《实数》 知识清单

《实数》知识清单
一、实数的定义
实数，是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数和分数，能表示为两个整数之比；无理数则不能表示为两个整数之比，如圆周率π、根号 2 等。

在数学中，实数可以直观地看作有限小数与无限小数。

实数和数轴上的点一一对应，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点也都对应着一个实数。

二、实数的分类
1、按定义分类
有理数：包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。

无理数：无限不循环小数。

2、按性质分类
正实数：包括正有理数和正无理数。

负实数：包括负有理数和负无理数。

三、有理数
1、整数
整数包括正整数、0 和负整数。

例如 5、0、－3 等都是整数。

2、分数
分数是把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。

例如 1/2、3/4 等。

分数可以化为有限小数或无限循环小数。

四、无理数
1、常见的无理数类型
含根号且开方开不尽的数，如根号 2、根号 3 等。

特定的常数，如圆周率π、自然对数的底数 e 等。

具有特定规律但不循环的无限小数，如***********……
2、无理数的证明
证明一个数是无理数通常需要用到反证法。

五、实数的运算
1、加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。

例如：3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋ 5 ＝ 2
2、减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数。

例如：5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2
3、乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。

例如：3 × 5 ＝ 15，－3 × 5 ＝－15
4、除法
除以一个数等于乘以这个数的倒数。

0 不能作除数。

例如：15 ÷ 5 ＝ 15 × 1/5 ＝ 3
5、乘方
求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。

例如：2³＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8
6、开方
求一个数的平方根或立方根的运算。

例如：9 的平方根是±3，8 的立方根是 2
六、实数的运算律
1、加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a
2、加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)
3、乘法交换律：ab ＝ ba
4、乘法结合律：（ab)c ＝ a(bc)
5、乘法分配律：a(b ＋ c) ＝ ab ＋ ac
七、实数的大小比较
1、数轴比较法
在数轴上，右边的数总比左边的数大。

2、差值比较法
若 a b ＞ 0，则 a ＞ b；若 a b ＝ 0，则 a ＝ b；若 a b ＜ 0，则 a ＜ b。

3、商值比较法
对于两个正数 a、b，如果 a/b ＞ 1，则 a ＞ b；如果 a/b ＝ 1，则 a ＝ b；如果 a/b ＜ 1，则 a ＜ b。

4、平方法
对于两个正数 a、b，如果 a²＞ b²，则 a ＞ b。

八、实数的近似数和有效数字
1、近似数
近似数是指与准确数相近的一个数。

2、有效数字
从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

例如：0056 有两个有效数字 5、6；120 有三个有效数字 1、2、0。

九、实数的应用
实数在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

在工程建设中，需要精确计算长度、面积、体积等，这就涉及到实数的运算。

在物理学中，测量物理量的值往往是实数。

在经济学中，进行成本核算、利润计算等也离不开实数。

总之，实数是数学中非常基础和重要的概念，对我们理解和解决实际问题有着重要的意义。