…
， 所以f(x)=x −[x]={ …x +2,−2≤x <−1
x +1,−1≤x <0
x,0≤x <1x −1,1≤x <2x −2,2≤x <3…
， 由此作出函数f(x)的图象如图所示，
由图象可得f(x)是非奇非偶函数，不是单调递增函数．
故选：D ．
根据高斯函数的定义得出函数f(x)=x −[x]的解析式，作出图形，由图象可得选项． 本题主要考查函数奇偶性的判断，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于基础题．
13.【答案】(−∞,12)∪(12,+∞)
【解析】解：由题意得：2x −1≠0，
解得：x ≠12，
故函数的定义域是(−∞,12)∪(12,+∞)，
故答案为：(−∞,12)∪(12,+∞)．
根据分母不为0，求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，是基础题．
14.【答案】−12x +1
【解析】解：令2x −1=t ，得x =
t−12， ∴f(t)=t−12+1=t+12，
(x+1)，
再将式子中的t都换成x，可得f(x)=1
2
x+1，
所以f(1−x)=−1
2
x+1．
故答案为：−1
2
令2x−1=t，得x=t−1
，将x代入f(2x+1)中，得到关于f(t)的式子，再将式子中的t
2
都换成x，可得f(x)的解析式，然后求出f(1−x)．
本题考查换元法求函数的解析式，考查学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：由f(x)=x2−4x+1=0(x≥0)，解得x=2±√3，
∴当x≥0时，f(x)的零点有两个，为2−√3，2+√3；
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，再由偶函数的图象关于原点中心对称，可知−2+√3，−2−√3也是函数f(x)的零点．
综上，f(x)零点的个数为4．
故答案为：4．
求出x>0时的函数的零点，再由偶函数的对称性可得f(x)零点的个数．
本题考查函数零点的判定，考查奇函数的对称性，是基础题．
16.【答案】①②③
【解析】解：在同一坐标系内画出y=2x，y=3x的图象，如图所示：
设2a=3b=k，当k=1时，a=b=0，③正确；
当k>1时，a>b>0，①正确；
当0<k <1时，a <b <0，②正确；
综上，所有可能成立的序号是①②③．
故答案为：①②③．
在同一坐标系内画出y =2x ，y =3x 的图象，设2a =3b =k ，讨论k =1、k >1和0<k <1时，a 与b 的可能取值即可．
本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)(√2)×20.5+π0+(127)−13=(√2)×√2+1+(3−3)−1
3=1+1+3=5. (5分)
(Ⅱ)lg5−log 23×log 32+e ln2+lg2=lg5+lg2−1+2=2. (10分)
【解析】(Ⅰ)利用指数的运算法则，化简求解即可．
(Ⅱ)利用对数的运算法则化简求解即可．
本题考查指数与对数的运算法则的应用，是基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵A ={x|1≤x ≤4}，B ={x|3<x <6}，
∴A ∩B ={x|3<x ≤4}，
∴∁U (A ∩B)={x|x >4或x ≤3}，
(Ⅱ)∵A ={x|1≤x ≤4}，B ={x|3<x <6}，全集U =R ，
∴∁U A ={x|x >4或x <1}，∁U B ={x|x ≥6或x ≤3}，
∴(∁U A)∩(∁U B)={x|x <1或x ≥6}．
【解析】(Ⅰ)由A 与B ，求出两集合的交集即可；
(Ⅱ)由全集U 及A ，求出A 的补集，找出A 补集与B 的补集的并集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)为奇函数，
所以f(−x)+f(x)=0，即a −22x +1+a −22−x +1=0，
整理可得2a −
2(2x +1)2x +1=0，
所以a =1；
(Ⅱ)函数f(x)在R 上为单调递增函数，证明如下：
设x1<x2，
则f(x1)−f(x2)=a−2
2x1+1−a+2
2x2+1
=2(2x1−2x2)
(1+2x1)(1+2x2)
，
因为x1<x2，
所以2x1−2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0，
则f(x1)<f(x2)，
故函数f(x)在R上为单调递增函数．
【解析】(Ⅰ)利用奇函数的定义，列式求解即可；
(Ⅱ)利用函数单调性的定义判断并证明即可．
本题考查了奇函数定义的理解与应用，函数单调性的判断与证明，属于基础题．
20.【答案】解：(Ⅰ)依题意有log a4=2log a2=2，
∴a=2．
(Ⅱ)由(Ⅰ)易知函数f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增，
又f(1+x)<f(1−x)，
∴{1+x<1−x,
1+x>0,
1−x>0,
解得−1<x<0．
∴不等式f(1+x)<f(1−x)的解集为(−1,0)．
【解析】(Ⅰ)利用已知条件列出方程，求解即可．
(Ⅱ)利用函数的单调性结合函数的定义域，列出不等式组求解即可．本题考查对数函数的应用，不等式的解法，是基础题．
21.【答案】解：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=x2−4x+3，x∈[−2,3]，∴函数f(x)的对称轴为直线x=2，
∵f(−2)=15，f(2)=−1，f(3)=0，
∴f(x)min=−1，f(x)max=15，
∴当a=2时，函数f(x)的值域为[−1,15]；
(Ⅱ)函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x=a，
①当a≤−2时，函数f(x)在区间[−2,3]上单调递增，
∴f(x)min=f(−2)=4a+7，
∴4a +7=a ，即a =−73，满足题意；
②当a ≥3时，函数f(x)在区间[−2,3]上单调递减，
∴f(x)min =f(3)=12−6a ，
∴12−6a =a ，即a =127，不满足题意；
③当−2<a <3时，a ∈[−2,3]，
∴f(x)min =f(a)=−a 2+3，
∴−a 2+3=a ，解得a =
−1+√132或a =−1−√132(舍)． 综上所述，a =−73或a =−1+√132
．
【解析】(Ⅰ)求出f(x)的解析式，利用二次函数图象与性质，求解最值，即可得到值域； (Ⅱ)按照对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，由二次函数的图象与性质求解最值，列式求解即可．
本题考查了二次函数值域的求解，二次函数最值的理解与应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)根据题意可得，P =P 0e −5k =P 0(1−10%)，则e −5k =90%， 故当t =10时，P =P 0e −10k =P 0(e −5k )2=P 0(90%)2=P 081%，
故10个小时后还剩81%的有害气体．
(2)根据题意可得，P 0e −kt =P 050%，
则(e −5k )15t =12，即0.915t =12， 故t =5log 0.90.5=5−ln2ln0.9≈33，
故有害气体减少50%需要花33小时．
【解析】(1)根据已知条件，可推得P =P 0e −5k =P 0(1−10%)，则e −5k =90%，再将t =10代入P =P 0e −kt 中，即可求解．
(2)根据题意可得，P 0e −kt =P 050%，结合对数函数的公式，即可求解．
本题考查了函数的实际应用，以及对数函数的公式，属于中档题．。