第七 种群竞争模型

种群竞争模型
一.问题的提出
Causs 根据实验分析，得出结论“吃同种食物的两种不同生物是不能长期共存的。

”你如何理解这句话
这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠。

二.模型假设
1.假设种群密度相当。

2.假设种群个体都是健康的。

3.假设没有受自然灾害的影响，只是靠搞自身的竞争力
三.符号说明
以)(1t x 、)(2t x 表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻t 的数量，
1． 资源有限，设其总量为1，)2,1(=i N i 分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；
2． 种群数量的增长率)2,1)((=i t x
i 与该种群数量)2,1)((=i t x i 成正比，同时也与有闲资源)2,1)((=i t s i 成正比；
3． 各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，)2,1(=i i σ分别表示甲、乙二种群对对方已占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头”。

比方，若)1,0(1∈σ时，表示在乙种群看来，甲种群是“奢侈的”，它可以在甲种群用过的盘子里捡到“剩骨头”，若11>σ时，说明乙种群在食物选择上是“过分”挑剔的，或者可理解为，对于乙种群，甲种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，)2,1(=i i σ反映了甲、乙二种群适应能力，1σ越小、2σ越大，则甲种群的相对适应能力越强；
4． )2,1(=i r i 分别表示甲、乙二种群的固有增长率。

四.模型建立
根据模型假设，可得如下数学模型：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅-=⋅--=⋅⋅=⋅⋅=221122221111
22221111//1//1N x N x s N x N x s s x r x s x r x σσ
经化简，得：
⎩⎨⎧-⋅-⋅⋅=⋅--⋅⋅=)//1()//1(2211222222111111N x N x x r x N x N x x r x σσ
五.模型求解与分析
模型方程的解没有解析表达式，我们的兴趣和目的是：当t 充分大时，)(1t x 、)(2t x 的变化趋势怎样？利用平衡点的稳定性，对两种群的变化趋势可作出判断。

令模型方程的右端项
⎩⎨⎧=-⋅-⋅⋅=⋅--⋅⋅0)//1(0)//1(22112222211111N x N x x r N x N x x r σσ，
求解可得该模型的四个平衡点：
)0,0(1P 、)0,(12N P 、),0(23N P 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅--⋅⋅--22121211411,11N N P σσσσσσ。

1． 讨论平衡点)0,0(1P 的稳定性
为此，将微分方程
⎩⎨⎧-⋅-⋅⋅=⋅--⋅⋅=)//1()//1(2211222222111111N x N x x r x
N x N x x r x σσ 的右端函数以其在)0,0(1P 的一阶Taylor 展式取代，构造线性动力系统
⎩⎨⎧⋅=⋅=222111x r x
x r x ， 此时系数矩阵
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100r r A ，其两特征值0,02211>=λ>=λr r 按照上一节中判断平衡点稳定性的方法，计算得
0)()(212211<+-=+-=r r a a p ，0||21>⋅==r r A q ，q P 42≥， 故)0,0(1P 是不稳定性的（结点）；这表明两种群不会同时灭绝。

2． 确定平衡点)0,(12N P 的稳定性
将微分方程
⎩⎨⎧-⋅-⋅⋅=⋅--⋅⋅=)//1()//1(2211222222111111N x N x x r x
N x N x x r x σσ 的右端函数以其在)0,(12N P 的一阶Taylor 展式取代，构造线性动力系统
⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=⋅--⋅-=2222212111111)1()(x r x x r N N N x r x σσ ，
此时系数矩阵为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅--=22121
11
)1(0r r N N r A σσ， A 的两个特征值分别为： 22211)1( ,0r r ⋅-=<-=σλλ，
按照判断平衡点稳定性的方法，计算得：当且仅当12>σ时，平衡点)0,(12N P 是（局部）稳定的；条件12>σ表示在消耗供养乙的资源中甲强于乙，此时，乙种群终将在竞争中灭绝，而甲种群能够一直存活下去并趋向于其最大容量1N 。

3． 确定平衡点),0(23N P 的稳定性
与2的讨论类似，可以得平衡点),0(23N P 是（局部）稳定的充要条件为11>σ；条件11>σ表示在消耗供养甲的资源中乙强于甲，此时，甲种群终将要在竞争中灭绝，而乙种群能够一直存活下去。

4． 确定平衡点⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅⋅--⋅⋅--22121211411,11N N P σσσσσσ的稳定性 平衡点⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅⋅--⋅⋅--22121211411,11N N P σσσσσσ只有在第一象限内方有实际意义，为此应有)2,1(=i i σ同时大于“1”或同时小于“1”，采用类似2的分析，可以得到当)2,1(=i i σ同时大于“1”时，平衡点4P 为一鞍点，是不稳定的；当)2,1(=i i σ同时小于“1”时，平衡点4P 为一稳定的结点。

11<σ表示在消耗供养甲的资源中乙弱于甲， 12<σ表示在消耗供养乙的资源中甲弱于乙，二者同时成立，于是二者共存，甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值。