第五章欧洲数学与近代数学的兴起

数学只有在这样一种文化环境中才能结出累累硕果；在这种文化环境中，人们既能自觉自愿地探讨与自然界有关联的问题，与此同时，又允许思想毫无限制地自由发展，而不必考虑是否能够立刻解决人类及其世界所面临的现实问题。

--------M.克莱因（美）
第5章欧洲数学与近代数学的兴起
§5.1 中世纪的欧洲数学
§5.2 文艺复兴时期的欧洲数学
§5.3 近代数学的诞生
§5.1 中世纪的欧洲数学
一、中世纪欧洲历史文化简介
公元五世纪到十五世纪的一千多年时间是欧洲历史上的封建社会时期，科学史和哲学史上称为欧洲中世纪。

其中前六百年（5-11世纪）是封建生产方式的形成阶段，称为中世纪前期；后四百年（11-15世纪）是封建生产方式的兴盛时期，称为中世纪后期。

西罗马帝国由于奴隶起义和外族侵入于公元476年灭亡。

欧洲出现四分五裂封建割据状态。

战争造成的混乱局
面和到处充满的破坏行动使得生产停滞，经济凋败，科学文化落后。

当时各国统治者与罗马教廷勾结，让基督教占据统统治地位。

基督教敌视科学，阻止、压抑科学的发展，宗教的绝对权威使一切学术思想屈从于宗教教义。

神学成为中心学科，占星学成为带头学科。

整个中世纪，尤其使中世纪前期，整个欧洲没有像样的发明创造，也没有值得一提的科学著作。

这是欧洲历史上科学技术大倒退的时期，是宗教神学统治的黑暗时期。

当时的教育主要是一些修道院办的僧侣学校（经院），主要学习圣经。

经过漫长的黑暗时期，手工业和商业得以逐步恢复和发展。

约在10世纪到11世纪初，开始出现一些新兴的城市。

这标志欧洲进入新时期（中世纪后期）。

与此同时在一些城市中开始设立非教会的学校，并在此基础上发展成为大学。

这时期的十字军八次东征（1095-1270）使欧洲人大规模地接触到东方的文明。

这让他们大开眼界，激起他们学习东方科学文化的热情。

同时欧洲人还掠夺走大量被阿拉伯人翻译和保存的古希腊著作。

这些著作经翻译后全面流入欧洲，为欧洲科学文化的复兴奠定了基础。

二、斐波那契与算盘书
中世纪欧洲数学的主要代表是意大利数学家斐波那契（Fibonacci约1170-1250)。

斐波那契于1202年写成名著《算盘书》，被认为是中世纪欧洲人所写的最重要的数学著作,对中世纪欧洲数学面貌的改变起到极为重要的作用。

为此，斐波那契被评价为欧洲中世纪最杰出的数学家。

《算盘书》的最大意义是把印度-阿拉伯数码及印度、阿拉伯数学介绍给欧洲人。

《算盘书》中给出了著名的斐波那契数列。

这是中世纪欧洲数学家在数学理论发展中所做的少数重要贡献之一。

“兔子问题”：
某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月可以生一对小兔，而小兔子出生后第二个月就能生育。

问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？
数学发明的动力不是理性，而是想象。

--------德.摩根（德）
在我看来，一个人如果要在数学上有所进步，他必须向大师们学习，而不应向徒弟们学习。

--------阿贝尔（挪威）
§5.2文艺复兴时期的欧洲数学
一、文艺复兴与近代自然科学的兴起
16世纪前后是欧洲封建生产方式解体和资本主义生产方式形成时期。

这期间欧洲大陆发生了一场称为“文艺复兴”或“宗教改革”的深刻的资产阶级民主革命，促成了思想的大解放和科学的大发展。

近代自然科学就在这一时期中诞生和发展起来。

出现这一情况的原因由三个；
1.生产的发展与科学技术的积累，为科学发展提供了基本条件。

2.新兴资产阶级反封建的革命斗争，为科学发展扫清了道路。

3.创立实验——数学方法，为科学发展奠定了方法论基础。

二、文艺复兴时期欧洲数学的主要进展
1.代数方程论的发展
1515年，意大利波伦尼亚大学教授、波伦尼亚数学学会会长费罗（Ferro 1465—1526）求得形如方程的正根的求根公式，并秘传给学生菲奥（Fior 16世纪前半叶）与
内夫（1500—1558）。

后来威尼斯大学数学教授丰塔纳（Frontana 1499—1557，因口吃也称塔塔利亚）独自钻研也求得形如的方程的解法。

于是引起菲奥的挑战。

1535年2月22日，塔塔利亚与菲奥进行了一场著名的数学竞赛。

竞赛以塔塔利亚取胜而告终。

1539年，塔塔利亚将所创方法告知了米兰数学家卡当（Cardano 1501—1576）。

1545年，卡当出版《大法》一书，首次公布了三次方程的解法。

故后人称三次方程求根公式为卡当公式。

《大法》
中还载有解四次方程的费拉里（Ferrari 1522—1565）方法。

后来，法国数学家韦达、笛卡尔，荷兰数学家吉拉德等进一步研究了高次方程的各种解法、根的个数以及根与系数关系等，进一步发展了代数方程论。

2. 符号代数的产生
代数学进一步发展的首要问题是建立一套有效的符号体系。

公认在数学符号系统化方面做出最大贡献的是法国数学家韦达（Vieta 1540—1603）。

韦达是十六世纪最伟大的数学家。

他的名著《分析引论》（1591）被认为是符号代数最早的一部著作。

他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。

他还用字母表示方程的一般系数，代数式中的方括号和花括号是他于1593年引进的。

他还用“~”表示等号，而将“=”表示两数之差。

引入字母符号后，韦达将一般代数方程称为“类的算术”，以别于“数的算术”，并以此区分代数与算术，使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问。

韦达在代数的恒等式理论、方程理论、几何、三角等方面有很多贡献。

韦达也被称为“代数学之父”。

3.三角学的确立
16世纪以前，欧洲三角始终依附于天文学。

到16世纪，三角学开始从天文学中分离出来成为独立的数学分支。

使三角学取得独立地位的第一部系统著作是奥地利数学家雷琼蒙塔努斯（Regiomontanus 1436—1476）的名著《三角全书》。

该书首次对三角学作出完整、
独立的阐述，并在欧洲广泛传播。

4.几何学的新突破
16世纪以前，欧洲在几何学方面的进展很小。

文艺复兴时期，艺术家们绘画的指导理念从中世纪的观念体系转向光学体系，这就要求在绘画中正确处理三维空间中的距离、体积、质量与视觉印象间的关系，从而导致了一门新兴学科——透视学的诞生。

意大利人布努雷契（1337—1446）、阿尔贝蒂（1404—1472）、弗朗西斯卡（1410—1492）为透视学的产生发展作出了贡献。

另一刺激几何研究的是地图制作中球面展开的畸变问题。

1569年创造了以梅卡脱（1512—1594）名字命名的投影法解决了地图的保形问题。

透视法、投影法研究的进一步深入，导致了一门新的几何分支——射影几何学的产生，其奠基者是法国数学家笛沙格（1591—1661）。

他从焦点透视的投影与截影原理出发，对平行线引入无穷远点的概念，进而得到无穷远直线的概念，然后讨论了今天所谓的笛沙格定理。

他还讨论了很多射影性质，如投影变换下交比不变性，对合、调和点组关系在投影变换下的不变性等。

对射影几何诞生作出贡献的还有法国数学家帕斯卡（1623—1662）和拉伊尔（1640—1718）等，它的理论体系最终于19世纪由法国数学家庞塞勒、斯陶特、蒙日等人完成。

5.计算技术的重大进步
（1）十进小数的发明
在欧洲，十进小数的发明归功于荷兰数学家斯蒂文（Stevin 1548—1620）。

1585年他在《十进小数》一文中首次引入小数点记号和十进小数表示方法。

（2）对数的发明
对数的发明人是苏格兰的著名数学家纳皮尔（J.Napier 1550—1617）。

1594年前后，为简化天文学中的球面三角计算，他开始研究并发明了对数。

在《论对数的奇妙性》（1614）和遗著《奇妙的对数表的构造》（1619年出版）中，他阐述了关于对数的思想，并造出了第一张正弦对数表。

纳皮尔关于对数是这样定义的：
点P沿有限直线AB作变速运动，其速度与剩余距离成正比；点Q沿无限直线CD作匀速运动，其速度为P点在A处的速度。

令P、Q同时分别从A、C出发，记，那么称x是y的对数。

令，P的速度与y成正比，取比例系数为1，则有：
纳皮尔的对数实际上是为底的对数。

纳皮尔去世后，牛津大学教授布里格斯（1561—1631）建立了以10为底的常用对数。

第一张自然对数表于1616年出现在英国人芮特的一本书中，第一张常用对数表由布里格斯于1617年发表，英国天文学教授冈特于1620年首先算出三角函数常用对数表，1624年开普勒在德国出版纳皮尔正弦对数表。

对数发明后，不到一个世纪就传遍世界（1648年波兰传教士穆尼阁将对数传入中国）。

天文学家几乎以狂喜的心情接受这一发现。

拉普拉斯曾赞誉道：“如果一个人的生命是拿他一生中的工作多少来衡量的话，那么对数的发明等于延长了人类的寿命”。

伽利略则说：“给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙。

”
（3）计算工具的产生
1617年苏格兰人内皮制成骨筹乘法器，整个17世纪沿用。

1620年冈特试制成对数计算尺，1632年又试制成圆盘计算尺。

1623年德国数学家制成第一部机械计算器，可进行加减运算和借助活动表格进行乘除计算。

第一部实用的齿轮式计算器于1642年由法国数学家帕斯卡制成，后经莱布尼茨改进，这是现代计算机的前身。

由于数学推理确定无疑、明了清晰，我特别喜爱数学。

……我为它的基础如此稳固坚实而惊
奇，在知识结构中，数学应该是最高的。

--------笛卡尔（法）
只要代数同几何分道扬镳，他们的进度就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完善。

--------拉格朗日(意)
§5.3近代数学的诞生
一、近代数学诞生及其特点分析
从17世纪初到18世纪末，欧洲数学的发展是数学史上继古希腊数学之后的又一次飞跃，它继承了古希腊数学的光辉传统，在印度、阿拉伯和文艺复兴时期数学成就的基础上创立了近代数学，标志着数学发展史上一个崭新的时期开始了。

近代数学的出现，使数学产生了及其深刻的变更，它在17世纪到18世纪两百年间所取得的成就，无论在深度和广度上都远远超过了初等数学在长达两千多年的发展期间内的所取得的成就。

这一时期的数学变更，主要呈现以下特点
1.数学研究的对象与内容发生根本的改变
2.数学观与数学方法论发生重大变化
3.纯粹数学与应用数学的结合研究
4.数学研究的社会化进程加快
二、近代数学诞生的原因分析
为什么近代数学出现在17世纪而不是以前？为什么近代数学诞生在欧洲而不是其它地方？主要原因有两方面：
1.从外因看
从16世纪起，资本主义生产方式已逐步在欧洲各国形成。

资本主义生产方式推动了生产力的发展，而生产力的发展则推动了科学技术的发展。

正如恩格斯所提出的：“如果说，在中世纪黑夜之后，科学以意想不到的力量一下子重新兴起并且以神奇的速度发展起来，那么我们要再次把这个奇迹归功于生产。

”生产的需要不断对数学提出要求，刺激了数学的变革。

2.从内因看
古希腊数学家的许多丰富的数学思想给了17世纪数学家以启示；文艺复兴时期代数学的发展，尤其是方程理论的日益成熟和符号代数的出现为分析法奠定了基础；16世纪以来对数等新计算方法和计算器等计算工具的出现为数学变更提供了工具。

三、解析几何的创立与发展
解析几何有三要素：建立坐标系、找出等量关系和用符号代数表示等量关系得到方程。

解析几何是由两位数学家——费尔马和笛卡尔几乎同时独立发现的，但由于笛卡尔工作更完善，因而后人一般认为是笛卡尔创立了解析几何。

1.费尔马的解析几何
费尔马（Fermat 1601—1665）1601年8月20日出生于法国图卢兹附近的一个皮革商家庭。

大学时专攻法律，30岁得到图卢兹地方议会顾问职位，还是图卢兹议会最高法庭法官。

他在从事律师工作的30多年的同时，把自己大量的业余时间用来研究数学，由于对数学所作的巨大贡献被称为17世纪法国
最伟大的数学家。

美国数学史家贝尔（1883—1960）称他为“业余数学家之王”。

费尔马最杰出的贡献在于数论领域。

17世纪的数论几乎是费尔马的世界，他非凡的直觉能力留下了诸多定理（费尔马大定理、费尔马小定理等），被称为现代数论的奠基人。

在微积分方面，他
是牛顿、莱布尼兹创立微积分之前，为微积分的诞生做出贡献最多的人。

在概率论的发展中，他和惠更斯、帕斯卡一起被誉为概率论的创始人。

在解析几何方面，他更是一位名副其实的创立者之一。

1665年1月9日费尔马签署了他的最后一份判决书，三天后去世。

费尔马于1629年写成《平面与立体轨迹引论》一书，可惜被拖到去世后的1679年才出版。

在这本书中，费尔马认为：古希腊人虽然对轨迹研究很多，但都没有给出充分而一般的表示方法。

他的目标是要将几何的轨迹表示成一般的代数形式。

为此，他创造性地提出处理各种几何问题的一般方法：坐标法。

首先建立坐标，把平面上的点和一对未知数联系起来，然后在点动成线的思想下，把曲线用一个方程表述出来。

费尔马还揭示了阿波罗尼斯圆锥曲线的方程特征：含两个未知数的二次方程。

他还注意到通过坐标轴的平移和旋转可以使方程化简，但他没有详尽阐述。

费尔马的主要贡献在于：将古希腊人对曲线静态的研究改为动态研究（看作动点轨迹），并通过引进坐标译成代数语言使各种不同曲线有了代数方程这种一般表示方法。

其主要不足在于：他对纵坐标如何依赖横坐标注意不够。

2.笛卡尔的解析几何
笛卡尔（Descartes 1596—1650）在近代史上是以资产阶级哲学家的身份闻名于世的。

同时他也是第一流的物理学家、近代生物学的奠基人和近代数学的开创者。

笛卡尔于1596年3月12日出生于法国图朗的一个名门之后，幼年丧母，深受父亲溺爱。

自小体弱，八岁才上学。

1612年到巴黎学习，1616年大学毕业。

1617—1621年在军队里当兵。

1621—1625年他到丹麦、荷兰、瑞士和意大利等地旅行游历。

1625—1628年，他回到巴黎，进行数学研究和哲学思考，还进行了光学仪器制造。

1628—1649笛卡尔迁到了荷兰，在那里生活了20年，从事哲学、数学和自然科学的研究。

这期间完成了他的主要著作《思想的指导法则》（写于1628年，去世后出版）《宇宙论》(写于1629-1633) 、《方法论》（1637 是笛卡尔写的唯一的数学书）、《形而上学的沉思》（1641）、《哲学原理》、（1644）、《论心灵的各种感情》（1649）、《音乐概要》（1650）。

1649年他接受瑞典女王邀请到了瑞典。

几个月后，因患肺炎笛卡尔于1650年2月11日病逝于斯德哥尔摩。

笛卡尔于1637年发表的重要著作《方法论》，全名是《更好的推导和寻求科学的真理的方法论》，它有三个附录：《几何》、《折光》、《陨石》均作为其一般方法论应用的实例。

笛卡尔建立的解析几何就出现在附录《几何》中，主要研究希腊数学中的几何作图问题。

他把代数看成是进行推理，尤其是对未知量进行推理的有效方法。

为此，他通过引进坐标把几何曲线表示成代数方程，通过方程来揭示曲线的性质。

笛卡尔巧妙地将坐标法与符号代数结合起来，使整个古典几何置于代数学支配之下，并通过引入变量，开拓了变量数学的新天地，加速了微积分和近代数学的诞生。

笛卡尔曾与费尔马卷入谁先发明坐标几何的争论，费
尔马在1629年就发现了坐标几何的基本原理，比笛卡尔的《方法论》早，但费尔马的著作直到1679年才发表。

笛卡尔当时已完全知道费尔马的许多发现，但否认他的思想来自费尔马。

有人考证，笛卡尔的坐标思想可追溯到1619年。

3.解析几何的进一步发展
笛卡尔的主要不足是：纵坐标概念还不十分明确，y轴与x轴成斜角，且仅考虑正坐标，即局限于第一象限。

1655年，英国数学家沃利斯进一步完善，将坐标系扩展到整个平面。

1691年瑞士数学家雅各布.伯努利，1729年德国数学家赫尔曼先后提出极坐标的概念。

1715年瑞士数学家约翰.伯努利引进空间坐标系。

1745年，欧拉在《分析引论》
中给出现代意义下的解析几何。

1809年，法国数学家蒙日和他的学生建立了三维解析几何。

19世纪80年代英国数学家吉布斯和希德维德创立《向量分析》或《向量代数》。

19至
20世纪，现代数学分支——泛函分析和代数几何从某种意义上可看作是解析几何的延续。

思考题：
1.简述文艺复兴时期欧洲数学的主要进展。

2.简述纳皮尔对数的定义并说明纳皮尔对数是为底的对数。

3.简析17世纪近代数学诞生的原因。

4.简述笛卡尔的解析几何思想。