苏科初二下册数学月考试卷及答案

苏科初二下册数学月考试卷及答案
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
2．一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从定高度下掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：
试验次数20406080100120140160“帅”字面朝上频数a18384752667888
相应频率0.70.450.630.590.520.550.56b
＝；＝；
（2）画出“帅”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
3．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF
求证：AC、EF互相平分．
4．解方程：
224
124
x x x +-=-- 5．如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3)，点B 、C 在第二象限内．
(1)点B 的坐标 ；
(2)将正方形ABCD 以每秒1个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B 、D 两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在(2)的情况下,问是否存在x 轴上的点P 和反比例函数图象上的点Q,使得以P 、Q 、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3．
（1）在图①中，P 是BC 上一点，EF 垂直平分AP ，分别交AD 、BC 边于点E 、F ，求证：四边形AFPE 是菱形；
（2）在图②中利用直尺和圆规作出面积最大的菱形，使得菱形的四个顶点都在矩形ABCD 的边上，并直接．．
标出菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法）
7．如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．
（1）求证BE＝DE；
（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；
（3）△BEF的周长为．
8．解方程：
x2
1 x1x
-= -
.
9．某商店分别花500元和750元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多5千克．问第一次购进这种商品多少千克？
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'的顶点都在格点上．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1；
（2）若△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心的坐标是．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形．
（2）连结OE，求OE的长．
12．如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边AB 上的一个动点（点E 与点A ，B 不重合）连接CE ，过点B 作BF ⊥CE 于点G ，交AD 于点F ．
（1）求证：△ABF ≌△BCE ；
（2）如图2，连接EF 、CF ，若CE ＝8，求四边形BEFC 的面积； （3）如图3，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC ＝DG ．
13．商店把进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，物价局规定该商品的利润率不得超过60%，问商店应将售价定为多少，才能使每天所得利润为640元？商店应进货多少件？
14．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD:AD:CD=2:3:4， (1)试说明△ABC 是等腰三角形； (2)已知ABC
S
=160cm²，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A
运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M 运动的时间为t(秒)， ①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；
②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
15．已知：ABC ∆中以CB 为边在ABC ∆外侧作等边CBP ∆．
（1）连接AP ，以AP 为边作等边APQ ∆，求证：AC BQ =； （2）当30CAB ∠=︒，4AB =，3AC =时，求AP 的值；
（3）若4AB =，3AC =，改变CAB ∠的度数，发现CAB ∠在变化到某一角度时，AP 有最大值．画出CAB ∠为这个特殊角度时的示意图，并直接写出CAB ∠的角度和AP 的最大值．
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一、解答题
1．解：（1）如图所示：点A 1的坐标（2，﹣4）． （2）如图所示，点A 2的坐标（﹣2，4）．
【解析】
试题分析：（1）分别找出A 、B 、C 三点关于x 轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A 点坐标．
（2）将△A 1B 1C 1中的各点A 1、B 1、C 1绕原点O 旋转180°后，得到相应的对应点A 2、B 2、C 2，连接各对应点即得△A 2B 2C 2．
2．（1）14，0.55；（2）图见解析；（3）0.55． 【分析】
（1）根据图中给出的数据和频数、频率与总数之间的关系分别求出a 、b 的值； （2）将频率作为纵坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图．
（3）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．
（1）a＝20×0.7＝14；
b＝
88
160
＝0.55；
故答案为：14，0.55；
（2）根据图表给出的数据画折线统计图如下：
（3）随着试验次数的增加“帅”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，得P（“帅”字朝上）＝0.55．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．作图时应先描点，再连线．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．频率=所求情况数与总情况数之比．
3．证明见解析
【分析】
连接AE、CF，证明四边形AECF为平行四边形即可得到AC、EF互相平分．
【详解】
解：连接AE、CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD﹦BC，
又∵DF﹦BE，
∴AF﹦CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键．
【解析】 【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】
去分母得：(x+2)2-4=x 2-4， 解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解． 【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 5．（1）（31-，）；（2）t=9，6
y x =；（3）点P 、Q 的坐标为：P （132
，0）、Q （
3
2
，4）或P （7，0）、Q （3，2）或P （-7，0）、Q （-3，-2）． 【分析】
（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE ≌△BAF ，从而得出DE=AF ，AE=BF ，再结合点A 、D 的坐标即可求出点B 的坐标；
（2）设反比例函数为k
y x
=
，根据平行的性质找出点B ′、D ′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、t 的二元一次方程组，解方程组解得出结论；
（3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，6
n
）．分B ′D ′为对角
线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m 、n 的方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】
解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，如图1所示．
∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD=AB ，∠BAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF ．
在△ADE 和△BAF 中，有
90AED BFA ADE BAF AD BA ∠=∠=︒⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADE ≌△BAF （AAS ）， ∴DE=AF ，AE=BF ．
∵点A （-6，0），D （-7，3）， ∴DE=3，AE=1，
∴点B 的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）． 故答案为：（-3，1）． （2）设反比例函数为k
y x
=
， 由题意得：点B ′坐标为（-3+t ，1），点D ′坐标为（-7+t ，3）， ∵点B ′和D ′在该比例函数图象上， ∴33(7)
k t
k t =-+⎧⎨
=⨯-+⎩，
解得：t=9，k=6， ∴反比例函数解析式为6y x
=
． （3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，
6
n
）． 以P 、Q 、B ′、D ′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①B ′D ′为对角线时，
∵四边形B ′PD ′Q 为平行四边形，
∴63162n m n ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩，解得：132
32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴P（13
2
，0），Q（
3
2
，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴
62
6
031
m n
n
-=-
⎧
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，解得：
7
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴
62
6
031
n m
n
-=-
⎧
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，解得：
7
3
m
n
=-
⎧
⎨
=-
⎩
．
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点
为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为：P（13
2
，0）、Q（
3
2
，
4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．
6．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据矩形的性质和EF垂直平分AP推出AF＝PF＝AE＝PE即可判断；
（2）以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线，此时的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形．
【详解】
（1）证明：如图①
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵EF垂直平分AP，
∴AF＝PF，AE＝PE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝AF，
∴AF＝PF＝AE＝PE，
∴四边形AFPE是菱形；
（2）如图②，以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线，连接各个点，所得的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形；
此时设菱形边长为x，
则可得12+（3-x）2=x2，
解得x=5
3
，
所以菱形的边长为5
3
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．
7．（1）见解析；（2）DF⊥ON，理由见解析；（3）24
【分析】
（1）根据正方形的性质证明△BCE≌△DCE即可；
（2）由第一题所得条件和已知条件可推出∠EDC＝∠CBN，再利用90°的代换即可证明；（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，结合已知条件推出DF和BF的长，再根据第一题结论得出△BEF的周长等于DF加BF即可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，
∴CA平分∠BCD，BC＝DC，
∴∠BCE＝∠DCE＝45°，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）；
∴BE＝DE；
（2）DF⊥ON，理由如下：
∵△BCE≌△DCE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵∠EBC＝∠CBN，
∴∠EDC＝∠CBN，
∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠CBN＝90°，
∴∠EFB＝90°，即DF⊥ON；
（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAG+∠BAO=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DAG=∠ABO，
又∵∠MON=90°，DG⊥OM，
∴△ADG≌△ABO，
∴DM=AO，GA=OB=5，
∵AB=13，OB=5，
根据勾股定理可得AO=12，
由（2）可知DF⊥ON，
又∵∠MON=90°，DG⊥OM，
∴四边形OFDM是矩形，
∴OF=DG=AO=12，DF=OM=17，
由（1）可知BE＝DE，
∴△BEF 的周长=DF+BF=17+（12-5）=24．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，掌握知识点是解题关键．
8．2x =.
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：x 2-2x+2=x 2-x ，
解得：x=2，
检验：当x=2时，方程左右两边相等，
所以x=2是原方程的解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．第一次购进这种商品10千克
【分析】
根据“商店分别花500元和750元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多5千克”列出分式方程求解即可．
【详解】
解：设第一次购进这种商品x 千克，则第二次购进这种商品（x +5）千克， 由题意，得
5007505
x x =+， 解得x ＝10． 经检验：x ＝10是所列方程的解．
答：第一次购进这种商品10千克．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意得出分式方程的解之后要验根．
10．（1）见解析 （2）（3,4）
【分析】
（1）根据网格结构找出点A 、C 绕点B 顺时针旋转90°后的对应点A 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．
【详解】
解：（1）三角形的旋转可以分开看作每条边的旋转，分别找到对应的点，连接即可，故△A 1BC 1如图所示；
（2）连接'AA 并作其垂直平分线，连接'CC 并作其垂直平分线，交点即为旋转中心．如
图所示，旋转中心为（3，4），
故答案为（3，4）．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．
11．（1）见解析（2）10 【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ＝3，AD ∥BC ，得到AD ＝CE ，推出四边形ACED 是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE ＝90°，于是得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理得到OC ＝
12DE ＝12
AC ＝1，由勾股定理即可得到结论． 【详解】 （1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝3，AD ∥BC ，
∵CE ＝3，
∴AD ＝CE ，
∴四边形ACED 是平行四边形，
∵AC ⊥BC ，
∴∠ACE ＝90°，
∴四边形ACED 为矩形；
（2）解：连接OE ，如图，
∵BO ＝DO ，BC ＝CE ，
∴OC ＝12DE ＝12
AC ＝1， ∵∠ACE ＝90°，
∴OE 22221310OC CE +=+=
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理和勾股定理进行求解．
12．（1）见解析；（2）32；（3）见解析
【分析】
（1）根据同角的余角相等得到∠GCB ＝∠FBA ，利用ASA 定理证明△ABF ≌△BCE ； （2）根据全等三角形的性质得到BF ＝CE ＝8，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （3）作DH ⊥CE ，设AB ＝CD ＝BC ＝2a ，根据勾股定理用a 表示出CE ，根据三角形的面积公式求出BG ，根据勾股定理求出CG ，证明△CHD ≌△BGC ，得到CH ＝BG ，证明CH ＝GH ，根据线段垂直平分线的性质证明结论．
【详解】
（1）证明：∵BF ⊥CE ，
∴∠CGB ＝90°，
∴∠GCB +∠CBG ＝90，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠CBE ＝90°＝∠A ，BC ＝AB ，
∴∠FBA +∠CBG ＝90，
∴∠GCB ＝∠FBA ，
在△ABF 和△BCE 中，
A CBE A
B BC
ABF BCE ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）；
（2）解：∵△ABF ≌△BCE ，
∴BF ＝CE ＝8，
∴四边形BEFC 的面积＝△BCE 的面积+△FCE 的面积 ＝
12×CE ×FG +12×CE ×BG ＝
12×CE ×（FG +BG ） ＝
12×CE ×BF ＝12
×8×8 ＝32；
（3）证明：如图3，过点D 作DH ⊥CE 于H ，
设AB ＝CD ＝BC ＝2a ，
∵点E 是AB 的中点，
∴EA ＝EB ＝12
AB ＝a ，
∴CE ＝225BE BC a +=， 在Rt △CEB 中，
12BG •CE ＝12CB •EB ， ∴BG ＝25CB EB a CE ⋅=， ∴CG ＝22455BC BG a -=
， ∵∠DCE +∠BCE ＝90°，∠CBF +∠BCE ＝90°，
∴∠DCE ＝∠CBF ，
∵CD ＝BC ，∠CHD ＝∠CGB ＝90°，
∴△CHD ≌△BGC （AAS ），
∴CH ＝BG ＝25a ， ∴GH ＝CG ﹣CH ＝
25a ＝CH ， ∵CH ＝GH ，DH ⊥CE ，
∴CD ＝GD ；
【点睛】
本题通过正方形动点问题引入，考查了三角形全等、勾股定理和垂直平分线定理的应用． 13．商店应将售价定为12元，才能使每天利润为640元，商店应进货160件．
【分析】
设售价为x 元，则销售量为10200100.5x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝
⎭件，根据利润=数量⨯每件的利润，每天所得利润为640元列出方程，再根据利润率不得超过60%，即可得出结果．
【详解】
解；设售价为x 元，据题意得10(8)200106400.5x x -⎛⎫--⨯
= ⎪⎝⎭
化简得2281920x x -+=，
解得112x =，216x = 又
8860%x -<⨯
12.8x ∴≤ 16x ∴=不合题意，舍去
12x ∴=， ∴1210200101600.5
--⨯=（件）． 答：商店应将售价定为12元，才能使每天利润为640元，商店应进货160件．
【点睛】
本题考查了销售问题的数量关系的运用，不等式的性质的运用，熟悉相关性质是解题的关键．
14．（1）证明见详解；（2）①5或6；②9或10或
496． 【分析】
（1）设BD=2x ，AD=3x ，CD=4x ，则AB=5x ，由勾股定理求出AC ，即可得出结论；
（2）由△ABC 的面积求出BD 、AD 、CD 、AC ；①当MN ∥BC 时，AM=AN ；当DN ∥BC 时，AD=AN ；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M 在DA 上，即4＜t≤10时，△MDE 为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM ；如果ED=EM ；如果MD=ME=2t-8；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：设BD=2x ，AD=3x ，CD=4x ，
则AB=5x ，
在Rt △ACD 中，AC=5x ，
∴AB=AC ，
∴△ABC 是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x ，CD=4x ，
∴S △ABC=
12
×5x×4x=160cm 2，而x ＞0， ∴x=4cm ，
则BD=8cm ，AD=12cm ，CD=16cm ，AB=AC=20cm ．
由运动知，AM=20-2t ，AN=2t ，
①当MN ∥BC 时，AM=AN ，
即20-2t=2t ，
∴t=5；
当DN ∥BC 时，AD=AN ，
∴12=2t ，
得：t=6；
∴若△DMN 的边与BC 平行时，t 值为5或6．
②存在，理由：
Ⅰ、当点M 在BD 上，即0≤t ＜4时，△MDE 为钝角三角形，但DM≠DE ；
Ⅱ、当t=4时，点M 运动到点D ，不构成三角形
Ⅲ、当点M 在DA 上，即4＜t≤10时，△MDE 为等腰三角形，有3种可能．
∵点E 是边AC 的中点，
∴DE=12
AC=10 当DE=DM ，则2t-8=10，
∴t=9；
当ED=EM ，则点M 运动到点A ，
∴t=10；
当MD=ME=2t-8，
如图，过点E 作EF 垂直AB 于F ，
∵ED=EA ，
∴DF=AF=12
AD=6， 在Rt △AEF 中，EF=8；
∵BM=2t ，BF=BD+DF=8+6=14，
∴FM=2t-14
在Rt △EFM 中，（2t-8）2-（2t-14）2=82，
∴t=496
． 综上所述，符合要求的t 值为9或10或
496． 【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．
15．（1）证明见解析；（2）5AP =；（3）图见解析，7AP =，∠CAB=120°．
【分析】
（1）只需借助等边三角形的性质证明△ACP ≌△QBP 即可得出结论；
（2）利用（1）中的全等和等边三角形的性质可求得90ABQ ∠=︒，再借助勾股定理即可求得AQ ，即AP 的值；
（3）当AQ 最长时，AP 最长，此时Q 在QB 的延长线，由此得解．
【详解】
解：（1）证明：
∵CBP ∆和APQ ∆为等边三角形，
∴AP=PQ ，CP=BP ，
∠CPN=∠APQ=60°，
∴∠CPA=∠BPQ ，
∴△ACP ≌△QBP （SAS ）
∴AC=BQ ；
（2）∵△ACP ≌△QBP ，
∴3BQ AC ==，CAP BQP ，AP AQ =， ∵APQ ∆为等边三角形，
∴60PAQ AQP , ∵30CAB ∠=︒ ∴BAQ AQB
CAQ CAB AQP BQP 60
3060CAP BQP 90=︒
∴90ABQ ∠=︒， ∴2222435AP
AQ AB BQ ； （3）如下图，当等边△APQ 的AQ 边在AB 的延长线上时，AQ 有最大值，即AP 有最大
值，
由（1）得△ACP ≌△QBP ，
∴BQ=CA=3，∠CAP=∠Q,
∵△APQ 为等边三角形，
∴∠CAP=∠Q=60°，AP=AQ=AB+BQ=7．
∴∠CAB=120°，
故AP 最大值时，7AP =，此时∠CAB=120°．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，勾股定
理．（1）中熟练掌握等边三角形的性质，得出∠CPA=∠BPQ 是解题关键；（2）中能求得90ABQ ∠=︒是解题关键；（3）中能想到AQ 有最大值，即AP 有最大值是解题关键．。