高考数学理一轮总复习不等式选讲练习2(含解析)新人教A版选修4-5

不等式选讲练习2
1．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．
解析：由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.
答案：2 2．[2014·陕西]设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为__________．
解析：由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5.
答案： 5
3．设正数x ，y ，z 满足2x ＋2y ＋z ＝1.
(1)求3xy ＋yz ＋zx 的最大值；
(2)证明：31＋xy ＋11＋yz ＋11＋zx ≥12526
. 解析：(1)3xy ＋yz ＋zx ＝3xy ＋(x ＋y )z ＝3xy ＋(x ＋y )·[1－2(x ＋y )]
＝3xy ＋(x ＋y )－2(x ＋y )2≤34
(x ＋y )2＋(x ＋y )－2(x ＋y )2 ＝－54
(x ＋y )2＋(x ＋y ) ＝－54[(x ＋y )－25]2＋15≤15
. 当且仅当x ＝y ＝z ＝15时等号成立，3xy ＋yz ＋zx 取得最大值15
. (2)证明：由柯西不等式和(1)得，
31＋xy ＋11＋yz ＋11＋zx ≥2531＋xy ＋1＋yz ＋1＋zx ≥255＋15
＝12526. 4．(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y
＋xy ； (2)设1＜a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，
要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y
＋xy ， 只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2
.
因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
由条件x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝1
xy ，log b a＝
1
x
，log c b＝
1
y
，log a c
＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋1
xy ≤
1
x
＋
1
y
＋xy，
由题意知x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立.。