北京市朝阳区2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

北京市朝阳区2013—2014学年度高一年级第二学期期末统一
考试
数学学科试卷
2014.7
（考试时间100分钟 满分100分）
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项. 1．与角80-︒终边相同的角是
A ．80︒
B ．100︒
C ．240︒
D ．280︒ 2. 若角a 的终边经过点(1,2)P -，则sin a 等于
A. -
B.
C.
D. -
3. 设x ∈R ，平面向量(1,1)x =-a ，(,2)x =b ，若a //b ，则x 的值为
A.2或1-
B. 2-或1
C. 2
D.
23
4．若直线经过点A (1,0)，
B ，则直线AB 的倾斜角的大小为 A ．
30 B ．
45 C ．
60 D ．
90 5．已知数列{}n a 为等差数列，且39a =，53a =，则9a 等于
A ．9-
B ．6-
C ．3-
D ．27 6．如图，M 是△ABC 的边AB 的中点，若CM a =，CA b =， 则CB =
A ．2a +b
B ．2a b - （第6题图）
C ．2a +b
D ．2a b - 7. 已知α为锐角，且4
cos()65
απ+
=，则cos α等于
A. 410-
B. 410
+
C.
D.
8. 函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)22
ωϕππ
>-
<<的部分图象如图所 示，则,ωϕ的值分别是 A.2,3π-
B. 4,3π
C. 4,6π-
D. 2,6
π
- （第8题
图）
9.已知O 是ABC ∆内部一点，且3OA OB OC 0++=uu r uu u r uu u r ，6AB AC
?uu u r uu u r
， 60BAC
?o ，
则OBC ∆的面积为 A
B
C
D
10. 已知数列{}n a 和{}n b ，满足1k k k a a b +=+， 1,2,3,
k =.若存在正整数N ，使得
1N a a =成立，则称数列{}n a 为N 阶“还原”数列.下列条件：
①||1k b =；②||k b k =；③||2k k b =，可能．．使数列{}n a 为8阶“还原”数列的是 A ．① B ．①② C ． ② D ．②③
二、填空题：本大题共6小题,每小题4分，共24分，答案写在答题卡上.
11．如果1
cos 2
α=，且α为第四象限角，那么tan α= ． 12. 已知点P 在直线0x y +=上，且点P 到原点与到直线20x y +-=的距离相等，则点P
的坐标为_____.
13. 已知平面向量a ，b 满足|a | = 3，|b | = 2，且a 与b 的夹角为60︒，则2+a b = . 14.已知数列}{n a 的前n 项和42
()33
n n S a n *=
-∈N ，则1a = ，n a = .
15.如图，在坡角为15︒(15CAD ∠=︒ )的山坡顶上有一个高度为50米的中国移 动信号塔BC ，在坡底A 处测得塔顶B 的仰角为45︒（45BAD ∠=︒），则 塔顶到水平面AD 的距离（BD ）约为________米.
（结果保留整数，1.732≈)
(第15题图)
16. 设关于,x y 的不等式组2100y x a y a -+≥⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
,,x 表示的平面区域为D .若在平面区域D
内存在
点),(00y x P ，满足00345x y -=，则实数a 的取值范围是 __.
三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分9分）
设函数22()2sin sin cos cos f x x x x x =++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）求函数()f x 在区间[0,]2
π上的最大值和最小值． 18. （本小题满分9分）
已知点(2,3)A ，(2,1)B --，直线MN 过原点，其中点M 在第一象限，MN ∥AB ，
且MN =AM 和直线BN 的交点C 在y 轴上. （I ）求直线MN 的方程；
（II ）求点C 的坐标.
19. （本小题满分9分）
在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，.cos cos )2(C b B c a =- （I ）求角B 的大小；
（II ）若b =a c +的最大值.
20.（本小题满分9分）
已知数列{}n a 满足1212a a ==
，当2n ≥时，111
4
n n n a a a +-=-. （I ）设11
2
n n n b a a +=-
，证明数列{}n b 是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设5
n n n c a n
-=，数列{}n c 的前n 项和为n S .是否存在整数M ，使得n S M ≤恒成立?若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由.
北京市朝阳区2013—2014学年度高一年级第二学期期末统一考
试
数学学科试卷
参考答案及评分标准
2014.7
一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 12.(1,1)-或(1,1)- 13.
14.2， 21
2
,n n -*
∈N 15.68 16.5
[,)
7
+∞ 三.解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分9分） 解：（I ）2
2
()2sin sin cos cos f x x x x x =++
2sin sin cos +1x x x =+ 113
sin 2cos 2222
x x =-+
π32).242
x =
-+（ 函数()f x 的最小正周期2π
π2
T ==. ……………………………………………5分 （II ）因为02x π≤≤
，所以2444
x ππ3π-≤-≤．
当242x ππ-=，即8x 3π=时，()f x ； 当244
x ππ
-
=-，即0x =时，()f x 有最小值，最小值为1．……………………9分 18.（本小题满分9分）
解：（I ）由点(2,3)A ，(2,1)B --的坐标可求得直线AB 的斜率31
122
AB k +=
=+. 又因为MN ∥AB ，所以直线MN 的斜率1k =.
则直线MN 的方程为y x =. ………………………………………………………
4分
（II ）设(,)M a a （0a >），(,)Nb
b ，
由已知直线AM 和直线BN 的交点C 在y 轴上，则2,2a b ≠≠-.
由MN ==2a b -=.
直线AM 的方程为33(2)2a y x a --=
--，令0x =，得(0,)2a
C a -. 直线BN 的方程为11(2)2b y x b ++=
++，令0x =，得(0,)2
b
C b +. 所以22
a b
a b =-+，化简得a b =-. 将其代入2a b -=，并且0a >，得1a =，1b =-.
则C 点坐标为(0,1)-. ………………………………………………………9分
19.（本小题满分9分）
解：（I ）因为(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得：
(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=⋅.
整理得A C B B C C B B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=⋅+=. 因为(0,)A ∈π， 所以sin 0A ≠. 则1
cos 2
B =. 由(0,)B ∈π， 所以3
B π
=
. ……………………………………………………………………4分
（II ）由余弦定理得： 222
2cos b a c ac B =+-.
将已知代入可得：2
2
32cos
3
a c ac π=+-. 因为2
2
22()()3()3()24a c a c a c ac a c +++-≥+-⋅=， 所以2
()34
a c +≥.
则a c +≤，当且仅当a c ==a c +取得最大值为 ………………
9分
20.（本小题满分9分） 解：（I ）因为1114n n n a a a +-=-
，所以 11111
()222
n n n n a a a a +--=- 即 11(2,)2n n b b n n -=≥∈N 且1211124b a a =-=，23211
28
b a a =-=.
故数列{}n b 是以14为首项，1
2为公比的等比数列. ………………………………3分
（II ）由（Ⅰ）知，11
111()()422n n n b -+=
⨯=， 则1
111()22
n n n n b a a ++=-=.
即 11221n n n n a a ++-=.
故数列{}
2n
n a 是以121a =为首项，1为公差的等差数列；
21(1)1n n a n n =+-⨯=，
所以2n n
n
a =
. ………………………………………………………………6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 55
2n n n n n c a n --=
= 2343252222n n n S ----=++++，
23411432522222
n n n S +----=++++， 两式相减，有2341111115
2222222n n n n S +-=-+++++-，
1111(1())1542212212
n n n n S -+--=-+--， 即 332n n n S -=--.
令32n n n d -=，则1231104d d d =-<=-<=，451
16
d d ==，
当6n ≥时，11
33214282n n n n n d n n d n ----==<--恒成立，即当6n ≥时，数列{}n d 是单调递减数列.
所以 56780n d d d d d >>>>
>> ，故有 1n d ≥-.
也即 2n S ≤-.
又因为n S M ≤恒成立 所以2M ≥-.
故存在最小整数2M =-，使得n S M ≤恒成立. …………………………………
9分。