教学设计：椭圆及其标准方程

第二章圆锥曲线与方程
2.2 椭圆
《椭圆及其标准方程》教学设计
一、教材（内容）解析
本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1 A版，第二章第二节：椭圆，2.2.1：椭圆及其标准方程（第一课时）的内容.
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想. 本章节继续采用必修2中研究直线与圆所用的坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究他们的简单性质，进一步感受“数形结合”的基本思想.
2.2椭圆由两部分组成：椭圆及其标准方程、椭圆的简单几何性质. 本节课具体学习椭圆的定义及其标准方程. 椭圆是常见的曲线，生活中关于椭圆的实例无处不在. 但是透过现象看本质，才能获得椭圆的定义. 教参要求，在椭圆定义教学时，一定要充分展示椭圆的产生过程，引导学生分析椭圆上的点所满足的几何条件，从而为坐标系的选择和椭圆方程的建立奠定基础. 在求椭圆方程时，结合对称性合理建系并不复杂，难在方程的化简过程，教师应予以引导和纠正. 不同于圆，椭圆的标准方程有两种形式，学生要能辨析其异同之处，进而学会灵活运用. 同时，这节课也为后面研究双曲线和抛物线提供了基本模式和方法，起到了承前启后的作用.
二、学情分析
（一）学生的知识储备方面
1.学生在必修2时已经学习了直线、圆的方程，讨论了曲线与方程的关系，经历了几何问题代数化的过程，学生有一定的感性认识. 对圆的方程学习的经验和思辨过程很大部分都可以迁移到对椭圆的学习上.
2.前面学习了曲线与方程的关系，对求解曲线方程的步骤有了一定的学习，基本了解并掌握了“坐标法”求曲线方程的步骤.
以上所述都为本节课学习椭圆定义和标准方程做好了知识上的准备.
（二）学生的认知特点方面
学生的思维方式逐渐从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，其代数推理能力和几何直观能力较之以往有很大的提升. 但在《椭圆及其标准方程》这节课中，学生自主探究得出椭圆定义是重点，也是难点. 究其原因就是缺乏动手操作的过程，导致对定义的理解缺乏具体的抓手. 如何引导学生深入本质看问题，成为本节课最值得思考和商榷的问题.
三、设计思想
（一）落实立德树人，深化课程思政
以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育符合新时代需求的人才. 结合时政热点，渗透数学史、数学文化，引导学生从具体情境中抽象概括获得概念，一方面增加学生的数学学习兴趣，另一方面培养学生的爱国情怀，深化“课程思政”的育人功能.
（二）把握数学本质，启迪学生思维
创设合适的教学情境，启发学生自主思考，合作交流. 引导学生把握数学本质，理解数学知识的生成和发展的过程. 注重信息技术与数学课程的深度融合，帮助学生直观感知数学的科学价值和应用价值.
（三）聚焦核心素养，发展四基四能
关注学生对知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展. 学生通过学习数学课程能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验. 提高数学学习兴趣，养成良好的数学学习习惯，提
高学生的实践能力和创新意识.
本节课遵循教材对圆锥曲线课程的设置，结合新课程标准，从生活实例和数学知识的联系出发引出课题；借鉴必修2中研究圆的方法，探索椭圆的发生、发展过程，在概念的形成过程中，让学生体验数形结合、分类讨论、类比等数学思想方法；课堂立足于问题引领，教学重心前移，适当延长知识的发生和发展过程，以给学生提高足够的思考机会；重视学生的学习过程，在教学中体现“教师主导，学生主体”的教学理念，培养学生的探索精神和数学核心素养.
四、教学目标
1.了解椭圆的实际背景和应用，理解并掌握椭圆的定义和两种标准方程的形式和特点；
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，辅以折纸实验，提高学生动手操作和观察、分析、概括的能力.
3.掌握对椭圆标准方程的推导，进一步理解用坐标法求曲线方程，体会其中渗透的数形结合、分类讨论、类比等数学思想方法.
五、教学重点与难点
1.重点：理解椭圆的定义和椭圆的标准方程；
2.难点：如何通过合理建系求得标准方程以及对比理解两种标准方程的异同.
六、方法与策略
基于前面对学情的把握、重难点的厘清和教学目标的制定，本节课采用探究性教学和启发式教学的方法组织本节课教学：
1.直观感知. 结合课程思政的具体要求，在上课伊始首先带领学生观看神舟十二号成功发射的视频，并呈现诸多生活中的“椭圆”图片：上至天文，行星运行轨道；下至地理：建筑物的轮廓；再到日常生活中：家里的茶几，盘子……引导学生
欣赏椭圆之美. 通过创设问题情境，一方面引导学生直观感知“椭圆”在生活中无处不在，感知和发现身边的“数学”. 另一方面从爱国主义教育的角度，通过观看神舟十二号飞船成功发射的视频，也可以引导学生体会民族自豪感，增强爱国情怀和对数学等基础学科学习的兴趣.
2.实验探究. 圆和椭圆有必不可分的关联和应用. 本节课采用实验教学法，带领学生用圆形卡纸折椭圆. 如此创设问题情境，一方面增加数学课堂的趣味性，更重要的是：学生通过亲手实验，经历观察、猜想、分析和概括的过程，对椭圆定义里“为什么椭圆上的动点到两焦点距离之和为定值”有了较为直观的解释，这样设计虽然前期很辛苦（考虑课堂容量的问题，折纸实验放在课前让学生自主探究，课堂上仅做成果展示和心得分享），但对定义的印象会更自然、深刻. 此外，借助折纸实验，后面得出定义后探究1212MF MF F F +>也非常直观便捷，这也构成了折纸实验的最巧妙之处.
3.几何画板辅助教学手段. 充分发挥几何画板的直观优越性，动态演示折纸原理，抓住定义中的核心要点进行精析精讲，对于学生理解定义非常直观有效. 相比于传统说教，能够在课堂上使用现代教育技术手段，实现演大于说，是非常有助于提高课堂的容量和速度的，这样可以把精力更多地放在椭圆标准方程的推导上.
七、教学内容
（一）创设情境，导入新课
情境导入： 师生共同观看神舟十二号成功发射的视频.
同学们，你知道天体运行的轨道是什么曲线吗？
说起椭圆，大家并不陌生. 上至天文：行星运行轨道；下至地理：建筑物的轮廓；再到日常生活中：家里的茶几，盘子……，都给人椭圆的感觉。

倾斜手中的圆柱形水杯，水面的边界也是椭圆.
【设计意图】 一方面引导学生直观感知“椭圆”在生活中无处不在，另一方面从课程思政的角度，通过观看神舟十二号飞船成功发射的视频，激发学生的民族自豪感，增强爱国情怀和对数学等基础学科研究的兴趣.
教师引导： 同学们是否相信用圆形卡纸可以折一个椭圆呢？一起试试看： 活动：用圆形卡纸折“椭圆”
方法与步骤：（要求学生课前提前完成，课堂上进行展示和分享）
①将圆形卡纸连续对折n 次，折痕端点可顺次逐一标记为：P 1,P 2,P 3,…P n ； ②在圆的内部任选一点标记下来，逐一将这n 个端点与此点重合，对折产生新
的折痕与相应折痕（半径）上会产生交点，用笔标记下来；
③最后用光滑的曲线将这n 个交点连在一起.
【设计意图】设置折纸实验，一方面增加数学课堂的趣味性，更重要的是：学生通过亲手实验，经历观察、猜想、分析和概括的过程，对椭圆定义生成的理解会更自然、深刻. 这里也为后面得出定义后探究1212MF MF F F +>埋下伏笔.
（二）要点精析，深化定义
思考1：折纸实验的原理是什么？
（借助几何画板动态演示折纸原理和椭圆生成过程）
O
教师引导：
每次拿圆周上的任意一点P 与所选定的点（记为F ）作重合对折，等同于找它们的中垂线. 中垂线上的点到线段两端点距离相等. 那么折纸上这n 个点都满足什么条件呢？MF MP =,而MO MP +等于定长——半径，说明椭圆上任意一动点M 满足到圆心和选定的这个点的距离之和为定值. 最后，利用几何画板动态追踪平面内所有满足这个条件的点M 的轨迹.
知识点1 椭圆的定义 平面内，与两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
思考2：这个常数与12F F 的关系如何？（结合折纸进行分析和说明）
教师引导：折纸时，在圆的内部任取一个定点，说明它与圆心的距离是小于半径的。

而椭圆上任意一点到两个定点的距离之和等于半径，所以在椭圆定义里，应特别强调这个常数是大于焦距12F F 的.
活动：借助几何画板动图辨析另外两种情况，深化对椭圆定义的理解.
（三）类比迁移，研究方程
教师引导：
有了椭圆的定义，结合椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程. （形式简单、结构美观）
建立曲线方程的步骤：建系→设点→列式→化简→检验. 建系时结合对称性，让轨迹上的点尽量多的落在坐标轴上.
知识点2 椭圆的标准方程
结合椭圆的对称性，可如图建系：
以经过椭圆两焦点1F 、2F 的直线为x 轴，线段
12F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ．设),(y x M 为椭圆上任意一点，椭圆的焦距为()02>c c ，那么焦点1F 、2F 的坐标分别为()0,c -，()0,c .又设点M 与1F 、2F 的距离之和等于a 2，由定义： {}a MF MF M P 221=+=，几何问题代数化，转化为代数运算，即得：()()a y c x y c x 22222=++++-.
思考3：这个方程该如何化简？
教师引导：
类比圆的标准方程化简时，也是带根式的式子，考虑借助平方解决. 直接平方？还是移项后再平方？
活动1： 学生分组进行尝试解决，哪个处理方法更好一些？
化简得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-.
【设计意图】让学生自己去推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”，本处也是对学生运算能力的一次考验，教师需要进行适时点拨，加以引导.
思考4：你能在图中找出表示a ,c ,22c a -的线段吗？
由椭圆的定义可知，c a 22>, ∴220a c ->． 当点M 运动到y 轴正半轴时，不难发现，
a MF c OF ==22,，显然22c a OM -=，设
b OM =，自然得222
c a b -=，于是得
222222b a y a x b =+，两边同时除以22b a ，得到方程：()22
2210x y a b a b +=>> 椭圆上任意一点坐标都满足方程，以方程的解),(y x 为坐标的点也都在椭圆上.
由曲线与方程的关系可知，()22
2210x y a b a b
+=>>是椭圆的方程，数学上把它叫做椭圆的标准方程. 它的焦点在x 轴上，两个焦点分别是为()0,1c F -，()0,2c F . 其中，
222b a c -=.
教师引导：
请同学们思考：如果像这样，椭圆的焦点F 1、F 2在y 轴上，且F 1、F 2的坐标分别为()c -，
0，()c ，0，b a 、的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 【设计意图】观察两个方程，它们的结构相同，只是字母x 、y 交换了位置. 因此，如果在方程中直接将x 、y 互换位置，就可以得到椭圆方程的另一种形式：()22
2210y x a b a b +=>>.
活动2：不同于圆，椭圆的标准方程有两种形式，接下来一起来探讨其异同之处：
1.它们都是二元二次方程，左边是两个式子的平方和，右边是1；
2.椭圆标准方程中a 、b 、c 的关系；222b a c -=)0(>>b a ；
3.椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定：哪个分母更大，焦点就在哪个轴上.
【设计意图】认识两种标准方程结构，明确a 、b 、c 之间的关系，进一步深化对椭圆定义和方程的理解.
（四）例题精讲，变式训练
例1 判断下列方程是否是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明a 、b 及焦点坐标． 反思与感悟：①注意方程的结构特征；②分母大小决定椭圆焦点的位置.
【设计意图】学以致用，设置例题1是为了让学生通过辨析讨论，明确椭圆标准方144)2(22=+y x 14
9)
1(22=+y x 13
4)
3(22=-y x 11625)4(2
2=+x y
程的结构特征.
变式1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是()40-，、()40，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0)和（2,0),并且经过点 ，求它的标准方程. 思路1：利用椭圆定义，椭圆上的点 到两个焦点()20-，、()20，的距离之和为常数2a ，求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出2b 的值，进而写出标准方程．
思路2：先根据已知条件设出焦点在x 轴上的椭圆方程的标准方程
()222210x y a b a b
+=>>，再将椭圆上点的坐标 代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出2a 、2
b 的值，从而得到椭圆的标准方程为22
1106x y +=. 【设计意图】使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用. 学会用待定系数法求椭圆的标准方程.
变式2 若将上题焦点改为(0,4)-、(0,4)，结果如何？
拓展延伸：方程221Ax By +=什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x 轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y 轴上的椭圆？
1.小结反思
从数学知识方面：椭圆的定义；椭圆的标准方程；两种标准方程的异同点. 从数学思想方法方面：数形结合、分类讨论、类比.
2.布置作业
（1）完成课后练习：P 42 1、2；
（2）课外拓展：查阅资料，了解椭圆的有关知识.
)23,25(-)23,25(-)23,25(-。