2019—2020年高中数学北师大版必修一2.5《第1课时简单的幂函数》同步测试.doc

第二章§5 第1课时简单的幂函数
一、选择题
1．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝x 1
3B．y＝x3
C．y＝x2D．y＝x－2 [答案] C
[解析] 函数y＝x 1
3和y＝x－2我们不太熟悉，但对于y ＝x2的图像与性质，我们记忆深刻，并且知道y＝x2在(－∞，0)上为减函数，故选C.
2．幂函数y＝x 3
4的定义域是( )
A．R B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．以上皆错[答案] B
[解析] ∵y＝x 3
4，∴y＝
3
4
的定义域为[0，＋∞)．
3．函数y＝x 5
3的图像大致是(
)
[答案] B
[解析] ∵
5
3
>0，∴图像过原点且递增，又
5
3
>1，故选B. 4．f(x)＝(x2－2x)－
1
2的定义域是( )
A．{x|x≠0或x≠2}
B．(0,2)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 由x2－2x>0可得x<0或x>2，故选D.
5．已知函数f(x)＝(a＋2)x－2是幂函数，则f(a)的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
[答案] A
[解析] 由于f(x)是幂函数，所以a＋2＝1，即a＝－1，于是f(x)＝x－2，故f(－1)＝f(－1)－2＝1.
6．若幂函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f(1
2
)等于( )
A．4 B．2
C.1
2
D.
1
4
[答案] D
[解析] 设f(x)＝xα，∵f(x)的图像经过点(2,4)，∴4＝2α.∴α＝2.
∴f(x)＝x 2.∴f(12)＝(12)2＝1
4.
二、填空题
7．若函数y ＝(a 2－3a －3)x 2为幂函数，则a 的值为________．
[答案] －1或4
[解析] 由幂函数定义可知a 2－3a －3＝1，所以a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或a ＝4.
8．已知f(x)为幂函数，且过(2，2)点，则f(x)＝________. [答案] x 1
2
[解析] ∵函数f(x)为幂函数，∴可设解析式为f(x)＝x α，又∵f(x)图像过(2，
2)点，
即f(2)＝2α＝2，∴α＝1
2
，故f(x)＝x 1
2 .
三、解答题
9．比较下列各数的大小：
(1)(－23)23 和(－π6
)23 ；
(2)4.12
5 ，3.8－2
3 和(－1.9)3
5 .
[解析] (1)函数y ＝x 23 在(－∞，0)上为减函数，又－23<
－π6
， ∴(－23)23 >(－π6
)23 .
(2)4.12
5 >12
5 ＝1；0<3.8－2
3 <1－2
3 ＝1；(－1.9)3
5 <0，
∴(－1.9)3
5 <3.8－2
3 <4.12
5 .
10．证明：函数f(x)＝
x 在[0，＋∞)上是增函数．
[证明] 方法一：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则x 1－x 2<0，
∴f(x 1)－f(x 2)＝
x 1－
x 2
＝
x 1－x 2x 1＋x 2
x 1＋
x 2
＝
x 1－x 2x 1＋
x 2
<0，
即f(x 1)<f(x 2)．
由函数单调性的定义可知，f(x)＝x 在[0，＋∞)上是增
函数．
方法二：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则x 1
x 2
<1，且
f(x 2)>0，
∴f x 1f
x 2
＝x 1x 2
＝
x 1
x 2
<1， 即f(x 1)<f(x 2)，
由函数单调性的定义可知，f(x)＝x 在[0，＋∞)上是增
函数.
一、选择题
1．幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，1
2
，1,2,3}
的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为( )
A．{－1,0，1
2
} B．{
1
2
，1,2}
C．{－1，1
2
，1,3} D．{
1
2
，1,2,3}
[答案] C
[解析] 根据幂函数y＝x－1，y＝x0，y＝x 1
2，y＝x，y
＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，当α＝－1，1
2
，1,3时，
相应幂函数的值域与定义域相同．
2．如果f(x)＝(m－1)·x m2－4m＋3是幂函数，则f(x)在其定义域上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上为减函数
D．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝(m －1)x m 2－4m ＋3是幂函数， ∴m －1＝1，即m ＝2. f(x)＝x －1，
显然f(x)＝x －1在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数．
二、填空题
3．比较大小(填“>”“<”或“＝”)： (1)(2
3)0.5________(1
2)0.5；
(2)(－π)3________(－3)3. [答案] (1)> (2)<
[解析] 因为幂函数y ＝x 0.5在区间[0，＋∞)上是增加的，又23>12，所以(23)0.5>(1
2
)0.5. (2)因为幂函数y ＝x 3在区间(－∞，＋∞)上是增加的，又－π<－3，所以(－π)3<(－3)3.
4．给定一组函数解析式：①y ＝x 34 ；②y ＝x 2
3 ；③y ＝x －32 ；
④y ＝x －2
3 ；⑤y ＝x 3
2 ；⑥y ＝x －1
3 ；⑦y ＝x 1
3 及如图所示的一组函数图像．请把图像对应的解析式号码填在图像下面的括号内．
[答案] ⑥④③②⑦①⑤
[解析] 由第一、二、三个图像在第一象限的单调性知，α<0，而第一个图像关于原点对称，为奇函数，第二个图像关于y 轴对称，为偶函数；第三个在y 轴左侧无图像，故这三个图像分别填⑥④③.
由第四、五、六个图像在第一象限的特征知，0<α<1，
再由其奇偶性及定义域知这三个图像应依次填②⑦①.
第七个图像对应的幂指数大于1，故填⑤.
三、解答题
5．函数y＝(m2－m－1)x m2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值．
[解析] ∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1.
即(m－2)(m＋1)＝0，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)不是减函数．
综上所述，所求m＝2.
6．已知幂函数f(x)的图像过点(2,32)，求函数y＝f(x－2)的解析式．
[解析] 设f(x)＝xα，则2α＝32，
∴α＝5.∴f(x)＝x5.
∴f(x－2)＝(x－2)5.
7．已知幂函数f(x)的图像过点(2，2)，幂函数g(x)的
图像过点(2，1
4 )．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)当x为何值时：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；
③f(x)＜g(x)．
[解析] (1)设f(x)＝xα，
∵其图像过点(2，2)，故2＝(2)α，
∴α＝2，∴f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，
∵其图像过点(2，1
4 )，
∴1
4
＝2β，∴β＝－2，∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图像，如图所示：
由图像可知：f(x)，g(x)的图像均过点(－1,1)与(1,1)．∴①当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．。