人教版数学中考二轮复习：《圆的综合》压轴题专题训练

《圆的综合》压轴题专题训练
1．如图，已知AB为⊙ O的直径， AC为⊙ O的切线，连结CO，过 B 作 BD∥ OC交⊙ O于 D，连
结 AD交 OC于 G，延伸 AB、 CD交于点
E．（ 1）求证：CD是⊙O的切线；
（ 2）若BE＝ 2，DE＝ 4，求CD的长；
（ 3）在（ 2）的条件下，连结BC交 AD于 F，求的值．
2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙ O上，连结 AC、 BC， D为 AC的中点，过点C作⊙ O的切线与射线OD交于点 E．
（1）求证：∠E＝∠A；
（2）若延伸EC与AB交于点F，若⊙O的半径为 3，sin F＝，求DE的长．
3．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连结AD、DE、AE，交 BD于点 F．
（ 1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；
2
（ 2）若DE＝EF?EA，求证：AE均分∠BAD；
（ 3）在（ 2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙ O的半径．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中， A（0，8）， B（6，0）， C（0，3），点 D从点 A 运动到点 B停止，连结CD，以 CD长为直径作⊙ P．
（1）若△ACD∽△AOB，求⊙P的半径；
（2）当⊙P与AB相切时，求△POB的面积；
（3）连结AP、BP，在整个运动过程中，△PAB的面积能否为定值，假如是，请直接写出
头积的定值，假如不是，请说明原因．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、 D在⊙ O上， AD与 BC订交于点 E．连结 BD，作∠ BDF＝∠BAD， DF与 AB的延伸线订交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF∥BC，求证：AD均分∠BAC；
（3）在（ 2）的条件下，若AB＝ 10，BD＝ 6，求CE的长．
6．如图，平行四边形ABCD中，以 B为坐标原点成立以下图直角坐标系，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点 P 在边 AD上运动（点 P 不与 A 重合，但能够与D点重合），以P 为圆心， PA 为半径的⊙ P与对角线 AC交于 A，E 两点．
（ 1）设AP为x，P点坐标为（，）（用含x 的代数式表示）
（2）当⊙P与边CD相切于点F时，求P点的坐标；
（3）跟着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点
的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．
7．如图，在△ABC中， AB＝ AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于点 D，过点 D作 EF⊥ AC于点 E，交 AB延伸线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的地点关系，并说明原因；
（2）若⊙O半径为 5，CD＝ 6，求DE的长；
2
（ 3）求证：BC＝ 4CE?AB．
8．如图，在△ABC中， AB＝ AC，以 AB为直径的⊙ O交边 AC于点 D（点 D不与点 A 重合），交边 BC于点 E，过点 E 作 EF⊥ AC，垂足为 F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连结DE，求证：△DEC是等腰三角形；
（3）若CD＝ 2，BE＝ 3，求⊙O的半径．
9．如图，在Rt △ABC中，∠C＝ 90°，点D是AB上一点，以AD为直径作⊙ O交 AC于 E，与BC相切于点 F，连结 AF．
（1）求证：∠BAF＝∠CAF；
（2）若AC＝ 3，BC＝ 4，求BD和CE的长；
（3）在（ 2）的条件下，若AF与DE交于H，求FH?FA的值．
10．如图，已知AB为⊙ O的直径， C、D为⊙ O上的两点，且BC＝ CD＝2，延伸AB与直线CD交于点 P，且 BP＝ AB，过点 A 作 AF⊥ CD，垂足为 F．
（ 1）求证：AD均分∠CAF；
（ 2）求AB的长度；
（ 3）求DF的长度．
11．如图，⊙
O 的直径＝10，点
P
为
BA
的延伸线上一点，直线切⊙
O
于点，过点
B AB PD D
作 BH⊥PD，垂足为 H， BH交⊙ O于点 C， BC＝6，连结
BD．（ 1）求证：BD均分∠ABH；
（ 2）求PA的长；
（ 3）E是上的一动点，DE交AB于点F，连结AD，AE．能否存在点E，使得△ ADE∽△FDB？假如存在，请证明你的结论，并求弧AE的长；假如不存在，请说明原因．
12．如图，在平面直角坐标系
xOy 中，（ 8，0）、（ 0，6），以为直径画圆⊙，点
A B AB PC
为⊙ P上一动点，
（ 1）判断坐标原点O在⊙ P 的地点关系是．
（2）若点C在第一象限，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连结BC，且∠DBC＝∠ABC，
①求证： CD与⊙ P 相切；②求线段 BC的长
（3）若PD∥AO交⊙P于点D，点C在劣弧BD上，Q是劣弧BC的中点，OQ、DC交于点K，当点C在劣弧BD上运动时（不包含B、D两点），线段DK的长度能否发生变化？若变化，请指出其变化范围；若不变化，恳求出其值．
13．如图，
AB 为⊙
O
的直径，
D
为的中点，、交于点，
P
为
BD
延伸线上一点，且
AC BD E
PD＝ DE．
（1）试判断PA与⊙O的地点关系，并说明原因．
（2）若E为BD的中点，求 tan ∠DBC的值．
（3）若AB＝ 10，＝，求四边形ABCD的面积．
14．如图示，AB是⊙O的直径，点F 是半圆上的一动点（ F 不与 A，B 重合），弦AD均分∠BAF，过点 D作 DE⊥ AF交射线 AF于点 AF．
（1）求证：DE与⊙O相切：
（2）若AE＝ 8，AB＝ 10，求DE长；
（ 3）若＝ 10，长记为，长记为
y ，求
y
与
x
之间的函数关系式，并求出?
AB AF x EF AF EF 的最大值．
15．如图，在Rt △ABC中，∠BAC＝ 90°，点G是BC中点．连结AG．作 BD⊥ AG，垂足为 F，
△ABD的外接圆⊙ O交 BC于点 E，连结
AE．（ 1）求证：AB＝AE；
（ 2）过点
D 作圆
O
的切线，交于点．若，求 tan ∠的值；
BC M ABC
（ 3）在（ 2）的条件下，当DF＝1时，求 BG的长．
参照答案1．证明：（ 1）如图，连结OD，
∵AC为⊙ O的切线， AB为⊙ O的直径，
∴∠ CAB＝90°＝∠ ADB，
∵OD＝OB，
∴∠ DBO＝∠ BDO，
∵CO∥BD，
∴∠ AOC＝∠ OBD，∠ COD＝∠ ODB，
∴∠ AOC＝∠ COD，且 AO＝OD， CO＝CO，
∴△ AOC≌△ DOC（ SAS）
∴∠ CAO＝∠ CDO＝90°，
∴OD⊥CD，且 OD是半径，
∴CD是⊙ O的切线；
（ 2）设⊙O半径为r，则OD＝OB＝r，
222
在 Rt △ODE中，∵OD+DE＝OE，
∴ r 2+42＝（ r +2）2，解得 r ＝3，
∴ OB＝3，
∵ DB∥OC，
∴
即
∴CD＝6；
（ 3）由（ 1）得△CDO≌△CAO，
∴AC＝CD＝6，
在 Rt △AOC中，OC＝＝＝3，∵∠ AOG＝∠ COA，
∴Rt △OAG∽△OCA，
∴，
即＝，
∴OG＝，
∴ CG＝OC﹣ OG＝3﹣＝，
∵OG∥BD， OA＝OB，
∴ OG为△ ABD的中位线，
∴ BD＝2OG＝，
∵CG∥BD，
∴
∴＝．
2．（ 1）证明：连结OC，
∵D为AC的中点，AO＝CO，
∴ OD⊥AC，∠ AOD＝∠ COD，
∵依据圆周角定理得：∠ CBA＝∠ AOC，
∴∠ CBA＝∠ COD，
∵ AB为⊙ O的直径， EF切⊙ O于 C，
∴∠ ECO＝∠ OCF＝∠ ACB＝90°，
∵∠ E+∠ COD+∠ECO＝180°，∠ A+∠ACB+∠ CBA＝180°，∴∠ E＝∠ A；
（ 2）解：过C作CM⊥AB于M，
∵⊙ O的半径为3，sin F＝＝，
∴ OF＝5，
在 Rt △OCF中，由勾股定理得：CF＝＝ 4，
由三角形面积公式得：S△OCF＝×，
即 3 ×4＝ 5×CM，
解得： CM＝2.4，
由勾股定理得： OM＝＝＝1.8 ，
∴BM＝3﹣1.8＝1.2，
由勾股定理得：BC＝＝＝ 1.2，AC＝＝＝ 2.4，
∵ D为 AC的中点，
∴CD＝ AC＝1.2，
∵∠ A＝∠ E，
∴tan A＝ tan E，
∴＝，
∴＝，
∴ DE＝2.4＝．
3．证明：（ 1）∵AB是直径，
∴∠ BDA＝90°，
∴∠ DBA+∠ DAB＝90°，
∵∠ CAD＝∠ AED，∠ AED＝∠ ABD，
∴∠ CAD＝∠ ABD，
∴∠ CAD+∠ DAB＝90°，
∴∠ BAC＝90°，
即AB⊥AC，且AO是半径，
∴ AC为⊙ O的切线；
2
（ 2）∵DE＝EF?EA，
∴，且∠ DEF＝∠ DEA，
∴△ DEF∽△ AED，
∴∠ EDF＝∠ DAE，
∵∠ EDF＝∠ BAE，
∴∠ BAE＝∠ DAE，
∴AE均分∠ BAD；
（ 3）如图，过点 F 作 FH⊥ AB，垂足为 H，
∵AE均分∠ BAD， FH⊥ AB，∠ BDA＝
90°，∴ DF＝FH＝2，
∵S△ABF＝ AB× FH＝× BF× AD，
∴2AB＝ 4BF，
∴AB＝2BF，
222
在 Rt △ABD中，AB＝BD+AD，
∴（ 2BF）2＝（ 2+BF）2+16，
∴ BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）
∴AB＝，
∴⊙ O的半径为．
4．解：（ 1）如图 1，
∵A（0，8）， B（6，0）， C（0，
3），∴ OA＝8， OB＝6， OC＝3，
∴ AC＝5，
∵△ ACD∽△ AOB，
∴，
∴
∴ CD的＝，
∴⊙ P的半径为；
（ 2）在 Rt △AOB中，OA＝8，OB＝6，∴＝＝ 10，
如图 2，当⊙
P 与相切时，⊥ ，AB CD AB
∴∠ ADC＝∠ AOB＝90°，∠ CAD＝∠ BAO，
∴△ ACD∽△ ABO，
∴，
即，
∴AD＝4， CD＝3，
∵ CD为⊙ P 的直径，
∴CP＝，
过点 P作 PE⊥ AO于点 E，
∵∠ PEC＝∠ ADC＝90°，∠ PCE＝∠ ACD，
∴△ CPE∽△ CAD，
∴，
即，
∴，
∴，
∴△ POB的面积＝＝；
（ 3）①如图 3，若⊙P与AB只有一个交点，则⊙P 与 AB相切，由（ 2）可知PD⊥AB，PD＝，
∴△ PAB的面积＝．
②如图 4，若⊙P与AB有两个交点，设另一个交点为F，连结 CF，可得∠ CFD＝90°，
由（ 2）可得CF＝ 3，
过点 P作 PG⊥ AB于点 G，则 DG＝，
则 PG为△ DCF的中位线， PG＝，
∴△ PAB的面积＝＝．
综上所述，在整个运动过程中，△PAB的面积是定值，定值为．
5．解：（ 1）连结OD，CD，
∵AB是直径，
∴∠ ADB＝90°，
∴∠ ADO+∠ ODB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠ BAD＝∠ ADO，
∵∠ BDF＝∠ BAD，
∴∠ BDF+∠ ODB＝90°，
∴∠ ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
∴∠ FDB＝∠ CBD，
∵＝，
∴∠ CAD＝∠ CBD，且∠ BDF＝∠ BAD，
∴∠ CAD＝∠ BAD＝∠ CBD＝∠ BDF，
∴AD均分∠ BAC；
（ 3）∵AB＝ 10，BD＝ 6，
∴ AD＝＝＝8，
∵∠ CBD＝∠ BAD，∠ ADB＝∠ BDE＝90°，∴△ BDE∽△ ADB，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴AE＝AD﹣ DE＝，
∵∠ CAD＝∠ BAD，
∴sin ∠CAD＝ sin ∠BAD
∴
∴
∴CE＝
6．解：（ 1）如图，过点 A 作 AN⊥ BC于点 N，
∵AB⊥AC， AB＝3， BC＝ AD＝5，
∴ AC＝＝＝4，
∵ S＝AB× AC＝BC× AN，
△ABC
∴3× 4＝ 5AN，
∴AN＝，
∴BN＝＝＝，
∴点 A坐标为（，）
∵AP＝x，
∴点 P坐标为（+x，），
故答案为：+x，；
（ 2）如图，连结PF
∵⊙ P与边 CD相切于点 F
∴PF⊥CD
∵四边形 ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，且 AB⊥ AC
∴AC⊥CD
∴PF∥AC
∴△ DPF∽△ DAC
∴，
∴，
∴AP＝，
∴点 P坐标为（，）；
（ 3）当＜AP＜或AP＝时，⊙ P与平行四边形ABCD的边有4个公共点，如图所
示，
7．解：（ 1）EF与⊙O相切，原因以下：
连结 AD， OD，以下图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ ADB＝
90°．∴ AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴CD＝BD＝ BC．
∵OA＝OB，
∴OD是△ ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵EF⊥AC，
∴ EF⊥OD．
∴ EF与⊙ O相切．
（ 2）解：由（ 1）知∠ADC＝ 90°，AC＝AB＝10，
在 Rt △ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8．∵ S ＝AD?CD＝AC?DE，
ACD
∴× 8× 6＝× 10×DE．
∴DE＝．
（ 3）证明：由（ 1）得：CD＝BC， AD⊥ BC，∴∠ ADC＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠ DEC＝90°＝∠ ADC，
∵∠ C＝∠ C，
∴△ CDE∽△ CAD，
∴＝，
2
∴ CD＝ CE?AB，
∵ AB＝AC，
2
∴BC＝ CE?AB，
2
∴ BC＝4CE?AB．
8．证明：（ 1）连结OE．
∵在△ ABC中， AB＝ AC，
∴∠ B＝∠ C．
∵OB＝OE，
∴∠ OBE＝∠ OEB．
∴∠ OEB＝∠ C，
∴OE∥AC．
∴∠ OEF+∠ AFE＝180°．
∵EF⊥AC于点 F，
∴∠EFA＝
90°．∴∠ OEF＝
90°，∴OE⊥EF．
∵OE⊥EF于点 E， OE是⊙ O的半径，∴ EF是⊙ O的切线；
（ 2）如图 2，连结DE，
∵四边形 ABED是圆内接四边形，∴∠ EDF＝∠ B，且∠ B＝∠ C，
∴∠ EDF＝∠ C，
∴DE＝EC，
∴△ DEC是等腰三角形；
（ 3）如图 3，连结AE，
∵ AB是直径，
∴∠ AEB＝90°，且 AB＝AC，
∴BE＝CE＝3，
∵EC＝DE， EF⊥AC，
∴ CF＝DF＝ CD＝1，
∵∠ B＝∠ C，∠ AEB＝∠ EFC＝90°，∴△ ABE∽△ ECF，
∴，
∴
∴AB＝9，
∴⊙ O的半径 OA＝．
9．证明：（ 1）连结OF，如图，
∵⊙ O与 BC相切于点 F，
∴OF⊥BC，
∵∠ ACB＝90°，
∴OF∥AC，
∴∠ OFA＝∠ CAF，
而 OA＝OF，
∴∠ OAF＝∠ OFA，
∴∠ BAF＝∠ CAF；
（2）解：设⊙O的半径为r，OF与DE交于点P，如图，在 Rt △ABC中，∵AC＝ 3，BC＝ 4，
∴ AB＝＝＝5，
∵OF∥AC，
∴△ BOF∽△ BAC，
∴
∴
∴r ＝
∴BD＝AB﹣ AD＝5﹣2×＝，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ AED＝90°，而
∠ C＝90°，
∴ DE∥BC，
∴，
∴
∴CE＝，
（ 3）∵OF∥AC，
∴，
∴
∴CF＝，
∴AF＝＝＝
∵DE∥BC，
∴，
∴
∴FH＝
∴FH?FA＝＝
10．证明：（ 1）连结BD，
∵BC＝CD，
∴，
∴∠ CBD＝∠ CDB，且∠ CBD＝∠ CAD，∴∠ CDB＝∠ CAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ BDA＝90°，
∴∠ CDB+∠ FDA＝
90°，∵∠ F＝90°，
∴∠ FDA+∠ FAD＝90°，
∴∠ FAD＝∠ CDB，∴∠
FAD＝∠ CAD，
∴ AD均分∠ CAF；
（ 2）连结OC，
∵CO＝AO，
∴∠ OAC＝∠ OCA，
∵
∴∠ OAC＝∠ CAD，
∴∠ OCA＝∠ DAC，
∴OC∥AD，
∴△ PCO∽△ PDA，
∴，且 BC＝CD＝2，BP＝AB＝2BO，∴
∴PC＝6，
∴PD＝8，
∵四边形 BCDA是圆内接四边形，
∴∠ PCB＝∠ PAD，且∠ P＝∠ P，
∴△ PBC∽△ PDA，
∴，
∴，
∴PB＝4，
∴AB＝PB＝4；
（3）∵AB是直径，
∴∠ ACB＝90°，
∴ AC＝＝＝2，
222
在 Rt △ACF中，AF＝AC﹣CF，
在 Rt △PAF中，AF2＝AP2﹣PF2，
2222
∴ AC﹣ CF＝ AP﹣ PF，
∴ 40﹣（ 2+DF）2＝ 48× 4﹣（ 8+DF）2，
∴DF＝．
11．（ 1）证明：连结OD．如图1所示：
∵PD是⊙O的切线，
∴ OD⊥PD．
又∵ BH⊥ PD，
∴∠ PDO＝∠ PHB＝
90°，∴ OD∥BH，
∴∠ ODB＝∠ DBH．
∵OD＝OB，
∴∠ ODB＝∠ OBD，
∴∠ OBD＝∠ DBH，
∴BD均分∠ ABH．
（2）解：过点O作OG⊥BC，G为垂足，如图 2 所示：
则 BG＝CG＝ BC＝3，
在 Rt △中，＝＝＝ 4．
OBG OG
∵∠ ODH＝∠ DHG＝∠ HGO＝90°，
∴四边形 ODHG是矩形．
∴OD＝GH＝5， DH＝ OG＝4， BH＝ BG+GH＝
3+5＝8．∵ OD∥BH，
∴△ POD∽△ PBH，
∴＝，即＝，
解得： PA＝；
（3）解：存在，当点E为AB弧的中点时，△ADE∽△FDB，原因以下：连结 OE，如图3所示：
∵E是的中点，
∴，
∴∠ AOE＝∠ BOE＝90°，∠ ADE＝∠ EDB，
又∵∠ AED＝∠ ABD，
∴△ ADE∽△ FDB，
的长＝＝π．
12．解：（ 1）∵以AB为直径画圆⊙P，∠ AOB＝90°，∴坐标原点O在⊙ P 上；
故答案为：坐标原点O在⊙ P上；
（ 2）如图 1，连结BC，过点P作PE⊥OB，
∵CD⊥OB，
∴∠ DCB+∠ DBC＝90°，
∵BP＝CP，
∴∠ ABC＝∠ PCB，
∵∠ DBC＝∠ ABC，
∴∠ DBC＝∠ ABC＝∠ PCB，
∴∠ DCB+∠ PCB＝90°，
∴∠ DCP＝90°，且 CP为半径，∴ DC与⊙ P 相切；
②∵ A（8，0）、 B（0，6），
∴OA＝8， OB＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴AP＝BP＝ CP＝5，∵
PE⊥OB， AO⊥OB，
∴PE∥AO，
∴△ BEP∽△ BOA，
∴，
∴PE＝4， BE＝3，
∵PE⊥BO， CD⊥OB，∠ PCD＝90°，∴四边形 CDEP是矩形，
∴ CD＝PE＝4， PC＝ DE＝5，
∴DB＝2，
∴BC＝＝＝2，
（3）线段DK的长度不发生变化，
如图 2，连结BD，DO，
∵PD∥OA，
∴∠ DEB＝∠ AOB＝90°，，
∴BE＝3＝ EO， EP＝4，
∴DE＝9，
∴BD＝＝＝3，
∵Q是劣弧BC的中点，
∴ ＝，
∴∠ QDB＝∠ QDC，
∵BE＝EO， DE⊥OB，
∴ BO＝DO，
∴∠ DBO＝∠ DOB，且∠ DBO＝∠
DQO，∴∠ DQO＝∠ DOB
∵四边形 BODQ是圆内接四边形，
∴∠ BOD+∠ BQD＝180°，且∠ DQO+∠KQD＝180°，∴∠ BQD＝∠ KQD，且 QD＝QD，∠ QDB＝∠ QDC，∴△ QDB≌△ QDK（ ASA）
∴线段 DK的长度不发生变化．13．解：（ 1）PA是⊙O的切线，原因以下：如图1，连结AD、BC．
∵AB是直径，
∴∠ ADB＝90°，
∴ AD⊥PE，
∵DP＝DE，
∴AP＝AE，
∴∠ PAD＝∠ DAE，
∵D为的中点，
∴，
∴∠ DAC＝∠ ABD，
∵∠ ABD+∠ DAB＝90°，
∴∠ PAD+∠ DAB＝90°，
∴∠ PAB＝90°，
∴ OA⊥PA，
∴ PA是⊙ O的切线；
（ 2）如图 2，连结BC，
∵ E 为 BD的中点，
∴DE＝BE＝ BD，
∵∠ ADE＝∠ ADB，∠ DAE＝∠ DBA，
∴△ DAE∽△ DBA，
22
∴ AD＝ DE?DB＝2DE，
∴ AD＝DE，
∴ tan ∠DBC＝ tan ∠DAC＝；
（ 3）过点C作CF⊥BE于F，
∵＝，
∴设 BE＝7k， DE＝9k，
∵∠ ADE＝∠ ADB，∠ DAE＝∠ DBA，
∴△ DAE∽△ DBA，
22
∴ AD＝ DE?DB＝144k ，
∴ AD＝12k，
222
在 Rt △ADB中，∵AD+BD＝AB，
∴ 144k2+256k2＝ 100，
∴ k＝，
∴AD＝6， DE＝， BE＝， BD＝ BE+DE＝8，∴AE＝＝＝，
∵∠ ADE＝∠ ECB，∠ DEA＝∠ CEB，
∴△ DEA∽△ CEB，
∴，
∴CE＝＝，
∵ sin ∠AED＝ sin ∠CEF＝，
∴CF＝＝，
∴四边形的面积＝△+ △＝×6×8+ ×8×＝30 ．ABCD S ABD S BCD
14．（ 1）证明：连结OD，如图1所示：
∵OD＝OA，
∴∠ OAD＝∠ ODA，
∵AD均分∠BAF，
∴∠ OAD＝∠ FAD，
∴∠ ODA＝∠ FAD，
∴ OD∥AF，
∵DE⊥AF，
∴DE⊥OD，
又∵ OD是⊙ O的半径，
∴ DE与⊙ O相切：
（2）解：连结BD，如图 2 所示：
∵ AB是⊙ O的直径，
∴∠ ADB＝90°，
∵ DE⊥AF，
∴∠ AED＝90°＝∠ ADB，
又∵∠ EAD＝∠ DAB，
∴△ AED∽△ ADB，
∴AD：AB＝ AE：AD，
2
∴ AD＝ AB×AE＝10×8＝80，
在 Rt △中，由勾股定理得：＝＝＝ 4；
AED DE
（ 3）连结，过点
D 作⊥于，如图 3 所示：
DF DGAB G
在△ AED和△ AGD中，，
∴△ AED≌△ AGD（ AAS），
∴AE＝AG， DE＝DG，
∵∠ FAD＝∠ DAB，
∴＝，
∴DF＝DB，
在 Rt △DEF和 Rt△DGB中，，
∴Rt △DEF≌ Rt△DGB（HL），
∴EF＝BG，
∴AB＝AG+BG＝ AF+EF＝ AF+EF+EF＝AF+2EF，即： x+2y＝10，
∴y＝﹣ x+5，
∴AE?EF＝﹣ x2+5x＝﹣（ x﹣5）2+，
∴ ? 有最大值，当
x ＝5 时，?的最大值为．
AF EF AF EF
15．证明：（ 1）∵∠BAC＝ 90°，点G是BC的中点，
∴AG＝BG＝ GC，
∴∠ ABG＝∠ BAG，
又∵ BD⊥ AG，
∴∠ BAG+∠ DAF＝∠ ADF+∠DAF＝
90°，∴∠ ADB＝∠ BAG，
∵，
∴∠ADB＝∠AEB，
∴∠ ABE＝∠ AEB，
∴AB＝AE，
（2）∵⊙O是△ABD的外接圆，且∠BAD＝ 90°，∴ BD是直径，
∵ DM是⊙ O切线，
∴ DM⊥BD，且 BD⊥
AG，∴ DM∥AG，
∴
∵＝，
∴，
设 CD＝3k， AC＝4k，
∴ AD＝k，
∵∠ BDA＝∠ ABC，∠ BAD＝∠
CAB，∴△ ABD∽△ ACB，
∴，
22
∴ AB＝ AD?AC＝4k ，
∴ AB＝2k，
∴ tan ∠ABC＝；
（ 3）∵DF＝ 1，tan ∠ABC＝ tan ∠ADF＝ tan ∠BAF＝＝＝ 2，∴AF＝2， BF＝4，
∴AB＝＝＝2，
∴AC＝4，
∴BC＝＝＝10，
∴BG＝5，。