高中数学：函数图像及函数零点的运用

XXXX教育学科教师辅导讲义讲义编号

Ⅱ、函数()

y f ax

=(0)

a>的图像可以将函数()

y f x

=的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长

(1)

a>或压缩（01

a

<<）为原来的1

a

倍得到。

f(x)y=f(x)a x⨯→y=f(ax)

★例题讲解：

例1．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)； (2)y=10|lgx|．

分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．

解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)

(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；

当0＜x＜1时，lgx＜0，所以

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)

说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函

数、对数函数，及三角函数的图象． 例2. 函数2sin(2)14

y x π

=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？

答案：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象，再向左平移8

π

个单位得

2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1

2即得

sin y x =的图象）。 课堂练习：

1．一次函数y=kx+2k+1(x ∈[1，2])的图象在x 轴上方，则k 的取值范围是_____________.

2．利用函数图象判定方程12+x =x+a 有两个不同的实数解时，实数a 的满足的条件.

★课后作业

, -x

1

01 -1

-11

-1

-11

1

-1

1

-1

＝

x

（

Ａ．312y x =

- (02)x ≤≤ Ｂ．33

122y x =-- (02)x ≤≤ Ｃ．3

12

y x =-- (02)x ≤≤ Ｄ．11y x =-- (02)x ≤≤

6．已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且当[]1,1-∈x 时，2)(x x f =，则)(x f y =与

x y 5log =的图象的交点个数为 （ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5 7．函数||log 33x y =的图象是

（ ）

8．曲线y=x 2

－3x 关于x 轴的对称图形所对应的函数是 （ ） A ．x=y 2－3y B ．y=x 2+3y C ．y=－x 2－3x D ．y=－x 2+3x

9．将y=2x 的图象 （ ） A ．先向左平移1个单位 B ．先向右平移1个单位

C ．先向上平移1个单位

D ．先向下平移1个单位 再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2(x+1)的图象.

10．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x －1)与y=f(1－x)的图象关于 （ ） A ．直线y=0对称 B ．直线x=0对称

C ．直线y=1对称

D ．直线x=1对称

答案：1.B 2 .D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D9.D 10.D 6．由)1()1(-=+x f x f 知函数)(x f y =的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log 5x=1; 当x>5时，f(x)=1∈[0，1]，

log 5x>1, )(x f y =与x y 5log =的图象不再有交点，故选C

二．函数与方程

★知识梳理

y

x

O

1

-1 1

5

构造函数)31(352<<-+-=x x x y 和a y =，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：

①当31≤

13=a 时，原方程有一解；

②当4

133<

③当1≤a 或4

13>a 时，原方程无解

点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x +x =3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围

[例4] (2007·广东)已知a 是实数,函数

()a x ax x f --+=3222

,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2

x 的系数，故要对a 进行讨论

[解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.

令

()2

48382440

a a a a ∆=++=++=, 解得

37

2a -±=

①当

37

2a --=

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;

②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在

[]1,1-上也恰有一个零点.

③当

()

y f x =在[

]

1,1-上有两个零点时, 则

()()20824401

1121010a a a a f f >⎧

⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨

⎪

≥⎪

⎪

-≥⎩

或

()()20824401

1121010a a a a f f <⎧

⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨

⎪

≤⎪

⎪

-≤⎩