浙江省秋瑾中学2019-2020学年中考数学模拟试卷

浙江省秋瑾中学2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1( )
A ．3
B
C ．﹣3
D 2．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞12
B ．k≥12
C ．k ＞12且k≠1
D ．k≥12
且k≠1 3．下列四个数中，最大的数是（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．|﹣3|
4．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD 的度数为（ ）
A.75°
B.100°
C.105°
D.120° 5．下列各数中，比﹣3小的数是（ ）
A ．﹣1
B ．﹣4
C ．0
D ．2 6．下列计算正确的是（ ）
A ．2﹣2＝﹣4
B ＝2
C ．2a 3+3a 2＝5a 5
D ．（a 5）2＝a 7 7．某车间6名工人日加工零件数分别为6，10，8，10，5，8，则这组数据的中位数是（ ）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．10 8．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，O 为ABC ∆角平分线的交点，若ABO ∆的面积为20，则ACO ∆的面积为是（ ）
A ．12
B ．15
C ．16
D ．18
9．在圆环形路上有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存．现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1：2：3：5．若运费与路程、运的数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
10．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 平分∠ABC ，点A 是BE 的中点．若∠D ＝110°，则∠AEB 的度数是
( )
A ．30°
B ．35°
C ．50
D ．55°
11．如图，在⊙O 中，弦AB ＝10，PA ＝6㎝，OP ＝5㎝，则⊙O 的半径R 等于（ ）
A ．7㎝ B
㎝ C ．49㎝ D
㎝
12．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ．AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为S ，则△BCD 的面积为（ ）
A ．S
B ．2S
C ．3S
D ．4S
二、填空题 13．02019的相反数是____.
14．已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x+1＝0的两个实数根，则
1211+x x ＝_____． 15．在直角坐标系中，已知直线1
5y x 33
=-+经过点()M 1,m -和点()N 2,n ，抛物线y=ax 2-x+2(a≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是______．
16．在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，
6），若一次函数y ＝mx －6m ＋2(m≠0)的图像将四边形ABCD 的面积分成1：3两部分，则m 的值为___________．
17．请写出一个是轴对称图形的多边形名称：__________．
18．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．
三、解答题
19．计算35222a a a a -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭
．
20．（1）计算：10124303)cos -︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222121111
a a a a a a a +-+⋅---+，其中a ＝﹣12． 21．如图，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物定点A 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45°．已知BC ＝60m ，山坡的坡比为1：2．
（1）求该建筑物的高度（即AB 的长，结果保留根号）；
（2）求此人所在位置点P 的铅直高度（即PD 的长，结果保留根号）．
22．如图，已知矩形ABCD 是一空旷场地上的小屋示意图，其中AB ：AD ＝2：1．拴住小狗的绳子一端固定在点A 处，请根据下面条件分别画出小狗在小屋外最大活动区域．（小狗的大小不计）
（1）若拴小狗的绳子长度与AD 边长相等，请在图1中画出小狗在屋外可以活动的最大区域；
（2）若拴小狗的绳子长度与AB 边长相等，请在图2中画出小狗在屋外可以活动的最大区域．
23．如图，在RI △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，点P 从点A 出发沿线段AB cm/s 的速度向点B 运动，设运动时间为ts ．过点P 作PD ⊥AB ，PD 与△ABC 的腰相交于点D ．
（1）当t=（）s 时，求证：△BCD ≌△BPD ；
（2）当t 为何值时，S △APD =3S △BPD ，请说明理由．
24．已知抛物线y ＝ax 2
﹣bx ．
（1）若此抛物线与直线y ＝x 只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，0）． ①求此抛物线的解析式；
②以y 轴上的点P （0，n ）为中心，作该抛物线关于点P 对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n 的取值范围；
（2）若a ＞0，将此抛物线向上平移c 个单位（c ＞0），当x ＝c 时，y ＝0；当0＜x ＜c 时，y ＞0．试比较ac 与1的大小，并说明理由．
25．若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”。

如：1=12-02 ， 7=42-32 ， 因此1和7都是“和谐数”。

（1）判断11是否为“和谐数”，并说明理由．
（2）下面是某个同学演算后发现的两个命题，请选择其中一个命题，判断真假，并说明理由．
命题1：数2n-1(n 为正整数)是“和谐数”。

命题2：“和谐数”一定是奇数。

【参考答案】***
一、选择题
13．-1
14．3-
15．a 1≤-或11a 43
∠≤ 16．-5或15-
17．正六边形(答案不唯一)
18．300
三、解答题
19．13
a + 【解析】
【分析】
根据分式的运算法则计算化简即可求出答案．
【详解】
解：原式＝2345222a a a a a ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭
＝23922
a a a a --÷-- ＝
322(3)(3)a a a a a --⋅--+ ＝
13
a +． 【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（1）4；（2）
1a ，-2. 【解析】
【分析】
（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；
（2）将原式的分子、分母因式分解，约分后计算减法，再代值计算即可．
【详解】
（1 ）0+（
13 ）﹣1+4cos30°﹣
﹣
＝＝4；
（2）222212111
1a a a a a a a +-+-+-- ＝22111(1)(1(1)1a a a a a a a +--+--+（）） ＝
21(1)(1)a a a a a a +-++ ＝
1(1)a a a ++ ＝1a
， 当a ＝﹣12 时，原式＝11-2
＝﹣2． 【点睛】
本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．解答（1）题的关键是根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；解答（2）题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
21．(1) 建筑物的高度为 (2)点P 的铅直高度为（20）米．
【解析】
【分析】
（1）过点P 作PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AB 于F ，在Rt △ABC 中，求出AB 的长度即可；
（2）设PE ＝x 米，则BF ＝PE ＝x 米，根据山坡坡度为1：2，用x 表示CE 的长度，然后根据AF ＝PF 列出等量关系式，求出x 的值即可．
【详解】
解：（1）过点P 作PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AB 于F ，
又∵AB ⊥BC 于B ，
∴四边形BEPF 是矩形，
∴PE ＝BF ，PF ＝BE
∵在Rt △ABC 中，BC ＝90米，∠ACB ＝60°，
∴AB ＝BC•tan60°＝60（米），
故建筑物的高度为
（2）设PE ＝x 米，则BF ＝PE ＝x 米，
∵在Rt △PCE 中，tan ∠PCD ＝
12
PE CE =， ∴CE ＝2x ，
∵在Rt △PAF 中，∠APF ＝45°，
∴AF ＝AB ﹣BF ＝﹣x ，
PF ＝BE ＝BC+CE ＝60+2x ，
又∵AF＝PF，
∴60﹣x＝60+2x，
解得：x＝﹣20，
答：人所在的位置点P的铅直高度为（20）米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．
22．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）以A为圆心，AD为半径画弧即可解决问题．
（2）分别以A，D为圆心，AB，AD为半径画弧即可解决问题．
【详解】
解：（1）图1中，小狗在屋外可以活动的最大区域如图所示；
（2）图2中，小狗在屋外可以活动的最大区域如图所示．
【点睛】
本题考查作图的应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（1）见解析；（2）当t 为3s 时，S △APD =3S △BPD ．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理得出cm ，当t=（）s 时，，得出BP=AB-AP=4cm=BC ，由HL 证明Rt △BCD ≌Rt △BPD 即可；
（2）当S △APD =3S △BPD 时，AP=3BP ，由题意得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：如图1所示：
∵在RI △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，
∴，
当t=（）s 时，，
∴BP=AB-AP=4cm ，
∴BP=BC ，
∵PD ⊥AB ，
∴∠BFD=∠C=90°，
在Rt △BCD 和Rt △BPD 中，{BD BD
BC BP ==，
∴Rt △BCD ≌Rt △BPD （HL ）；
（2）解：如图2所示：
∵PD ⊥AB ，当S △APD =3S △BPD 时，AP=3BP ，
t=3（t ），
解得：t=3，
∴当t 为3s 时，S △APD =3S △BPD ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（1）①212y x x =-
+；②n≤0；（2）ac≤1，见解析. 【解析】
【分析】
（1）①△＝0求解b ＝1，将点（3，0）代入平移后解析式，即可；
②顶点为（1，12）关于P （0，n ）对称点的坐标是（﹣1，2n ﹣12
），关于点P 中心对称的新抛物线y'
＝12（x+1）2+2n ﹣12＝12
x 2+x+2n ，联立方程组即可求n 的范围； （2）将点（c ，0）代入y ＝ax 2﹣bx+c 得到ac ﹣b+1＝0，b ＝ac+1，当0＜x ＜c 时，y ＞0.
b 2a ≥c，b≥2ac，ac+1≥2ac，ac≥1；
【详解】
解：（1）①ax 2﹣bx ＝x ，ax 2﹣（b+1）x ＝0，
△＝（b+1）2＝0，b ＝﹣1，
平移后的抛物线y ＝a （x ﹣1）2﹣b （x ﹣1）过点（3，0），
∴4a ﹣2b ＝0，
∴a ＝﹣12
，b ＝﹣1， 原抛物线：y ＝﹣12
x 2+x ， ②其顶点为（1，12）关于P （0，n ）对称点的坐标是（﹣1，2n ﹣12
）， ∴关于点P 中心对称的新抛物线y'＝
12（x+1）2+2n ﹣12＝12x 2+x+2n ． 由221y=x +x+2n 21y=-x +x 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
得：x 2+2n ＝0有解，所以n≤0．
（2）由题知：a ＞0，将此抛物线y ＝ax 2﹣bx 向上平移c 个单位（c ＞0），
其解析式为：y ＝ax 2﹣bx+c 过点（c ，0），
∴ac 2﹣bc+c ＝0 （c ＞0），
∴ac ﹣b+1＝0，b ＝ac+1，
且当x ＝0时，y ＝c ，
对称轴：x ＝b 2a
，抛物线开口向上，画草图如右所示． 由题知，当0＜x ＜c 时，y ＞0． ∴b 2a
≥c，b≥2ac， ∴ac+1≥2ac，ac≤1；
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象平移时改变位置，而a 的值不变是解题的关键．
25．（1）11是“和谐数”， 理由：11=62-52；（2）选择命题1 ，命题1是真命题；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由于 11=62-52，根据“和谐数” 的定义，判断出11是“和谐数” ；
（2）选择命题1 ，设 n与（n-1）是连续自然数，利用这两个连续自然数的平方差等于 2n-1 ，根据“和谐数” 的定义，判断出 2n-1 是“和谐数” ，所以命题1是真命题；选择命题2 ，设两个连续自然数分别为n+1和n，利用这两个连续自然数的平方差等于 2n+1 ，得出“和谐数”一定是奇数。

所以命题2是真命题
【详解】
（1）解：11是“和谐数”。

理由如下：:11=62-52
（2）解：选择命题1
∵2n-1=n2-（n-1）2，且n为正整数。

∴n与（n-1）是连续自然数
∴数2n-1是“和谐数”。

所以命题1是真命题。

选择命题2
设两个连续自然数分别为n+1和n．
∴任意“和谐数”可表示为：(n+1）2-n2=2n+1．
∴“和谐数”一定是奇数。

所以命题2是真命题
【点睛】
掌握平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2。